2015电大2332高等数学总复习

二、综合练习

（一）单项选择题

⑴下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．

(A) f(x)(x)2，g(x)x (B) f(x)x2，g(x)x (C) f(x)lnx3，g(x)3lnx (D) f(x)lnx4，g(x)4lnx

⑵设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（D 对称．

(A) yx (B) y轴 (C) x轴 (D) 坐标原点 ⑶当x0时，变量（C ）是无穷小量．

(A) 1x (B) sinxx

x (D) x2(C) e1 x3

⑷设f(x)在点x1处可导，则limf(12h)f(1)h0h（D ）．

(A) f(1) (B) f(1) (C) 2f(1) (D) 2f(1) ⑸函数yx22x3在区间(2,4)内满足（B ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降

⑹若f(x)cosx，则f(x)dx（B ）． (A) sinxc (B) cosxc (C) sinxc (D) cosxc

π⑺2π(xcosx2x72)dx（D ）．

2 (A) 0 (B) π

(C) π2 (D) 2π

⑻若f(x)的一个原函数是1x，则f(x)（B ）．

1

）2 x311 (C) (D) 2

xx⑼下列无穷积分收敛的是（B ）．

(A) lnx (B)

(A) (C)

0cosxdx (B)

1xdx (D)

0e3xdx

1dx x11

（二）填空题 ⑴函数yx2x的定义域是 [2,1)(1,2) ．

ln(2x)x2x0⑵函数y的间断点是 x0 ．

sinxx01x⑶若函数f(x)(1x)3xkx0，在x0处连续，则k e ．

x01 ． 4 ⑷曲线f(x)x2在(2,2)处的切线斜率是

⑸函数y(x2)21的单调增加区间是 (2,) ．

⑹若f(x)dxsin3xc，则f(x) 3cos3x ． ⑺

dx2edx dx ex 2．

（三)计算题

1⑴已知f(x1)x22x3，求f(x),f(2),f()．

xtan6x⑵计算极限lim．

x0sin5xx26x5⑶计算极限lim2．

x1x4x5sin(x1)．

x1x22x3sinxlnx⑸设y，求y．

x2⑷计算极限lim⑹设ylnsin3x，求dy．

2

⑺设yy(x)是由方程eyexy3cosx确定的函数，求dy． ⑻计算不定积分⑼计算不定积分sinxxdx．

1dx．

x(1lnx)1xedx． 2xlnx⑾计算不定积分2dx．

x⑽计算不定积分⑿计算定积分xe2xdx．

0e1⒀计算定积分x2lnxdx．

1⒁计算定积分

（四）应用题

elnxx1dx．

⑴求曲线y22x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．

⑵圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为d，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

⑶某厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？ ⑷欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

（五）证明题

⑴试证：奇函数与奇函数的和是奇函数；奇函数与奇函数的乘积是偶函数． ⑵试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数． ⑶当x0时，证明不等式xarctanx．

⑷当x1时，证明不等式exxe．

⑸证明：若f(x)在[a,a]上可积并为奇函数，则f(x)dx0．

aa

三、综合练习答案

62114x2⑴ x4,0, ⑵ ⑶ ⑷

543x22 3

xcosx12sinx2lnxexy3sinx ⑸ ⑹ 3cotxdx ⑺ ydx 32xe3ycosx⑻ 2cosxc ⑼ ln1lnxc ⑽ ec ⑾ 1xlnx1c ⑿ 14(e21) ⒀ 19(2e31) ⒁ 42e

（四）应用题

⑴ (1,2)和(1,2) ⑵底半径r63d，r3VVπ，高h3π ⑷ 底边长x5，高h2.5 4

x高h33dx ⑶底半径