陕西师范大学 网络教育 《高等数学(二)》作业及参考答案

一、填空题

1．点A（2，3，-4）在第 VIII 卦限。 2．设f(x,y)x2xyy2sin2y,则f(tx,ty) txf(x,y) .

3．函数xy1的定义域为 y25(x,y)xy0 。

4．设f(x,y)xyyx,则f24 x5xy 。 y5．设共域D由直线x1,y0和yx所围成，则将二重积分

f(x,y)dD化为累次积分得

dx01x0f(x,y)dy或dy011yf(x,y)dx 。

6．设L为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分(xy)ds= L2 。

7．平面2x2yz50的法向量是 （2，-2，1） 。

8．球面xyz9与平面xy1的交线在x0y面上的投影方程为

222x2y2(1x)29z0 。

9．设zu2v2,而u=x-y,v=x+y,则10．函数zz -4y 。 x2xy的定义域为 (x,y)x0,y0,xy 。

2211．设n是曲面zxy及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为

f(x,y,z)dxdydz为三次积分，得到

n11dx1x21x2dy21xy2f(x,y,z)dz 。

56 。 1522212．设L是抛物线yx上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则(xy)dx L13．已知两点M1(1,3,1)和M2(2,1,3)。向量M1M2的模M1M2 3 ；向量M1M2的方向余弦cos=

1/3 ，cos= -2/3 ，cos 2/3 。 14．点M（4，-3，5）到x轴的距离为 34 。

1dz15．设zuvsint,而ucost,vlnt,则全导数 lntsintcostcost 。

tdt第 1 页 共 7 页

在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！

16．设积分区域D是：xya(a0)，把二重积分

222f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分，得

D20df(rcos,rsin)rdr. 。

0a17．设D是由直线x0,y0和xy1所围成的闭区域，则二重积分

xd= 1/6 。

D18．设L为XoY面内直线x=a上的一段直线，则p(x,y)dx= 0 。

L19．过点

p0(x0,y0,z0)作平行于z轴的直线，则直线方程为

xx002yy0022zz01. 。

20．点（2，4，8）关于z轴的对称点的坐标是 （-2，-4，8） 。

2r2r2r21．设rxyz,则222 2/r 。

xyz22．设zy,则dz

xylnydxxydy. 。

L2xx123．设L是从点A（-1，0）到点B（1，0）的直线段，则曲线积分ydx 0 。 24．设D是矩形区域：x1,y1，则二、计算题 1．求下列极限：

（1）lim22(xy)d= 8/3 。 Dxyxex1xyy2

（2）lim2xy4x0xyy0

第 2 页 共 7 页

在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！

（3）lim(x2y2)sinx0y01x2y2

解：

lim(x2y2)0,x0y0又当x0,y0时sin1有界, 22xylim(x2y2)sinx0y010.22xy（4）limx0y0xy1xy1 解：

limx0y0xy(1xy1)xylim0(1xy1)(1xy1)1xy1xy0

xy(1xy1)limx0xyy0lim(1xy1)x0y02x2y（5）lim2

x0xy2y0解：

0xyxy222y又limy0x0y0

limx0y0x2yxy2202．求下列函数的偏导数：

（1）zxyxsiny; （2）zxy。

第 3 页 共 7 页

在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！

2 （3）z(12xy) （4）zarctanxy x（5）ulntan()xy;

2.(1)解:z2xysiny,xzx2xcosy.yz(2)解:yxy1,xzxylnxy（3）解：

在z(12xy)x的等号两边取对数得:lnz=xln(1+2xy).对x求偏导数:1z1ln(12xy)x2yzx12xy

z2xyzln(12xy)x12xy2xy(12xy)xln(12xy)12xy

.（4）解：

z1yy(2)2x1(y)2xxy2xz11x2.2yy1()2xxyx（5）解：

;

第 4 页 共 7 页

在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！

u1x1sec2()xtan(x)yyy1xxysin()cos()yy22xcsc().yy u1xxsec2()(2)ytan(x)yyy2x2x2cscyy3．改变下列二次积分的次序：解：

21dxf(x,y)dy。

1x2dx12x21f(x,y)dydy142y3f(x,y)dx

34．利用曲线积分计算星形曲线xacost,yasint所围成的图形的面积。 解：设L是星形曲线（方向为逆时针方向），则面积

A1xdyydxL212(acos3t3asin2costasin3t3acos2tsint)dt20322a(sin2tcos4tcos2tsin4t)dt 02322asin22td(2t)0163a285．计算二重积分解：

Dx2y2d,其中D是圆球形区域:a2x2y2b2(ba0).

第 5 页 共 7 页

在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！

Dx2y2d2rdrdD20dr2drabb12r33a2(b3a3)36．计算三重积分

解：

.xdxdydz,其中是三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域。

xdxdydz1x2010dx1x20dy1x2y0xdy10xdx1(12x2y)dy

1(x2x2x3)dx401.48227．验证：在整个xoy面内，xydxxydy是某个函数的全微分。 解：

令pxy2,x2y,则xy2dx+x2ydy=pdx+dy.由于在整个xoy面内恒有p2xy,yx

因此,在整个xoy面内xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分.8．证明曲线积分解：

(2,1)(1,0)(2xyy43)dx(x24xy3)dy在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值。

第 6 页 共 7 页

在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！

设p2xyy43,qx24xy3则在整个xoy面内恒有pq32x4y,yx因此,该积分与路径无关,取积分路线如右图,则有1(2,1)(1,0)pdxqdy10

p(x,0)dxq(2,y)dy3dx(48y3)dy1021259．计算

xyd，其中D是由直线x2,y1及yx所围成的闭区域。

D解：D是X-型区域。

xyddx1D22x1xydy1(.x3)dx22x1 980 1

222222xyz1所围成的区域。 ，其中Ω是球面(xyz)dv2 10．利用球面坐标计算三重积分：

22224(xyz)dddrsindr0001解：

d020sindrdr4011

12cos0r55045.第 7 页 共 7 页

在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！