动起来的三角板与相似三角形

江苏 王峰

以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之于平移、旋转为图形的变换手段，“导演”出一类三角形中的相似问题，格调清新，立意新颖，为学生提供了一个自主动手实践操作，观察、分析、猜想并进行说理验证的科学探究模型，让学生能在一个动态的情景中感悟知识的发生、发展过程、探索问题的结论和规律的变与不变，真正理解图形的性质，同时对培养学生的空间观念，探索能力、创新思维能力有着重要的作用.

例1 （扬州市）等腰三角形ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小惠拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在P点，三角板饶点P旋转.

(1)如图1，当三角板的两边分别交

A E AB、AC于E，F时，求证△BPE∽△CFP. E A M F (2)操作三角板绕P旋转到图2情形F N B 时，三角板两边分别交BA的延长线、B C C P P 边AC于E，F. 图1 图2 ①探究△BPE与△CFP还相似吗？

②探究：连接EF，△BPE与△PEF是否相似？说明理由. ③设EF=m，△EPF面积为S，用含m的代数式表示S.

分析：(1)如图1，欲证△BPE∽△CFP ，我们从寻找两角对应相等，两个三角形相似入手.由等腰三角形ABC，∠BAC=120°，可知：∠B=∠C=30°，故∠EPB+∠BEP=180°－∠B=150°，又∠EPF=30°，∴∠EPB+∠FPC=180°-30°=150°，∴∠BEP=∠CPF，问题获证.

(2) 操作三角板绕P旋转到图2情形时，①△BPE与△CFP仍然相似，这是因为相似的条件∠B=∠C，∠BEP=∠CPF未变(虽然三角板的位置变化了，但∠EPF=30°这个角不变，因而∠EPB+∠FPC仍为150°).

②△BPE∽△PEF，欲证△BPE∽△PEF，显然它们有一对对应角∠B=∠P=30°，以下只须证夹这两个角的边对应成比例，即证

BEPEBEPE.而BP=PC，即证.由①△BPEBPPFPCPF∽△CFP便可知获证.

③由②△BPE∽△PEF 可知：∠BEP=∠PEF，过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，则PM=PN.连接AP，在△ABP中，∠B=30°，AB=8，可得AP=4，∴PM=23，∴PN=23，∴S=

1·PN²EF=3. 2评注：（1）本题巧妙的将30°角直角三角板放置到120°的等腰三角形中，构造了两个三角形相似问题，主要考查“有两个角对应相等的两个三角形相似”的判定定理，（2）①用旋转变换的手段，设置了图形变化的情景，让学生探究相似关系的变与不变，处理此类问题的一般方法，仍然是用同样的思路（虽然图形发生了变化）看看原来推出结论的相关条件是否还成立，若成立则结论不变，否则不成立.②主要考查“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，但这时需要借助①的结论，这也是解决有多个问题结论常用的方法，也就是说前面的结论可作为下面说理论证的依据.③巧妙地将△PEF的高PN通过角平分线的性质转化为PM来求，这是解决△EPF的面积的关键所在.

例2 （浙江绍兴市）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：

(1)将一块含45°角的直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与

OA、OB交于点C，D，在图3中，点G是CD与OP的交点，且

3PGPD，求△POD与△PDG的面积之比；

2A C G M P B (2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与OBO D 交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA、OB分别交于点C、E，图3 使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图4中作出图形，

A 并求OP的长.

M 分析：（1）欲求△POD与△PDG的面积之比，观察图3，容易

发现△POD与△PDG有一个公共角∠OPD=∠DPG，且∠POD=∠PDG=45°，因而△POD∽△PDG，根据“相似三角形面积的比等于

O B 2SPODPD3图4 PD，故它们的相似比”，所以，又PGSPDGPG2SPOD4 SPDG3（2）审题很重要，题目中有一句话“另一直角边与直线OA、OB分别交于点C、E”，言外之意，就是说另一直角边可能与OA、OB相交，也可能与它们的延长线相交，因而可能出现不同的情况，结合图形操作三角板我们可以发现有如下的两种情形：①另一直角边与直线OA交于点C、与BO的延长线交于点E（图5）②另一直角边与AO的延长线相交于点C，与OB相交于点E（图6）. M A M

A F P

P E B O C D C B E O D 图6 图5

当另一直角边与直线OA交于点C、与BO的延长线交于点E时，如图5，由∠PDE>∠CDO,又△PDE∽△OCD，则∠CDO=∠PED，CE=CD，而CO⊥DE，所以OE=OD，而∠EPD=90°，故OP=

1DE=OD=1. 2当另一直角边与AO的延长线相交于点C，与OB相交于点E时，如图6，延长DP与OA交于F，由∠PDE>∠CDE,而△PDE∽△OCD，则∠CDO=∠PDE，因OD⊥CF，则OF=OC，而CP⊥DF.所以OP=

1CF=OF，∠PDC=45°. 22设OP=a，则CO=OF=a，CD=a1，又△PFC∽△COD，则

2aCPFC，即CP=.2ODCDa1由于CD=2CP，所以a1=2³

22aa12，解得a=2±1，(舍去2+1).

故OP=2－1.

评注：本题（1）通过等腰直角三角板在一个直角的平分线上平移创设了一个求三角形的面积比的问题情景，其目的使学生能从图形中发现、辨认出相似三角形，表面上是三角板操作，实际上是利用三角板中的45°角，为相似提供了条件；（2）只有透彻理解“另一直角边与直线OA、OB分别交于点C、E”，“以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似”这两句话的真正含义，从而分情况，才能准确地画出解题所需的图形，事实上只要将三角板绕P点逆时针转动，一条直角边始终与OB相交，观察图形便会发现另一条直角边可能与OA相交或与OA的反向延长线相交，因此图5、6的作图便自然“浮于水面”，露出“庐山”真面目.本题通过三角板的“移动”——学生实验操作（做数学的过程），使学生身临其境感受了知识的发生、发展过程，感悟了“数学地思考”方法，体验了数学充满着探索性、挑战性、趣味性，增强了学生发现问题、研究问题、解决问题的创造、创新能力.

初试牛刀：(云南昆明)操作：如图4，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E. 探究：

A D

（1）观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论； （2）当点 P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？

提示：通过操作不难画出下面（1）、（2）两个图形，本题主要考查B C 直角三角行的判定，相似三角形的性质，解题关键是通过操作画出图形。 图4 （1）如图（1），另一条直角边与AD交于点E.则△PDE∽△BCP

E或如图（2）,若另一条直角边与BC的延长线交于点E,同理可证△PDEAD∽△BCP

P（2）如图（3）,当点P位于CD的中点时,若 另一条直角边与AD交于点E,则

PD1 BC2BACDPBCE又 因为△PDE∽△BCP所以△PDE与△BCP的周长比是1︰2 或如图（4）,若另一条直角边与BC的延长线交于点E, 同理可证△PCE与△BCP的周长比是1︰2 或:若一条直角边与BC的延长线交与点E,

（1）（2）因为

BE5,又△BPE∽△BCP，所以BP2AEDPADP△BPE与△BCP的周长比是5︰2.

B（3）CB（4）CE