有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算

二. 知识要点：

1、有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号先算括号里面的．

2、有理数运算规律：

（1）在有理数运算中，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方是三级运算．一个式子里三级运算都含有时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算；同一级运算，按照从左到右的先后顺序进行运算；

（2）有括号时按照小括号、中括号、大括号的顺序进行； （3）运算中应灵活运用运算律简化运算．

三. 重点、难点、考点：

1、重点：有理数的混合运算。

2、难点：有理数的混合运算顺序及符号的规律。

3、考点：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算。

考点分析：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算是历年中考必考的内容，本部分内容有时单独命题，有时与后面的其他知识综合命题，命题形式以解答题为主，有时也出填空题和选择题．

【典例精析】

例⒈ 计算：

⑴×（1／3－1／2）×÷5／4

⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3） 解：⑴

×（1／3－1／2）×

÷5／4

＝×（－1／6）××4／5 先算括号里面的 ＝－2／25 再算乘除

⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）

＝－10＋8÷4―（―4）×（－3） 先算乘方 ＝－10＋2－12 再算乘除 ＝－20 最后算加减

指导：解此题的关键是要严格按照混合运算的顺序进行运算．

例2. 计算 ：

⑴－1 4―（0.5－2／3）÷1／3×［－2―（―3）3 ］－︱1/8—0.52︱

⑵［35／3－（3／8＋1／16－3／4）×（－4）3 ］÷5

⑶－3 2 ×1.22 ÷0.32 ＋（－1／3）2×（－3）3 ÷（－1 ）2003

解：⑴－14―（0.5－2／3）÷1／3×［－2―（―3）3 ］－︱1／8－0.5 2 ︱

＝－1―（―1／6）×3×（－2＋27）－︱1／8－1／4 ︱ 先算乘方 ＝－1―（―1／6）×3×25－1／8 再算括号里的 ＝－1＋25／2－1／8 最后算加减 ＝11.375

⑵［35／3－（3／8＋1／16－3／4）×（－4）3 ］÷5

＝［35／3－3／8×（－）－1／16×（－）＋3／4×（－）］÷5 ＝［35／3＋24＋4－48 ］×1／5 ＝［35／3－20］×1／5 ＝35／3×1／5－20×1／5 ＝7／3－4 ＝－5／3

⑶－3 2 ×1.2 2 ÷0.3 2 ＋（－1／3）2×（－3）3 ÷ （－1）2003 ＝－9×36／25×100／9＋1／9×（－27）÷（－1） ＝－144＋3 ＝－141

指导：有理数混合运算中应注意以下问题：⑴ 要注意运算顺序； ⑵ 要灵活运用运算律进行简便计算，不要搞错符号，特别是乘方符号；⑶ 要灵活进行分数、小数的互化 ⑷互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为0等特殊运算先行结合．

本例中⑴小题按“＋”“－”号分为三段，再分别计算每一段；⑵小题可灵活运用乘法的分配律；⑶小题中把小数化成分数后计算较为简便．

例3. （2006，浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为神秘数．如：4＝2 2－02 12＝42－22 20＝62 －42 因此4，12，20都是神秘数． （1）28和2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？

，

解：（1）因为28＝4×7＝82－62 2012＝4×503＝5042－5022，所以是神秘数。

⑵（2k＋2）2 －（2k）2 ＝4（2k＋1），因此由2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数． ⑶由（2）可知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数，设两个连续奇数为2k＋1和2k－1（其中k取正整数）则（2k＋1）2－（2k－1）2＝8k，即两个连续奇数的平方差不是神秘数。

指导：此题是探索题，正确理解题意，仔细观察所给的式子，可以看出解题的规律，从而找到解题的途径。

例4. 在一片草地中间，有一间正方形的小房子，它的边长6m，房子外边南墙的正中有一只羊，拴羊的绳长12m，远处的一根木桩拴着一头牛，绳长11m。问牛和羊谁能吃到草的面积更大些？大多少？（π取3）

解：羊吃到草的面积为

1／2×3×（122＋92＋32）＝351m2 牛吃到草的面积为 3×112＝363m2

所以，牛吃到草的面积更大些，大12m2

指导：由题意可知羊能吃到草的部分是3个半圆，而牛能吃到草的部分是一个圆。

例5. （2007，绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数，这两者可以互相换算，如将二进制数1101换算成十进制数应为1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为───────────────。

解：1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝25，即25换算成二进制数为11001．

指导：理解二进制与十进制之间的换算规律是关键。从题目中可知1101为13，所以25必定为4位以上，所以我们可以写为1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝25，写为11001。

【思想方法总结】

有理数的混合运算，关键是牢记混合运算的法则及运算顺序，要能灵活应用运算律进行简化运算，并能解决有关的实际问题．灵活应用运算律进行运算式子变形是数学中重要的“转化思想”，学习时应注意这一思想的培养。

【模拟试题】﹙时间：60分钟，满分100分﹚

一、选择题：﹙每小题3分，共27分﹚

1. （－16）÷（―2）3―22×（－1／2）的值是 （ ） A. 0 B.－4 C. －3 D. 4

2. 下列各组数中，数值相等的是 （ ）

A. 32和23 B. （－3＋2）2和（－3）2＋22

C. （－3）2和23 D. （－3）2×22和［（－3）×2］2 3. 计算－22－（－2）3×（－1）2－（－1）3的结果为 （ ）

A.－30 B.－1 C. 24 D. 5

4. 计算（－2）2003 ＋（－2）2002的值是 （ ）

A. 1 B. －2 C. －22002 D. 22002

﹡5. （2007·天门）中百超市推出如下优惠方案∶⑴一次性购物不超过100元，不享受优惠；⑵一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；⑶一次性购物超过300元一律8折。某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（ ）

A. 288元 B. 332元 C. 288元或316元 D. 332元或363元

﹡6. （2007·广东深圳）若（a－2）2＋︱b＋3︱＝0，则（a＋b）2007的值是（ ）

A. 0 B. 1 C.－1 D. 2007 7. 下列各式计算正确的是（ ）

A. －22－（－2）2＝0 B. －2÷3×1／2＝－2

C. －3×（－7－5）＝6 D. （3－6）×1／2＝－3／2

8. 如果（m＋2）2＋（n－3）2＝0，那么代数式2／3（m－n）的值为（ ） A. 2／3 B. 2／15 C.－2／15 D.－2／3 ﹡9. 若x是有理数，则x2＋1一定是（ ）

A. 等于1 B. 大于1 C. 不小于1 D. 非负数

二、填空题：﹙每小题3分，共27分﹚

10. （－1）2000＋（－1）2007＋（－1）2006＋02003＝_________________

﹡11. 有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的∶任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，例如对1，2，3，4可作运算：（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）。现有四

个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：⑴____________ ⑵____________ ⑶____________ 12. （2006厦门）计算∶25÷23＝________________________。

13. 观察21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝，27＝128，28＝256，… 通过观察用你能发现的规律写出219的末位数字是____________ 14.－32÷（－3）2＋3×（－2）＝____________

15. （1－2）（3－4）（5－6）…（99－100）＝____________

16. 若x＝2时，代数式ax3－2的值为3，当x＝－2时，ax3－2的值是____________

17. 如图是2007年6月份的日历，像图中那样，用一个圈竖着圈住三个数，如果被圈住的三个数的和为42，那么这三个数中最大的一个数为 _________________。

﹡﹡18. （2007，湖南常德）观察下列各式： 13＝12 13＋23＝32

13＋23＋33＝62 13＋23＋33＋43＝102 ……

猜想：13＋23＋33＋…＋103＝___________________

三. 解答题：﹙共46分﹚

19. 计算：﹙每小题4分，共20分﹚

⑴－22―（－3）2×（－1）2－（－1）3

⑵—32－︱（－5）3 ︱×（－2／5）2－18÷︱－（－3）2 ︱ ⑶1／5×（－5）÷（－1／5）×5

⑷0.5－（2／3－1.25）×0.6÷（－1.75） ⑸（－278）÷78.7×（－3／4）×0

20. ﹙6分﹚已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，e的绝对值等于6 求2a＋2b－6cd＋b／a＋e的值 21. 计算﹙5分﹚ 24＋6÷1／3×3

22. ﹙6分﹚若有理数a，b满足（a＋1）2＋（b－1）2＝0，求式子3a2－2b3／ab的值。 23. ﹙9分﹚某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： ⑴若一次购物少于200元，则不予以优惠；

⑵若一次购物超过200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；

⑶若一次购物超过500元，其中500元以下部分（含500元）给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠。

小李两次去该超市购物，分别付款198元和5元，现在小张决定一次性的购买与小李分两次购买同样多的物品，他需付款多少元？

【试题答案】

一. 选择题：

1. D 2. D 3. D 4. C 5. C 6. C 7. D 8. C 9. C

二. 填空题：

10. 1

11. ⑴3×［4＋10＋（－6）］；⑵ （10－4）－3×（－6）； ⑶4－（－6）÷3×10

12. 4 13. 8 14.－7 15. 1

16.－7 17. 21 18. 552

三. 解答题：

19. 计算：⑴－12 ⑵－31 ⑶25 ⑷3／10 ⑸0

20. 解：由已知得b／a＝－1，a＋b＝0，cd＝1，︱e︱＝6，e＝±6． 当e＝6时，2a＋2b－6cd＋b／a＋e＝2（a＋b）－6cd＋b／a＋e ＝2×0－6×1+（－1）＋6 ＝－1

当e＝－6时，2a＋2b－6cd＋b／a＋e＝2（a＋b）－6cd＋b／a＋e ＝2×0－6×1＋（－1）＋（－6） ＝－13

所以，2a＋2b－6cd＋b／a＋e的值为－1或－13。 21. 解：24＋6÷1／3×3 ＝16＋6×3×3 ＝16＋＝70

22. 解：因为（a＋1）2＋（b－1）2＝0，不论a，b取何值，（a＋1）2≥0，（ 而（a＋1）2＋（b－1）2＝0，所以，（a＋1）2＝0， （b－1）2＝0。 因此，a＋1＝0，b－1＝0。 所以，a＝－1，b＝1。 所以，3a2－2b3／ab＝－1

23. 解∶（1）当一次购物没超过200元时，两次购物的标价为： 198＋500＋（5－500×0.9）÷0.8＝828元

若一次购买需付款为：500×0.9＋（828－500）×0.8＝712.4元 （2）当第一次购物超过200元时，两次购物的标价为： 198÷0.9＋500＋（5－500×0.9）÷0.8＝850元

（3）若一次购买需付款为：500×0.9＋（850－500）×0.8＝730元

b－1）2≥0