6、二次函数与方程不等式的关系

【知识梳理】

1、二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b24ac b24ac0 b24ac0 b24ac0 遇到抛物线与x轴的交点存在某种关系时，可综合应用一元二次方程根的判别式，根与系数的关系及二次函数的性质进行解答。 2、二次函数与不等式的关系

（1）a>0：大于0取两边，小于0取中间。 （2）a<0：大于0取中间，小于0取两边。

考点一、二次函数与方程的关系 例1.已知二次函数y=ax2-2x-2的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是

例2.函数 的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的取值和交点坐标分别是什么？

例3.已知抛物线 与x轴相交于A(x1,0) ,B(x2,0)，且x1≠x2。 （1）求a的取值范围，并证明A,B两点都在原点左侧； （2）若抛物线与y轴相交于C，且OA+OB-OC=-2,求a的值。

例4.已知抛物线y=ax2+bx+c，其顶点在x轴上方，经过点（-4,5）,它与y轴相交于点C（0,3），与x轴交于A，B两点，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和等于40. （1）求抛物线的解析式。

（2）抛物线上是否存在x轴上方的一点P，使S△PAB=2S△CAB？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

考点二、二次函数与不等式的关系 例5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2 +bx+c=0的两个根； （2）写出不等式ax 2 +bx+c>0的解集；

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

（4）若方程ax 2 +bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

例6.已知函数y1＝x2与函数y2 的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（ ）．

A. ＜x＜2 B．x＞2或x＜ C．－2＜x＜ D． x＜－2或x＞

变式练习：

1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标(－1，－3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝( ) A．－1.3 B．－2.3 C．－0.3 D．－3.3

2．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝____．

(第1题) (第2题) (第3题)

3．如图所示，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )

A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9

4．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( ) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1

(第4题) (第5题)

5.二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像如图，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

6.已知抛物线y＝ax2-2x＋1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限

7、y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________

8.如果抛物线y= x2-mx+5m2与x轴有交点，则m______

课后练习

1.如图，二次函数 的图象经过原点，顶点的纵坐标为 ，若一元二次方程

有实数根，则 的取值范围是（ ）

A. B. C.

2.下表示用计算器探索函数 时所得的数值： D.

则方程 的一个解 的取值范围为（ ） A. B. C. D.

3.根据下列表格的对应值： 判断方程 （ ， ， ， 为常数）的一个解 的范围是（ ） A. B. C. D.

4.下列二次函数的图象与 轴有两个交点的是（ ） A. B. C. D.

5.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .

6.已知抛物线 与x轴交于A，B两点。

（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；

（2）若 （O是坐标原点），求抛物线的解析式。