数学试卷
一、选择题[本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（ ） A．调查某批次汽车的抗撞击能力 B．调查某班学生的身高情况 C．调查春节联欢晚会的收视率 D．调查济宁市居民日平均用水量
2．（3分）若点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上，则点P一定不在（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（3分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A．对角线互相平分 C．对角线相等
B．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
4．（3分）一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根
B．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
5．（3分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组鞋长和“鞋码”的对应数值（注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码）．设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在下列哪个函数的图象上（ ） 鞋长（cm） 鞋码（码） A．y＝2x+10
16 22 B．y＝2x﹣10
19 28 C．y＝﹣2x+10
21 32 23 36 D．y＝﹣2x﹣10
6．（3分）已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积是（ ） A．48
B．30
C．24
D．20
7．（3分）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（ ） A．平均数
B．中位数
C．众数
D．方差
8．（3分）若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2 10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（ ） A．
B．
C．
D．0
11．（3分）若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（ ） A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
12．（3分）小明研究二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1（m为常数）性质时有如下结论： ①该二次函数图象顶点始终在平行于x轴的直线上；
②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值范围为m≥2；
④点A（x1y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＞y2； 其中正确结论的个数为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（每小题3分：共18分） 13．（3分）分解因式：x3﹣x＝ ．
14．（3分）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次数 “摸出黑球”的次数 “摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 36 387 2019 4009 19970 40008 100 1000 5000 10000 50000 100000 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 ．（结果保留小数点后一位） 15．（3分）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是 ．
16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交BC＝3， 于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，则平行四边形ABCD周长为 ．
17．1）x的取值范围为 ． （3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，，当kx+b＜x时，
18．（3分）已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝6cm，P为AC上任一点，则PD+PA的最小值是 cm．
三、解答题（第19题8分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，笫23至24题每题9分，笫25至26题每题10分，共66分） 19．（8分）用指定方法解下列方程： （1）用配方法解方程：x2+6x+4＝0． （2）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．
20．（6分）“扫黑除恶”受到广大人民的关注，某中学对部分学生就“扫黑除恶”知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对“扫黑除恶”知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数．
21．（6分）关于x的一次函数y＝ax2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1.0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标．
22．（8分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG． （1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
23．（9分）长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率；
（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线
y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数． （2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
25．（10分）某公司生产某环保产品的成本为每件40元，经过市场调研发现这件产品在未来两个月（60天）的日销量m（件）与时间t（天）的关系图象如图所示（第一个月，第二个月销量与时间满足一次关系）．未来两个月（60天）该商品每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数
关系式为：y＝
根据以上信息，解决以下问题：
（1）请分别确定1≤t≤30和31≤t≤60时该产品的日销量m（件）与时间t（天）之间的函数关系式；
（2）请预测未来第一个月日销售利润W1（元）的最小值是多少？第二个月日销售利润W2（元）的最大值是多少？
（3）为创建“两型社会”，政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴a元，有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润W3（元）随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．
26．（10分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题[本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故A选项错误； B、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故B选项正确； C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误； D、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故D选项错误． 故选：B．
2．解：∵﹣1＜0，4＞0，
∴一次函数y＝﹣x+4的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限． ∵点P在一次函数y＝﹣x+4的图象上， ∴点P一定不在第三象限． 故选：C．
3．解：A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质； B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质； C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质； D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质． 故选：A．
4．解：一元二次方程2x2﹣3x+5＝0中， △＝32﹣4×2×9（﹣5）＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：B．
5．解：设一次函数y＝kx+b，把（16，22）、（19，28）代入得
，
解得
，
∴y＝2x﹣10； 故选：B．
6．解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8， ∴这个菱形的面积为×6×8＝24，
故选：C．
7．解：11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选：B．
8．解：多边形的内角和是：3×360＝1080°． 设多边形的边数是n，则 （n﹣2）•180＝1080， 解得：n＝8．
即这个多边形的边数是8． 故选：C．
9．解：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），
把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣所以平移后得到的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣2． 故选：D． 10．解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5， ∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0， 解得：m＝， 故选：A．
11．解：如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H． ∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边）， ∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴∠EMO＝∠ENO＝90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， ∴∠MEN＝90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
2）， 故选：B．
12．解：二次函数变形为y＝﹣（x﹣m）2+1（m为常数）， ①∵顶点坐标为（m，1）且当x＝m时，y＝1， ∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝1上， 故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， 令y＝0，得﹣（x﹣m）2+1＝0， 解得：x1＝m+1，x2＝m﹣1，
∵顶点坐标为（m，1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形， ∴|m+1|+|m﹣1|＝2， 解得：m＝0或±1，
∴存在m＝0或±1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形； 故结论②正确；
③当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0， ∴m的取值范围为m≥2． 故结论③正确． ④∵x1+x2＞2m， ∴
＞m，
∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m， ∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离， ∵x1＜x2，且﹣1＜0， ∴y1＞y2， 故结论④正确； 故选：D．
二、填空题（每小题3分：共18分）
13．解：x3﹣x， ＝x（x2﹣1）， ＝x（x+1）（x﹣1）． 故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
14．观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近， 故摸到白球的频率估计值为0.4； 故答案为：0.4．
15．解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根， ∴x1x2＝＝﹣2， ∴1×x2＝﹣2，
则方程的另一个根是：﹣2， 故答案为﹣2．
16．解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线， ∴∠DAQ＝∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝3，∠BAQ＝∠DQA， ∴∠DAQ＝∠DQA， ∴△AQD是等腰三角形， ∴DQ＝AD＝3． ∵DQ＝2QC， ∴QC＝DQ＝，
∴CD＝DQ+CQ＝3+＝，
∴平行四边形ABCD周长＝2（DC+AD）＝2×（+3）＝15． 故答案为：15．
17．解：∵正比例函数y＝x也经过点A， ∴kx+b＜x的解集为x＞3， 故答案为：x＞3． 18．解：过P点作PH⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴PH＝PA，
又∵菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD＝PB， ∴PD+PA＝PD+PH
即当P，D，H三点在同一直线时，PD+PA＝PH取最小值． ∵∠BAD＝60°，AD＝AB＝6， ∴△ABD是等边三角形， 过D点作DH'⊥AB， ∵AH'＝BH'＝3， 在△AD'H中，DH'＝故答案为：
．
，即 的最小值为
．
三、解答题（第19题8分，第20题6分，第21题6分，第22题8分，笫23至24题每题9分，笫25至26题每题10分，共66分） 19．解：（1）x2+6x+4＝0 移项，得x2+6x＝﹣4， 配方，得x2+6x+32＝﹣4+32， （x+3）2＝5． 由此可得x+3＝±所以x1＝﹣3+
，
．
，x2＝﹣3﹣
（2）5x2﹣3x＝x+1 方程化为5x2﹣4x﹣1＝0， a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
所以△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
所以方程有两个不等的实数根 x＝
，
即x1＝1，x2＝﹣．
20．解：（1）接受问卷调查的学生共有：18÷30%＝60（人）；
∴扇形统计图中“很了解”部分所对应扇形的圆心角为：360°×30%＝108°； 故答案为：60，108°；
（2）60﹣3﹣9﹣18＝30； 补全条形统计图得：
（3）根据题意得：900×
＝720（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“很了解”和“基本了解”程度的总人数为72人． 21．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C（0，3）代入得a•（0+1）（0﹣3）＝3，解得a＝﹣1， 所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）， 即y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）． 22．（1）证明：由题意可得， △BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE， ∵FG∥CE， ∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG， ∴FG＝FE， ∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形， 又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF， ∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10， ∴AF＝8， ∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x， ∵FDE＝90°， ∴22+（6﹣x）2＝x2， 解得，x＝∴CE＝
， ，
×2＝
．
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝
23．解 （1）设平均每次下调的百分率为x． 由题意，得10（1﹣x）2＝6.4．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意）， 符合题目要求的是x1＝0.2＝20%． 答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）超市采购员方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：6.4×0.8×2000＝10240（元）， 方案二所需费用为：6.4×2000﹣2000＝10800（元）． ∵10240＜10800，
∴超市采购员选择方案一购买更优惠．
24．解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．
∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．
∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4， ∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），
共线图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．
（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2）， ∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上， ∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，
如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）， 当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1， 解得m＝
或
（舍弃），
当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2， 解得m＝1或4（舍弃）， ∴当好点．
25．解：（1）当1≤t≤30时，设m＝kt+b，则有解得
，
，
≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个
∴m＝﹣2t+100，
当31≤t≤60时，设m＝k′x+b′，则有解得∴m＝t+40；
（2）由题意W1＝（t+80﹣40）•（﹣2t+100）＝﹣t2﹣55t+4000， 当t＝30时，W1有最小值＝1900（元）， W2＝（﹣t+90﹣40）（t+40）＝﹣（t﹣55）2+∴t＝55时，W2的最大值为
元；
，
，
，
（3）由题意W3＝（t+40）（﹣t+90﹣40+a）＝﹣t2+（对称轴t＝∵31≤t≤60，
∴t的取值范围在对称轴的左侧时W随t的增大而增大， ∴当∴a＞3，
即a＞3时，W随t的增大而增大．
＞59.5，
，
+a）t+2000+40a，
26．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B， ∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0）， ∵抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，
∴
解得
∴y＝﹣x2+x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F， ∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点， ∴设点E的坐标是（x，﹣ x2+x+3）， 则点M的坐标是（x，﹣ x+3），
∴EM＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x， ∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC ＝
＝×（﹣x2+x）×4 ＝﹣x2+3x
＝﹣（x﹣2）2+3，
∴当x＝2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形． ①如图2，
由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y＝﹣x+3上， ∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM＝
＝
，
∴AM所在的直线的斜率是：
；
∵y＝﹣x2+x+3的对称轴是x＝1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣则
解得或，
∵x＜0，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣）．
②如图3，
由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y＝﹣x+3上，
x2+x+3），
∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM＝
＝
，
∴AM所在的直线的斜率是：
；
∵y＝﹣x2+x+3的对称轴是x＝1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣则
解得或，
∵x＞0，
∴点P的坐标是（5，﹣）．
③如图4，
由（2），可得点M的横坐标是2， ∵点M在直线y＝﹣x+3上， ∴点M的坐标是（2，）， 又∵点A的坐标是（﹣2，0）， ∴AM＝
＝
，
∵y＝﹣x2+x+3的对称轴是x＝1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+x+3）， x2+x+3），
则
解得，
∴点P的坐标是（﹣1，综上，可得
）．
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是（﹣3，﹣
）、（5，﹣
）、（﹣1，
）．
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