数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（ ） A．a2a4＝a8 C．（2ab2）2＝4a2b4
B．a6÷a2＝a3 D．a0＝0
2．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A．（x﹣y）（﹣y+x） C．（a+b）（c﹣b）
B．（﹣x+y）（x﹣y） D．（2x2﹣y2）（2x2+y2）
3．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007平方毫米，这个数字用科学记数法表示（ ） A．0.7×107
﹣
B．7×107
﹣C．7×107 D．0.7×108
4．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2
B．∠3+∠4＝180°
C．∠1+∠3＝180° D．∠3＝∠4
5．已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A﹣∠B＝∠C，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
6．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AC＝DE
B．∠ABC＝∠AED
C．AB＝AE
D．∠BAD＝∠CAE
7．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度h（cm） 10 小车下滑的时间t（s） 4.23 下列说法错误的是（ ） A．当h＝60cm时，t＝1.71s B．随着h逐渐升高，t逐渐变小
20 3.00
30 2.45
40 2.13
50 1.89
60 1.71
70 1.59
80 1.50
C．h每增加10cm，t减小1.23s
D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 8．下列说法正确的个数有（ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行． ②在同一平面内，不相交的两条线段必平行． ③相等的角是对顶角．
④两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等．
⑤两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行． A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．∠A＝50°，∠B的一条边和∠A的一边平行，∠B另一条边和∠A的另一条边垂直，则∠B＝（ ） A．50°
B．130°
C．50°，130°
D．40°，140°
10．如图，已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形AFEC的面积为10，且AB＝8，则△ABC中AB边上高的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．无法确定
二、填空题（每小题3分，共18分） 11．3m＝12，3n＝6，3mn＝ ．
﹣
12．某工程队承建30km的管道铺设，工期60天，施工x天后剩余管道ykm，则y与x的关系式为 ．
13．一等腰三角形，一边长为9cm，另一边长为4cm，则等腰三角形的周长是 cm． 14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝15°，∠B＝40°．则∠C＝ °．
15．如图，一块含有30°角的直角三角板，两个顶点分别在直尺的一对平行边上，∠α＝110°，∠β＝ °．
16．已知a、b、c满足a+b＝8，ab﹣c2+6c＝25，则2a+b﹣c＝ ． 三、解答题（共7小题，共52分） 17．（16分）计算题 （1）﹣12020﹣
+（2π﹣1）0；
（2）（4a6b3﹣3a3b2+2a2b2）÷（﹣2ab）2； （3）（2a﹣b+1）（2a+b+1）； （4）20192﹣4038×2021+20212．
18．（5分）先化简，再求值：[（x+y）（3x﹣y）﹣（x+2y）2+5y2]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 19．（5分）尺规作图．如图，过C作直线CD，使得CD∥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
20．（6分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°． （1）求线段AE的长． （2）求∠DBC的度数．
21．（7分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 升．
（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟12升， ①求排水时y与x之间的关系式；
②如果排水时间为3分钟，排水结束时洗衣机中剩下的水量为 升．
22．（6分）（1）如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系； （2）如图，AB∥CD，AB的下方两点E，F满足：BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，若∠CFB＝20°，∠DCE＝70°，则∠ABE＝ ．（直接写出∠ABE的度数）
23．（7分）如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A＝∠C，∠B＝118°．
（1）把△ABC纸片按图1所示折叠，使点A落在AC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF；
（2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时（如图2），探索∠C与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点A落在四边形BCED外时（如图3），若∠1＝29°，则∠2＝ °．（直接写出结论）．
2020-2021学年陕西省西安市碑林区铁一中学七年级（下）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（ ） A．a2a4＝a8 C．（2ab2）2＝4a2b4
B．a6÷a2＝a3 D．a0＝0
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及零指数幂的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、a2a4＝a6，故本选项不合题意； B、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意； C、（2ab2）2＝4a2b4，故本选项符合题意； D、a0＝1（a≠0），故本选项不合题意； 故选：C．
2．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A．（x﹣y）（﹣y+x） C．（a+b）（c﹣b）
B．（﹣x+y）（x﹣y） D．（2x2﹣y2）（2x2+y2）
【分析】根据根据平方差公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即同号平方减去异号平方，逐项进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据平方差公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即同号平方减去异号平方． A：因为x与x为同号，﹣y与﹣y为同号，所以A不能用平方差公式计算； B：因为﹣x与﹣x为异号，y与﹣y为异号，所以B不能用平方差公式计算； C：因为（a+b）与（c﹣b）所含字母不相同，所以C不能用平方差公式计算； D：因为2x2与2x2为同号，﹣y2与y2为异号，所以D能用平方差公式计算； 故选：D．
3．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007平方毫米，这个数字用科学记数法表示（ ） A．0.7×107
﹣
B．7×107
﹣C．7×107 D．0.7×108
﹣
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.0000007＝7×107，
﹣
故选：B．
4．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2
B．∠3+∠4＝180°
C．∠1+∠3＝180° D．∠3＝∠4
【分析】利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵AB∥CD ∴∠3+∠5＝180°， ∵∠4＝∠5， ∴∠3+∠4＝180°， 故选：B．
5．已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A﹣∠B＝∠C，则这个三角形是（ ） A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【分析】根据∠A、∠B、∠C之间的关系结合三角形内角和定理即可得出∠A＝90°，进而可得结论．
【解答】解：∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝∠B+∠C，
即2∠A＝180°，∠A＝90°． ∴△ABC为直角三角形， 故选：B．
6．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论一定成立的是（ ）
A．AC＝DE
B．∠ABC＝∠AED
C．AB＝AE
D．∠BAD＝∠CAE
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，B选项错误，D选项正确， 故选：D．
7．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度h（cm） 10 小车下滑的时间t（s） 4.23 下列说法错误的是（ ） A．当h＝60cm时，t＝1.71s B．随着h逐渐升高，t逐渐变小 C．h每增加10cm，t减小1.23s
D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【分析】根据函数的表示方法，可得答案．
【解答】解；A、当h＝60cm时，t＝1.71s，故A正确； B、随着h逐渐升高，t逐渐变小，故B正确； C、h每增加10cm，t减小的值不一定，故C错误；
D、随着h逐渐升高，小车的时间减少，小车的速度逐渐加快，故D正确； 故选：C．
8．下列说法正确的个数有（ ）
①在同一平面内，不相交的两条直线必平行． ②在同一平面内，不相交的两条线段必平行． ③相等的角是对顶角．
④两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等．
⑤两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行． A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
20 3.00
30 2.45
40 2.13
50 1.89
60 1.71
70 1.59
80 1.50
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，据此进行判断．
【解答】解：①在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故说法①正确． ②在同一平面内，不相交的两条线段可能平行，也可能不平行，故说法②错误． ③相等的角不一定是对顶角，故说法③错误．
④两条直线被第三条直线所截，所得同位角不一定相等，故说法④错误．
⑤两条平行直线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故说法⑤正确． ∴说法正确的有2个，
故选：B．
9．∠A＝50°，∠B的一条边和∠A的一边平行，∠B另一条边和∠A的另一条边垂直，则∠B＝（ ） A．50°
B．130°
C．50°，130°
D．40°，140°
【分析】分两种情况讨论，根据平行线的性质和垂直的定义即可求解． 【解答】解：如图①， ∵AC∥BE， ∴∠1＝∠A＝50°， ∵BF⊥AD， ∴∠AFB＝90°，
∴∠EBF＝90°+50°＝140°； 如图②， ∵AC∥BE，
∴∠1＝180°﹣∠A＝130°， ∵BF⊥AD， ∴∠DFB＝90°，
∴∠EBF＝130°﹣90°＝40°． 综上所述，∠B＝140°，40°． 故选：D．
10．如图，已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形AFEC的面积为10，且AB＝8，则△ABC中AB边上高的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．无法确定
【分析】连接DE，设S△DEF＝x，根据等底同高的三角形的面积相等，以及三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接DE，
设S△DEF＝x，
∵D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线， ∴S△BDE＝2S△DEF＝2x， ∴S△CDE＝S△BDE＝2x， ∴S△ABD＝S△BCD＝4x， ∴S△ADF＝2x，
∴四边形AFEC的面积＝2x+3x＝5x＝10， ∴x＝2，
∴△ABC的面积＝8x＝16，
△ABC中AB边上高的长为16×2÷8＝4． 故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分） 11．3m＝12，3n＝6，3mn＝ 2 ．
﹣
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则计算即可． 【解答】解：因为3m＝12，3n＝6， 所以3mn＝3m÷3n＝12÷6＝2．
﹣
故答案为：2．
12．某工程队承建30km的管道铺设，工期60天，施工x天后剩余管道ykm，则y与x的关系式为 y＝30﹣0.5x（0≤x≤60） ．
【分析】根据剩余管道长度＝总长度﹣已铺设长度求解． 【解答】解：∵每天铺设管道长度为30÷60＝0.5（km）， ∴y＝30﹣0.5x（0≤x≤60）， 故答案为：y＝30﹣0.5x（0≤x≤60）．
13．一等腰三角形，一边长为9cm，另一边长为4cm，则等腰三角形的周长是 22 cm． 【分析】分为两种情况：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可． 【解答】解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm， ∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm， 此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm 故答案为：22．
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝15°，∠B＝40°．则∠C＝ 70 °．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAD，求出∠BAE，根据角平分线的定义求出∠BAC，即可求出答案． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°， ∵∠EAD＝15°，
∴∠BAE＝50°﹣15°＝35°， ∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE＝∠BAC＝35°， ∴∠BAC＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣70°﹣40°＝70°； 故答案为：70．
15．如图，一块含有30°角的直角三角板，两个顶点分别在直尺的一对平行边上，∠α＝110°，∠β＝ 50 °．
【分析】根据平行线的性质得到∠1＝70°，再根据平角的定义即可得出∠β＝50°． 【解答】解：∵直尺的两边平行，∠α＝110°，
∴∠1＝180°﹣∠α＝70°， ∴∠β＝180°﹣70°﹣60°＝50°． 故答案为：50．
16．已知a、b、c满足a+b＝8，ab﹣c2+6c＝25，则2a+b﹣c＝ 9 ．
【分析】由a+b＝8，得a＝8﹣b代入ab﹣c2+6c＝25中，可化为（b﹣4）2+（c﹣3）2＝0，即可得出b，c、a的值，即可得出答案． 【解答】解：∵a+b＝8， ∴a＝8﹣b，
∴ab﹣c2+6c＝（8﹣b）b﹣c2+6c＝25， 8b﹣b2﹣c2+6c＝25， ∴（b﹣4）2+（c﹣3）2＝0， ∴b＝4，c＝3， ∴a＝4，
∴2a+b﹣c＝2×4+4﹣3＝9． 故答案为：9．
三、解答题（共7小题，共52分） 17．（16分）计算题 （1）﹣12020﹣
+（2π﹣1）0；
（2）（4a6b3﹣3a3b2+2a2b2）÷（﹣2ab）2； （3）（2a﹣b+1）（2a+b+1）； （4）20192﹣4038×2021+20212．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案； （3）直接利用乘法公式计算得出答案； （4）直接利用乘法公式计算得出答案． 【解答】解：（1）﹣12020﹣
+（2π﹣1）0
＝﹣1﹣+1 ＝﹣；
（2）（4a6b3﹣3a3b2+2a2b2）÷（﹣2ab）2 ＝（4a6b3﹣3a3b2+2a2b2）÷4a2b2 ＝a4b﹣a+；
（3）（2a﹣b+1）（2a+b+1） ＝（2a+1）2﹣b2 ＝4a2+4a+1﹣b2；
（4）20192﹣4038×2021+20212 ＝（2019﹣2021）2 ＝4．
18．（5分）先化简，再求值：[（x+y）（3x﹣y）﹣（x+2y）2+5y2]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2． 【分析】根据多项式乘多项式、完全平方公式、多项式除单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：[（x+y）（3x﹣y）﹣（x+2y）2+5y2]÷2x ＝（3x2+3xy﹣xy﹣y2﹣x2﹣4xy﹣4y2+5y2）÷2x ＝（2x2﹣2xy）÷2x ＝x﹣y，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝1﹣（﹣2）＝3．
19．（5分）尺规作图．如图，过C作直线CD，使得CD∥AB．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作∠BCD＝∠ABC即可解决问题． 【解答】解：如图，直线CD即为所求．
20．（6分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝10，BC＝4，∠D＝30°，∠C＝70°． （1）求线段AE的长． （2）求∠DBC的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝10，BE＝BC＝4，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝10，BC＝4， ∴AB＝DE＝10，BE＝BC＝4， ∴AE＝AB﹣BE＝6；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝30°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝∠D＝30°，∠DBE＝∠C＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣30°﹣70°＝80°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝10°．
21．（7分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是 4 分钟，清洗时洗衣机中的水量是 40 升． （2）已知洗衣机的排水速度为每分钟12升， ①求排水时y与x之间的关系式；
②如果排水时间为3分钟，排水结束时洗衣机中剩下的水量为 4 升．
【分析】（1）根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间，清洗时洗衣机中的水量； （2）①由于洗衣机的排水速度为每分钟12升，并且从第15分钟开始排水，排水量为40升，由此即可确定排水时y与x之间的关系式； ②根据①中的结论代入已知数值即可求解．
【解答】解：（1）依题意得洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升； 故答案为：4，40；
（2）①∵洗衣机的排水速度为每分钟12升，从第15分钟开始排水，排水量为40升， ∴y＝40﹣12（x﹣15）＝﹣12x+220（15≤x≤②∵排水时间为3分钟，
∴y＝﹣12×（15+3）+220＝4（升）． ∴排水结束时洗衣机中剩下的水量为4升． 故答案为：4．
22．（6分）（1）如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系； （2）如图，AB∥CD，AB的下方两点E，F满足：BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，若∠CFB＝20°，∠DCE＝70°，则∠ABE＝ 30° ．（直接写出∠ABE的度数）
），
【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠DAC＝∠CAB，由已知∠1＝∠2，等量代换得∠2＝∠CAB，根据平行线的判定即可得出答案；
（2）由角平分线的性质可得∠DCF＝∠ECF，由平行线的性质可得∠CGB＝∠DCG，由对顶角的性质可得∠DCG＝∠AGF，由三角形的外角定理可得∠AGF＝∠CFB+∠GFB，根据已知条件∠CFB＝20°，代入计算即可得出答案． 【解答】（1）AB∥CD． 理由如下：
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠CAB， ∴AB∥CD； （2）如图3，
∵CF平分∠DCE，∠DCE＝70°， ∴∠DCF＝∠ECF＝35°， ∵AB∥CD，
∴∠CGB＝∠DCG＝∠AGF＝35°， ∵∠AGF＝∠CFB+∠GFB，∠CFB＝20°， ∴∠GFB＝∠AGF﹣∠CFB＝35°﹣20°＝15°， ∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF＝2×15°＝30°． 故答案为：30°．
23．（7分）如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A＝∠C，∠B＝118°．
（1）把△ABC纸片按图1所示折叠，使点A落在AC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF；
（2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时（如图2），探索∠C与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点A落在四边形BCED外时（如图3），若∠1＝29°，则∠2＝ 91 °．（直接写出结论）．
【分析】（1）由折叠的性质得∠DFE＝∠A，再由已知∠A＝∠C，推出∠DFE＝∠C，即可得到结论；
（2）由四边形的内角和等于360°得出∠A+∠A′＝∠1+∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结果；
（3）由折叠的性质得∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β），则∠2+2α＝180°，∠1＝β﹣∠BDE＝β﹣（∠A+α），推出∠2﹣∠1＝180°﹣（α+β）+∠A，再由三角形的内角和得到∠A＝180°﹣（α+β），证得∠2﹣∠1＝2∠A，即可得出结果． 【解答】（1）证明：由折叠的性质得：∠DFE＝∠A， ∵∠A＝∠C， ∴∠DFE＝∠C， ∴BC∥DF；
（2）解：2∠C＝∠1+∠2，理由如下： ∵四边形的内角和等于360°，
∴∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°． 又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°， ∴∠A+∠A′＝∠1+∠2． 由折叠的性质得：∠A＝∠A′， ∴2∠A＝∠1+∠2， ∵∠A＝∠C， ∴2∠C＝∠1+∠2；
（3）解：∠2﹣∠1＝2∠C，理由如下：
由折叠的性质得：∠A′ED＝∠AED，∠A′DE＝∠ADE， 设∠A′ED＝∠AED＝α，∠A′DE＝∠ADE＝β， ∵∠2+2α＝180°，∠1＝β﹣∠BDE＝β﹣（∠A+α），
∴∠2﹣∠1＝180°﹣2α﹣β+（∠A+α）＝180°﹣（α+β）+∠A， ∵∠A＝180°﹣（α+β）， ∴∠2﹣∠1＝2∠A， ∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠2﹣∠1，
∵∠A+∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣118°＝62°， ∴∠2＝62°+∠1＝62°+29°＝91°， 故答案为：91
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