轨迹问题

§23 轨迹问题

[知识梳理]

一、求轨迹的一般方法： 1．直接法：用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求，如焦点位置不确定的椭圆方程可设为 ；如焦点位置不确定的双曲线方程可设为 ；焦点在ｘ轴上的抛物线的标准方程设为 ；焦点在ｙ轴上的抛物线的标准方程设为 ；与双曲

的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是

x2y21 . 2x2y21有公共渐近线的双曲线3.过点（2,-2）且与2y2x21 . 方程是

244.已知A(1,-1),B(-2,4)，则到线段AB的两端点距离相等的点的轨迹方程是 3x-5y+9=0 . 5.到直线l:3x4y10的距离为１的点的轨迹方程是

3x-4y+6=0,3x-4y-4=0 .

6.已知A(0,-4),B(0,4)，点C到A、B两点的距离的和为12，则点C的轨迹方程是

y2x21 . 3620

7. 已知A(-13,0),B(13,0)，点C到A、B两点的距离之差的绝对值是12，则点C的轨迹方程是

x2y21 . 361338.若点P到点F(4,0)的距离等于它到直线x40的距离，则点P的轨迹方程是

y216x .

[范例导学]

例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为

x2y2线221有共同渐近线的双曲线方程设为 ab ；渐近线方程为

xy0的双曲线方程设abx2y21，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于

常数(0)，求动点M的轨迹. 解：设MN切圆C于N，则MN2为 .

8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A(x1,y1),B(x2,y2)并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。 [基础练习]

22MOON。设

22 2 2 2 2M(x,y),则xy1(x2)y222221. 椭圆5xky5的一个焦点是（0,2），那么ｋ＝1 化简得(1)(xy)4x(14)0 2. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x2y1有公共

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22 §19 倾斜角、斜率与直线方程(小五，宋体) （1） 当1时，方程为x（2） 当1时，方程化为 5，表示一条直线。 42221322表示一个圆。 (x2)y221(1)说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么. 22[例2] 已知圆O的方程为 x+y=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程. 解：由中垂线知， p2xkp2p22k则，消去k得y=px,即点M的轨迹pykpk是抛物线. [例５] 如下图，P是抛物线C：y=12x上一点，直线l2过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程. yQMTPlSxPAPM故PAPOPMPOOM10，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），O(x3)2y2125 故P点的方程为2516[例3] 如图，从双曲线x-y=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程. 解：设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1） 则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 ① 又PQ垂直于直线x+y=2，故即x-y+y1-x1=0 ② 由①②解方程组得x122 [解]设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），依题意知x1≠0，y1>0，y2>0.由y=12x， ① 211=－， x1k切得y′=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1， ∴直线l的斜率kl=－直线l的方程为y－112x1=－（x－x1） ② x122x－x12－2=0. x1yy11， xx1方法一：联立①②消去y，得x2+∵M为PQ的中点， x0=∴ y0=3113xy1,y1xy1, 2222代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是222x-2y-2x+2y-1=0 2[例4] 经过抛物线y=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。 [解]：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为x1x21=－， x12121x1－（x0－x1）. x1212x02消去x1，得y0=x02++1（x0≠0）， (2p2p2p,)，由于AC与AB垂直，则AC的方程为2kk1y(x2p)，与抛物线方程联立方程组可解得C点k2的坐标为(2kp2p,2kp)，又M为BC中点，设M（x,y）,1+1（x≠0）. 2x2xx211方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=1， 222111得y1－y2=x12－x22=（x1+x2）（x1－x2）=x0（x1222∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+绍兴一中分校数学组 第 2 页（共 4 页）

§19 倾斜角、斜率与直线方程(小五，宋体) yy211－x2），则x0=1=kl=－，∴x1=－. x1x2x1x0将上式代入②并整理，得y0=x02+7.若点P到点F(3,0)的距离比它到直线ｘ＋４＝０的距离小1，则点P的轨迹方程是（ D ） （A）y6x2 (B ) y12x2 12x02+1（x0≠0）， （C）y26x (D ) y212x 8.动点P到直线x=8的距离等于它到点F(2,0)的距离的2倍，则P点的轨迹方程是（ B） ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+[强化训练] 一、选择题（宋体，五号） 1+1（x≠0）. 2x21.方程(x4)y40表示的图形是（D ） 2222y2x2y21 (B ) （A）x1 316122（A）两条直线 (B 四条直线 （C）两个点 (D ) 四个点 2.若ｋ可以是任何实数，则方程x2ky21所表示的曲线不可能是（ D ） （A）直线 (B )圆 （C）椭圆或双曲线 (D )抛物线 3.满足到两定点A(-5,0),B(5,0)的距离之和是10的动点P的轨迹是（ D （A）椭圆 (B )双曲线 （C）一条直线 (D ) 一条线段 4.动点P(ｘ，ｙ)与两定点A(-2,0),B(2,0)构成的三角形周长为10，则P点的轨迹方程是（B ） （C）3x28x4y20 (D ) 3x2y228x600 9.过抛物线y24x的焦点作直线与此抛物线交于P、Q两点，那么PQ的中点M的轨迹方程是（ B） （A）y2x1 (B ) y22(x1) （C）2y22x1 (D ) y22x1 xxy21的交点的个数10.直线yx3与曲线49是（ D ） （A）0 (B) 1（C）2 (D ) 3 二、填空题 11.已知A(-1,0),B(0,5)，动点P满足PAPB2,则点P的轨迹方程是 x+5y-13=0 . 12.抛物线y2x2的一组斜率为2的平行弦的重点的轨迹方程是

22x2y2x2y21(y0) 1 (B ) （A）9595x2y2x2y21(y0) 1 (D ) （C）59595.满足到两定点A(-2,0),B(2,0)的距离之差的绝对值是4的动点P的轨迹是（D ） （A）椭圆 (B )双曲线 （C）两条直线 (D ) 两条射线 6.已知P(x,y)的坐标满足 x1(inside) . 22213.经过圆x+y=4上任一点P作ｘ轴的垂线，垂足为Q，则选段PQ中点的轨迹方程是 x52y2x52y26，则点C的轨迹方程是（ C ） x2y21 . 414.一动圆过一定点A(-4,0),且与圆(x4)y16相外切，则动圆的圆心轨迹方程是22x2y2x2y21 (B ) 1 （A）916169x2y2x2y21(x0) (D ) 1(x0) （C）916169x2y21(x0) . 412绍兴一中分校数学组 第 3 页（共 4 页）

§19 倾斜角、斜率与直线方程(小五，宋体)

三、解答题

15.动圆C与定圆F1: (x2)2y2100内切，与定圆F2：(x2)2y24外切，求动圆的圆心C的轨迹方程.

x2y21 3632

16.双曲线C的方程是x2y21，F是它的左焦点，M是双曲线上的一个动点,O为坐标原点，求△OFM的重心的轨迹方程.

(3x1)2(3y)21

17.直线l:ykx1与椭圆C:ax2y22(a1)交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）.

（1）若k1，且四边形OAPB为矩形，求a的值. （2）若a2，当k变化时（kR），求点P的轨迹方

y 程. P A 4x22y24y0

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