一解题篇经典题突破方法 高二数学２０１８年１月 啦 点回糖曲线中的僚点三角 ／ 点构成的三角形称为焦点三角形。以焦点三ｔａｎ 。＝ ３。 所以ｓ△Ｐ，。，。一 １ Ｉ ＰＦ Ｉ．Ｉ ＰＦ Ｉ ｓｉｎ ６０。 ２ ｌＰＦ－ｌ・ｌ ＰＦ ｚ｛ ５。 一丢×萼× —４＃ ３－。 一６ ｔａｎ 普一４× 一 ４。 ～。 一。 ． 通常要用到椭 的定义，余弦定理。本题还 可以 接利用公式５ Ｊｓｉｎ Ｆ１ ＰＦ ２一 １× ×５ Ｘ １ × ４＝＝＝。＝２。 ３４ 解墨篇 经典墨突破方法……一一— 落 高二数学８０１８年１月 题型二 焦点三角形的周长问题 常用结论：１．已知Ｆ 、Ｆ ２为椭圆Ｉｘ ２十ｙ ２ 百两式相加得，ｌ ＰＦ ｌ＋Ｉ ＱＦ ｌ一（Ｉ ＰＡ Ｉ＋ ｌＱＡ ｌ一４口。 则Ｊ ＰＦ ｌ＋Ｉ ＱＦ ｌ一４ａ＋Ｉ ＰＱ ｌ一４×４＋ “ 一１（口＞６＞Ｏ）的左、右焦点，Ｐ是椭圆上的动 点，则△ＰＦ Ｆｚ的周长恒为定值２ａ＋２ｃ。 ２．已知Ｆ ，Ｆ２为椭圆 ＋ 一１（口＞６＞ｏ） 。 。 的两个焦点，盲线ｌ讨焦点Ｆ 目与椭圆交于 １２—２８。 所Ｐｌｆ，ＡＰＱＦ的周长为Ｉ ＰＦ Ｉ＋ｔ ＱＦ Ｉ＋ ｉ ＰＱＩ一２８￣１２—４Ｏ。 Ｉｍ－－焦点三角形中的１１．￣ｇ性质问题 Ａ．Ｂ两点，则△Ｆ ＡＢ的周长恒为定值４。。 侧２在平面直角坐标系ｘＯｙ中，椭 圆Ｃ的中心为原点，焦点＿ 。 ● Ｆ 、Ｆ 在Ｘ轴上，●－ 倒 设Ｆ 、Ｆ。分别是椭圆Ｅ： ＋ 、ｙ百 ２—１（口＞６＞ｏ）的左右焦点，Ｐ是椭圆Ｅ ｕ 上的点，ＰＦ ２上ＦｌＦ ２， ＰＦ Ｆ２—６０。，则椭圆 其离心率为 。过Ｆ 的直线ｚ交椭圆ｃ于 Ａ、Ｂ两点，Ｎ．ＡＡＢＦ 的周长为１６，那么椭 圆ｃ的方程为。 ——Ｅ的离心率为——。 解析：在△ＰＦｌＦ ２中・Ｉ ＦＩＦ ｚ Ｉ一２ｆ， Ｉ ＰＦ Ｉ一 一４ｃ，Ｊ ＰＦ Ｉ一２ｃ・ｔａｎ ６０。 解析：设椭圆ｃ的方程为薯＋芳一 一２ ｃ。 １（口＞６＞Ｏ）。因为ＡＢ过Ｆ 且Ａ、Ｂ在椭圆 由椭圆定义可得，Ｉ ＰＦｌ Ｉ＋Ｉ ＰＦ ２ Ｉ＝２ａ。 上，ＰＪ￣ＰＪ，ＡＡＢＦ ｚ的周长为ｌＡＢ Ｉ＋ＩＡＦ ｚ Ｉ＋ ＩＢＦ ｚ Ｉ＝４ａ一 ６， －－４￣ 所以４ｃ＋２ ｃ一２ｎ，Ｅ一詈＝＝＝２一，／ｇ，即 椭圆Ｅ的离心率为２一 。 又因为离心率Ｐ一三一 ，所以ｃ一２ 因此，６ ＝ａ ２一 一４。 。 评注：解答本题先利用直角三角形的知 识，把ｆ ＰＦ ｉ和Ｉ ＰＦ ２ ｆ都用ｆ表示，再利用椭 圆的定义，最后得出椭圆的离心率。 椭圆ｃ的方程为ｘ ２ｙ ２十 —１。 变式３ （１）已知Ｆ 、Ｆ 分别为双曲线 变式２ （１）设Ｐ是椭圆．７ Ｃ ２＋ ２ ２—１上 的点，若Ｆ 、Ｆ 是椭圆的两焦点，则 ｃ： 一 一 （口＞ｏ，６＞ｏ）的左、右焦点，Ｐ 是双曲线ｃ右支上的一点，ＰＦ，上ＰＦ。， △ＰＦ。Ｆ 的周长为 解析：因为 ｚ 一。 ６ ｚ一１６，所以 ｚ一口ｚ ＰＦｚＦ 一６Ｏ。，则双曲线ｃ的离心率为。 ——解析：在△ＰＦ Ｆ ｚ中，Ｉ ＰＦ Ｉ一｛Ｆ Ｆ ｚ Ｉ ６ ｚ一９，ｃ一３。由椭圆的定义可知，Ｉ ＰＦ Ｉ ＋ｌ ＰＦ Ｉ＋２ｃ＝２ａ＋２ｃ＝１６ ｏ 。。。 ３Ｏ。一￣／３ ，ＩＰＦ，Ｉ—ＩＦ Ｆ ２ Ｉ ｃ。ｓ ６０￣＝ｃ。 由双曲线的定义可知，Ｉ ＰＦｌ ｌ—ｌ ＰＦ２ Ｉ ＪＪ￣ｆＤＡＡＰＦ１Ｆ２的周长为１６。 （２）已知Ｆ为双曲线ｃ： Ｘ ２一 一２口，即（√３—１） 一２口。 ｙ ２—１的左 所以，Ｐ一 一√３＋ 。 （２）￣ｆｌ Ｆ 、Ｆ 为椭圆 ２＋ ２下焦点，焦点，Ｐ、Ｑ为双曲线ｃ上的点。若ＰＱ的长等于虚轴长的２倍，点Ａ（５，Ｏ）在线段ＰＱ 上，ｇｌＪｌＡＰＱＦ的周长为—１的上、 点Ｍ（３，２）在椭圆上，求 Ｆ ＭＦ 的 。 解析：由双曲线方程可知，ｎ一４，ｂ一３， ——角平分线ｚ所在的直线方程。 解析：由题意知，Ｆ１（Ｏ，２），Ｆ２（Ｏ，一２）， Ｍ（３２），所以ｌＭＦ Ｉ一３，ｌＭＦ Ｉ一５。 设角平分线ｌ与 轴的交点为Ａ（Ｏ，， 一５。故Ａ（５，Ｏ）恰为双曲线的右焦点，线段 ＰＱ过双曲线的右焦点，则Ｐ、Ｑ都在双曲线 右一定，Ｐ２Ｆ ＱＡ Ｉ一ｌ Ｑ Ｉ—Ｉ。’ ’ 一～一 得，’Ｊ Ｆ一 Ｆ２Ｉ。 ——解题篇 经典题突破方法 高二数学２０１８年１月 因 ０十ｚ 詈，解得 。＝＝＝ １，则点Ａ ０ 一１上一点Ｐ，Ｆ 、Ｆ ｚ为双曲线ｃ的左、有 。 一～坐标为（ｏ， １），角平分线ｚ的斜萼 §志一 １，故 焦点，Ｍ、１分别为△ＰＦ Ｆ ｚ的重心、内心，若 角平分线ｌ的方程为 一２ ＋ｌ＝＝＝ Ｏ＾ 题型四 焦点三角形中的定１ 侧 Ｐ为如图１，设 暑＋’。 ， ， ｎ‘ 一１（ｎ＞６＞ｏ）上的 ＼ ０ 动点，Ｆ 、Ｆ ｚ为椭圆Ｃ＼、．／ ＰＦ ２、Ｆ。Ｆ。分别相切于Ｆ、Ｅ、Ｄ ｊ点，『｝１ 知条件及双曲线的定义可得： ２ａ：：：１ ＰＦ １—１ ＰＦ １一（１ ＰＦ卜 ＦＦ １） 一／／ 剐 的左、右焦点，Ｉ为 ＡＰＦ Ｆ ｚ的内心，则直 线 Ｆ 的斜率和直线ＩＦ。的斜率之积为 （ （１ ＰＥ ｌ＋ｆ ＥＦ ｊ）一ｌ ＦＦ． ＩＥＦ，Ｉ一 ｌＦＤ ｌ—ｌ Ｆ。Ｄ｝一（ ＋ ）～（ 一 ，）一 ，，２ Ａ・足值 所以ｚ。一“一２，ｚｌⅥ一Ｔ 一 。：：：２。 设Ｐ点坐标为（ ， 。），由Ｍ为△ＰＦ Ｆ Ｂ．非定值，但存在最大值 Ｃ．非定值，但存在最小值 解析：设 ＩＦ。Ｆ ２一ａ， ｊＦ２重心知，ｊ— ”，ｚ。一３ 一６。 Ｆ１＝＝＝口。６方程４ ｙｌｌｚ 则ｋ ・是 －二一ｔａｎ ａｔａｎ ｐ。延长Ｆ１Ｐ 解得 。一４ ，所以Ｐ点坐标为（６，４ ）。 到点Ｑ，且Ｉ ＰＱ ｌ＝＝＝１ ＰＦ ｚ １，则 Ｆ ２ＰＱ一２ａ＋ … … 由两点间距离公式得ｌ ＰＦ。Ｉ一１４， １ ＰＦ。１—１０ 设△ＰＦ１ Ｆ ２的内切圆半 径为ｒ，则 丁ｃ一（２ａ＋２ｆ１） ２ ７ｃ ２ ’ 一 （ｄ＋ ）。 ＱＦ Ｆ 一 ＰＦ。Ｑ＋ ＰＦ Ｆ 一 一 ｓ△ Ｆ２一专‘。ＰＦ１ ＋‘ＰＦ ２ ＋ ｝Ｆｌ Ｆ ２）ｒ— １６ｒ。 （ａ＋Ｊ９）＋２卢一号＋卢一ａ。 另一方面，ｓ△ Ｌ Ｊ 在△ＱＦ ｚＦ 中，由正弦定理可得： 一 Ｉ Ｆ Ｆ Ｉ 。一 ×８＼ ＩＦ￣ＱＩ ｉｎ ＱＦ Ｆ ｓｉｎ（号＋ —ａ） ×４ 一１６ 。 ｉｎ Ｉ 一ｄ一 Ｊ 所以ｌＩ¨ …一６ｒ—ｌ Ｖ６ ， “， ．／ ／ ｃｏｓ（８一 ） ２ａ ０ 一 Ｄ。 ＣＯＳ（ａ＋口） ２Ｃ ｃ。 （责任编辑徐利杰） 图２ 由两角和与差的余弦公式可得： ＣＯＳ／￣ＣＯＳ ａ＋ｓｉｎ ｆｌｓｉｎ ａ ｎ ● 矗 饕‰ ｇ ＿Ｉ Ｉ１ 叠誊｜。Ｉ ．、ｌｔ ａｎ Ｂｔａｎ 一Ｈ 整理碍～ｎｔａ口：＝＝ 一 ，其中 Ｌ １ 。 ｌ ； 鬻 ｉ： ＿●女— 一 ｅ为椭圆ｃ的离心率，故答案为 。 变式 （１）如图，已知双曲线ｃ： 一糊曩 糯溷龃 ● —■■■■ － “ 注 ４ ３６
