江苏省常州高级中学2017-2018学年第一学期期中考试高二数学试卷(无答案)

一．填空题(每小题5分，共70分)

1. 函数f(x)xsinx在区间[0,]上的平均变化率为____________.

y22. 双曲线x1的实轴长为__________.

223. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，通径长为4，则抛物线的标准方程为_______________.

4. 若方程xy4mx2y4mm0表示圆，则实数m的取值范围为__________.

222x2y25. 已知椭圆1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m____________.

10m2m6. 已知曲线y22x1的一条切线的斜率为1，则切点的坐标为____________.

7. 已知圆xy4x50的弦AB的中点为M(3,1)，则直线AB的方程是_________. 8. 已知函数f(x)xax3ax1在区间(,)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围为____________.

9. 设ABC是等腰直角三角形，ABC90，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为_____________.

10. 设点P是函数y4x的图像上的任意一点，点Q(2a,a5)(aR)，则PQ的最小值为____________.

11. 经过抛物线y4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，若线段AB的中点到直线2x50的距离为5，则线段AB的长等于_____________.

12. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x(y4)2，点A是x轴上的一个动点，

222232AP、AQ分别切圆C于P、Q两点，则线段PQ长的取值范围为______________.

13. 已知函数f(x)axlnx，g(x)x2x1. 若对任意x1(0,)，存在x2[0,1]，使得f(x1)g(x2)，则a的取值范围是_______________.

2x2y21上的三个动点，且14. 在平面直角坐标系xOy中，设A、B、P是椭圆2OAOB0. 动点Q在线段AB上，且OQAB0，则PQ的取值范围为__________.

二、解答题：本大题共6小题，共90分。解答需写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）

（1）确定函数f(x)e2x(xR)的单调区间； （2）求函数f(x)

16（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，以y3x为渐近线的双曲线与抛物线C:y2px(p0)有一个公共点P(,6). 点F是抛物线C的焦点，点A、B是抛物线C上两点，AFB是正三角形.

（1）求双曲线C的方程及抛物线的方程； （2）求AFB的边长.

17. （本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(3,0)，动点P满足PA2PO，设动点P的轨迹为曲线C，

2x1xsinx在区间[0,2]上的最大值与最小值. 232过A点的直线斜率为k.

（1）求曲线C的方程，并求直线与曲线C有公共点时k的取值范围；

（2）当k1时，M是直线上动点，若曲线C上有且只有两个点到M的距离为1，则求点M的横坐标m的取值范围.

18. （本小题满分16分）

x2y233已知椭圆E:221(ab0)，四点P(1,1)、P(0,1)、P(1,)、P(1,)中恰1234ab22有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程；

（2）等腰梯形ABCD内接于椭圆，下底AB是椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上（如图），记CD2m，梯形面积为S.

求面积S以m为自变量的函数式，并写出定义域； 求面积S的最大值.

x2y21，19. （本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:直线过右焦点F且42与椭圆交于A、B两点.

(1) 当直线与x轴垂直，C为椭圆上的动点，求CA2CB2的取值范围；

(2) 若动直线与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

x220. （本题满分16分）已知函数f(x)axlnx(aR)，g(x).

xlnx（1）若函数f(x)在区间(1,)上单调递减，求实数a的取值范围；

（（2）若h(x)f(x)g(x)恰有三个不同的零点x1、x2、x. 3x1x2x3）求实数a的取值范围； 求证：(1lnx3lnx1lnx2)(1)(1)1. x1x2x3