最小二乘法拟合原理

在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x与y之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

一、最小二乘法原理

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。设x和y的函数关系由理论公式

y＝f（x；c1，c2，……cm） （0-0-1）

给出，其中c1，c2，……cm是m个要通过实验确定的参数。对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。都对应于xy平面上一个点。若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。只要选取m组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组

yi＝f（x；c1，c2，……cm） （0-0-2） 式中i＝1，2，……，m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。显然N在N>m的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y的观测值yi围绕着期望值 摆动，其分布为正态分布，则yi的概率密度为

2cmyifxi;c1,c2,......,pyiexp2i22i,

1式中i是分布的标准误差。为简便起见，下面用C代表（c1，c2，……cm）。考虑各次

测量是相互独立的，故观测值（y1，y2，……cN）的似然函数

L21Nyifx;CexpN22i1i212...N.

1取似然函数L最大来估计参数C，应使

2yfx;Cmin2iii1iN1 （0-0-3）

取最小值：对于y的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。若

21/i，故式为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的。因权重因子i（0-0-3）表明，用最小二乘法来估计参数，要求各测量值yi的偏差的加权平方和为最小。

根据式（0-0-3）的要求，应有

ck从而得到方程组

Nyi12iN1ifxi;C2ˆcc0k1,2,...,m

fx;Ck1,2,...,myfx;Cˆ02iiccC1i1ik （0-0-4）

解方程组（0-0-4），即得m个参数的估计值

ˆ1,cˆ2,...,cˆmc，从而得到拟合的曲线方程

2ˆ1,cˆ2,...,cˆmfx;c。

然而，对拟合的结果还应给予合理的评价。若yi服从正态分布，可引入拟合的x量，

把参数估计

x2i1N1i2yfx;Cii2 （0-0-5）

ˆcˆ1,cˆ2,...,cˆmc2代入上式并比较式（0-0-3），便得到最小的x值

x

2mini1N1i2ˆyfx;cii2 （0-0-6）

222xm可以证明，in服从自由度v＝N-m的x分布，由此可对拟合结果作x检验。 22xxminm由x分布得知，随机变量的期望值为N-m。如果由式（0-0-6）计算出in接近N-m

222xNm2，则认为xNmmin（例如min），则认为拟合结果是可接受的；如果

拟合结果与观测值有显著的矛盾。

二、直线的最小二乘拟合

曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。设x和y之间的函数关系由直线方程

y＝a0+a1x (0-0-7)

给出。式中有两个待定参数，a0代表截距，a1代表斜率。对于等精度测量所得到的N组数据（xi，yi），i＝1，2……，N，xi值被认为是准确的，所有的误差只联系着yi。下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。

1．直线参数的估计

前面指出，用最小二乘法估计参数时，要求观测值yi的偏差的加权平方和为最小。对于等精度观测值的直线拟合来说，由式（0-0-3）可使

i1 （0-0-8）

最小即对参数a（代表a0，a1）最佳估计，要求观测值yi的偏差的平方和为最小。 根据式（0-0-8）的要求，应有

yaiN0a1xi2ˆaaa0a1yaii1NN0a1xia1xi2ˆaaˆ0aˆ1xi0,2yiai1NN

yaii12ˆaa0ˆ0aˆ1xi0.2yiai1整理后得到正规方程组

ˆ0Naˆ1xiyi,a2ˆˆaxaxxiyi.0i1i

解正规方程组便可求得直线参数a0和a1的最佳估计值

ˆ0aa和ˆ1。即

ii2ˆ0axyxxyNxx （0-0-10） NxyxyˆaNxx （0-0-11）

2iii2iiiiii12i2i2．拟合结果的偏差

ˆ1是根据有误差的观测数据点计算出来的，它们不可避免由于直线参数的估计值0和a地存在着偏差。同时，各个观测数据点不是都准确地落地拟合线上面的，观测值yi与对应

于拟合直线上的

ˆaˆiy这之间也就有偏差。

首先讨论测量值yi的标准差S。考虑式（0-0-6），因等精度测量值yi所有的

可用yi的标准偏差S来估计，故该式在等精度测量值的直线拟合中应表示为

i都相同，

x2min12SNˆyaii1N0ˆ1x.a2 （0-0-12）

22xm已知测量值服从正态分布时，in服从自由度v＝N-2的x分布，其期望值

x2min12Sˆyaii10ˆ1xia2N2.

2由此可得yi的标准偏差

S

这个表示式不难理解，它与贝塞尔公式是一致的，只不过这里计算S时受到两参数

1Nˆ0aˆ1xi.yiaN2i1 （0-0-13）

ˆ0a和

ˆ1估计式的约束，故自由度变为N-2罢了。 a式（0-0-13）所表示的S值又称为拟合直线的标准偏差，它是检验拟合结果是否有效的

重要标志。如果xy平面上作两条与拟合直线平行的直线

ˆ0aˆ1xS,yaˆ0aˆ1xS,ya

如图0-0-1所示，则全部观测数据点（xi，yi）的分布，约有68.3%的点落在这两条直

线之间的范围内。

图0-0-1 拟合直线两侧数据点的分布

下面讨论拟合参数偏差，由式（0-0-10）和（0-0-11）可见，直线拟合的两个参数估计

ˆ1是yi的函数。因为假定xI是精确的，所有测量误差只有yi有关，故两个估计参数值0和a的标准偏差可利用不确定度传递公式求得，即

ˆaSa0ˆ0ayS;Sa1i1iN2ˆ1ai1yiNS.

2把式（0-0-10）与（0-0-11）分别代入上两式，便可计算得

Sa0SSa1SNxx2ii2xi2; （0-0-14）

NNxxi2i2. （0-0-15）

三、相关系数及其显著性检验

当我们把观测数据点（xi，yi）作直线拟合时，还不大了解x与y之间线性关系的密切程度。为此要用相关系数ρ（x，y）来判断。其定义已由式（0-0-12）给出，现改写为另一种形式，并改用r表示相关系数，得

rxiixyiy1/222xxxyiiii （0-0-16）

式中x和y分别为x和y的算术平均值。r值范围介于-1与+1之间，即-1≤r≤1。当r>0时直线的斜率为正，称正相关；当r<0时直线的斜率为负，称负相关。当|r|＝1时全部

数据点（xi，yi）都落在拟合直线上。若r＝0则x与y之间完全不相关。r值愈接近±1则它们之间的线性关系愈密切。