高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数

（1）对数的定义：

如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N=b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式⼦表⽰的a 、b 、N 三个数之间的关系是⼀样的，并且可以互化.（3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .

③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bN

a a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数

（1）对数函数的定义

函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是⾃变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意：真数式⼦没根号那就只要求真数式⼤于零,如果有根号,要求真数⼤于零还要保证根号⾥的式⼦⼤于零，底数则要⼤于0且不为1

对数函数的底数为什么要⼤于0且不为1呢？

在⼀个普通对数式⾥ a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于⼀切

实数（⽐如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第⼆，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成⽴ （⽐如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；⼀个等于1/16，另⼀个等于-1/16） （2）对数函数的图象

a <11))

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.

④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题

1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是

C D

解析：f （x ）=?

<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x

2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.

4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满⾜A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x

5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b

6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最⼤值是最⼩值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21

7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴⽅程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21C.2D.－2

8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是

AB

9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23

10.⽅程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.典型例题

【例1】 已知函数f （x ）=<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x

则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241

【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】 已知f （x ）=log 3

1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.

【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.

【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内⽐较|f （x ）|与|g （x ）|的⼤⼩.

【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最⼩值.【例7】 （2003年北京宣武第⼆次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 2

1x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f

（x 1）+f （x 2）］＜f （22

1x x ）成⽴的函数是 A.f 1（x ）=x 21

B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x探究创新

1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最⼩值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？

2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；

（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成⽴，试求实数m 的取值范围.