南昌县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

南昌县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 函数y=2|x|的图象是（ ）

A． B． C． D．

2． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是（ ）

A．60° B．45° C．90° D．120°

3． 给出定义：若

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m

在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题： ①③

；②f（3.4）=﹣0.4；

；④y=f（x）的定义域为R，值域是

；

则其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

4． 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）

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A． B． C． D．

5． 设集合Ax|（ ）

x30,集合Bx|x2a2x2a0,若 AB,则的取值范围 x1A．a1 B．1a2 C.a2 D．1a2 6． 甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：

分组 频数 分组 频数 乙校：

分组 频数 分组 频数 则x，y的值分别为 [70,80 1 [110,120 10 [80,90 2 [120,130 10 [90,100 8 [130,140 y [100,110 9 [140,150] 3 [70,80 3 [110,120 15 [80,90 4 [120,130 x [90,100 8 [130,140 3 [100,110 15 [140,150] 2 第 2 页，共 20 页

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A、12,7 B、 10,7 C、 10，8 D、 11,9

7． 已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PAPB 的最小值为

A、42 B、32 C、422 D、322

8． 若函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=loga（x+k）的是（ ）

A． B． C． D．

9． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+棱的长度为（ ）

=2，则四面体D﹣ABC中最长

A．

B．2 C． D．3

10．函数f（x）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）

22C．（﹣9，+∞） D．（﹣∞，﹣9）

2211．若圆心坐标为2,1的圆在直线xy10上截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ） A．x2y10 B．x2y14 C．x2y18 D．x2y116

12．随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

2222二、填空题

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13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（

）t﹣a（a为常数），

如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

14．已知a[2,2]，不等式x2(a4)x42a0恒成立，则的取值范围为__________.

115．已知函数fxx3mx,gxlnx.mina,b表示a,b中的最小值，若函数

4hxminfx,gxx0恰有三个零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．

16．曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：

①曲线C过点（﹣1，1）； ②曲线C关于点（﹣1，1）对称；

③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；

2

则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k．

④设p1为曲线C上任意一点，则点P1关于直线x=﹣1、点（﹣1，1）及直线y=1对称的点分别为P1、P2、P3，

其中，所有正确结论的序号是 ．

2317．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数fxx2x，若曲线fx在点1,f1处的切线经2过圆C:xya2的圆心，则实数a的值为__________．

18．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）

已知直三棱柱ABCA1B1C1中，上底面是斜边为AC的直角三角形，E、F分别是A1B、AC1的中点.

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（1）求证：EF//平面ABC； （2）求证：平面AEF平面AA1B1B.

20．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}． （1）求A∪B；

（2）求（∁UA）∩B； （3）求∁U（A∩B）．

21．f(x)sin2x

3sin2x. 2A2（1）求函数f(x)的单调递减区间；

（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()1，ABC的面积为33，求的最小值.

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22．（本小题满分12分）

成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从 某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试 成绩（百分制）的茎叶图如图所示.

（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；

（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）

323．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数fxx（1）试讨论fxx0的单调性；

31ax23ax1,a0． 2（2）证明：对于正数a，存在正数p，使得当x0,p时，有1fx1； （3）设（1）中的p的最大值为ga，求ga得最大值．

第 6 页，共 20 页

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24．已知f（（1）求f（x）；

）=﹣x﹣1．

（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．

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南昌县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

|x||x|

【解析】解：∵f（﹣x）=2﹣=2=f（x）

|x|

∴y=2是偶函数，

|x|

又∵函数y=2在[0，+∞）上单调递增，故C错误．

且当x=0时，y=1；x=1时，y=2，故A，D错误 故选B

【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据函数的解析式，分析出函数的性质，进而得到函数的形状是解答本题的关键．

2． 【答案】A

【解析】解：如图所示，设AB=2，

则A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（2，2，1）． ∴∴∴

=（﹣2，0，2），

==60°．

=（0，1，1），

=

=，

∴异面直线EF和BC1所成的角是60°． 故选：A．

【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3． 【答案】B

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【解析】解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+ ∴{﹣}=﹣1

∴f（﹣）=|﹣﹣{﹣}|=|﹣+1|= ∴①正确；

②∵3﹣＜3.4≤3+

∴{3.4}=3

∴f（3.4）=|3.4﹣{3.4}|=|3.4﹣3|=0.4 ∴②错误；

③∵0﹣＜﹣≤0+ ∴{﹣}=0

∴f（﹣）=|﹣﹣0|=， ∵0﹣＜≤0+ ∴{}=0

∴f（）=|﹣0|=， ∴f（﹣）=f（） ∴③正确；

④y=f（x）的定义域为R，值域是[0，] ∴④错误． 故选：B．

【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查．

4． 【答案】 A

【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2， ∴母线长为

，

=2+

．

2

圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×1+×2×2+×π×

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故选A．

【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．

5． 【答案】A 【解析】

考

点：集合的包含关系的判断与应用.

【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 6． 【答案】B

1 200

【解析】 1从甲校抽取110×＝60人，

1 200＋1 000

1 000

从乙校抽取110×＝50人，故x＝10，y＝7.

1 200＋1 000

7． 【答案】D.

PAPBt1【解析】设POt，向量PA与PB的夹角为，，

2sin21t，

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22PAPBt223(t1)，依不等式PAPB的最小值为223.

tcos12sin21222PAPBPAPBcos(t1)(1)(t1)，，t2t28． 【答案】C

xx

【解析】解：∵函数f（x）=ka﹣a﹣，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数 则f（﹣x）+f（x）=0

xx

即（k﹣1）（a﹣a﹣）=0

则k=1

又∵函数f（x）=ka﹣a﹣，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数

x

x

则a＞1

则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1） 函数图象必过原点，且为增函数 故选C

【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．

9． 【答案】 B

【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1， 即AD•

≥1，

≥2

=2，

因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=得BD=故选B．

=1时，等号成立，

，

，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=

，故最长棱的长为2．

【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．

10．【答案】B

【解析】解：原函数是由t=x与y=（

2

）﹣9复合而成，

t

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∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（

）﹣9其定义域上为减函数，

t

x2

∴f（x）=（）﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数， ∴函数ff（x）=（）﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．

x2

故选：B．

【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．

11．【答案】B 【解析】

考

点：圆的方程.1111] 12．【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称， 因为P（x1＜3）=P（x2≥a）， 所以3﹣2=4﹣a， 所以a=3， 故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

二、填空题

13．【答案】0.6 【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1

由题意可得y≤0.25=， 即（

）t﹣0.1≤，

）0.1﹣a

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即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6，

由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6

【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．

14．【答案】(,0)【解析】

(4,)

，2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴上方试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2，2]，即可，设关于的函数yf(x)x2(a4)x42a(x2)ax24x4对任意的a[-2当a-222时，yf(a)f(2)x(24)x440，即f(2)x6x80，解得x2或x4；当a2时，yf(2)x2(24)x440，即f(2)x22x0，解得x0或x2，∴的取值范围是

{x|x0或x4}；故答案为：(,0)(4,)．

考点：换主元法解决不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简

，2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.

5315．【答案】,

44【解析】

2试题分析：fx3xm，因为g10，所以要使hxminfx,gxx0恰有三个零点，须满足

f10,f(5m153m)0,m0，解得m,m 343244考点：函数零点

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

16．【答案】 ②③④ ．

2

【解析】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|=k，

对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；

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对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．②正确；

对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1| ∴|PA|+|PB|≥2

=2k，③正确；

对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性， 故答案为：②③④．

2

则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k．所以④正确．

【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，属于基础题．

17．【答案】2

【解析】结合函数的解析式可得：f11211，

3对函数求导可得：f'x3x2，故切线的斜率为kf'13121，

22则切线方程为：y11x1，即yx2，

22圆C：xya2的圆心为0,a，则：a022.

18．【答案】 m＞1 ．

2

【解析】解：若命题“∃x∈R，x﹣2x+m≤0”是假命题，

2

则命题“∀x∈R，x﹣2x+m＞0”是真命题，

即判别式△=4﹣4m＜0， 解得m＞1， 故答案为：m＞1

三、解答题

19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【

解

析

】

试

题解析：证明：（1）连接A1C，∵直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，

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故点F在A1C上，且F为A1C的中点，

在A1BC中，∵E、F分别是A1B、AC1的中点，∴EF//BC. 又EF平面ABC，BC平面ABC，∴EF//平面ABC.

考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理.

20．【答案】

【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}． （1）A∪B={1，2，3，4，5，7} （2）（∁UA）={1，3，6，7} ∴（∁UA）∩B={1，3，7} （3）∵A∩B={5}

∁U（A∩B）={1，2，3，4，6，7}．

【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．

21．【答案】（1）k【解析】

试题分析：（1）根据2k得A

3,k5（k）；（2）23. 622x62k3可求得函数f(x)的单调递减区间；（2）由2Af1可23，再由三角形面积公式可得bc12，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1

试题解析:（1）f(x)1131cos2xsin2xsin(2x)， 22262第 15 页，共 20 页

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35，解得kxk，kZ，

262365]（kZ）. ∴f(x)的单调递减区间为[k,k36令2k2x2k

考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.

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23．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数a，存在正数p，使得当x0,p时，有1fx1；（3）ga的最大值为3 3【解析】【试题分析】（1）先对函数fxx

31ax23ax1,a0进行求导，再对导函数的值的 2符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值

f01,faa3a21分析讨论，推断出存在p0,a使得fp10，从而证得当x0,p时，有1fx1成立；（3） 借助（2）的结论：fx在0,上有最小值为fa，然后分0a1，a1两种情形探求ga的解析表达式和最大值。

2证明：（1）由于fx3x31ax3a3x1xa，且a0，

1232121aa21，进而分fa1和fa1两种情形进行 2故fx在0,a上单调递减，在a,上单调递增． 第 18 页，共 20 页

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（3）由（2）知fx在0,上的最小值为fa．

2即2p31ap6a0满足pa的实根，

当0a1时，fa1，则ga是方程fp1满足pa的实根，



所以ga3a19a230a9又ga在0,1上单调递增，故gamaxg13． 当a1时，fa1，由于f01,f1故0,p0,1．此时，ga1． 综上所述，ga的最大值为3． 24．【答案】 【解析】解：（1）令t=∴f（t）=∴f（x）=

， （x≠1）…

，则x=

，

4．

91a11， 2（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）=

﹣

=

，

∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，

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∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x）在[2，6]上单调递减，…

∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…

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