卫福山（上海市松江二中） ２００９年高考数学上海卷理科第２２题如下： 特殊函数，这里起点很低：一个是给定一个具体函数，让考生 “已知函数Ｙ＝厂一（９６）是Ｙ＝ｆ（６９）的反函数．定义：若对给定的 按照定义去验证，一个是让考生利用待定系数法求出一类满足 实数ａ（ａ＃Ｏ），函数Ｙ＝厂（ ＋。）与Ｙ：厂 （９６＋ｎ）互为反函数，则 ａ和性质”的函数（即一次函数）．第（３）问要求很高，让考生 称Ｙ＝－厂（ ）满足“ａ和性质”．若函数Ｙ＝，（一）与Ｙ＝ｆ－ （ ）互为 探求满足“ａ积性质”的函数表达式，这里要深刻理解“给定” 反函数，则称Ｙ＝ｆ（ｘ）满足“ｏ积性质”． 说明理由； （２）求所有满足“２和性质”的一次函数； 与“任何”的差异．对给定的实数ａ（ａ＃Ｏ），则视ａ为（常）参 对参数ａ的要求不同． 二、对问题的深入思考 （１）判断函数ｇ（ｘ）：９６ ＋１（ ＞０）是否满足“１和性质”，并 数；对任何ａ＞０，则视ａ为（变）参数，因此第（２）问和第（３）问 （３）设函数Ｙ＝厂（ ）（ ＞０）对任何ａ＞０满足“ａ积性质”， 求Ｙ＝厂（ ）的表达式． 关于第（２）问，给出前提“一次函数”，解决起来问题不大． 但是反问一下：满足“２和性质”的函数是否一定是一次函数 这道题目的得分率很低，特别是第（３）问，得分率低于０．１， 呢？或者更一般地，满足“ａ和性质”的函数是否一定是一次函 算是一道难度偏大的题．但从数学研究的角度，笔者对这道题进 数呢？这里题目中“给定”两字尤为重要．事实上，对给定的实 行了较深入的研究，觉得还是有一定的价值的，对中学数学教 数ｎ（ｏ≠０），函数ｆ（ ）不一定是一次函数，如满足“１和性质” 师的教学有一定的启示． 一的函数可以是ｆ（ ）＝一＋ｂ（６ Ｒ）、ｆ（ ）＝［一］等，满足“２和 性质”的函数可以是／（ ）＝一十６（６∈Ｒ）、／（ ）： ‘ 、对题目的理解 本题算是一道概念学习型问题，是从反函数的概念引发而 。一２ｘ＋ｃ Ｒ）等，即满足“ａ和性质”的函数不一定是一次函数． 来的，对高中生而言并不陌生，但反函数是学生学习中的难点． （ｃ如果对任何实数ａ，函数ｆ（ ）满足“ａ和性质”，结果如何 学生解答本题时暴露出的问题是对题目的理解不深、不透． １．关于题设的理解 呢？笔者经过研究发现结果是肯定的，有如下的命题． 命题：设Ｙ＝厂（ ）， ∈Ｒ是初等函数，且对任何实数ａ ≠０）有厂（ ＋ａ）＝．厂（ ）一ａ，则．厂（ ）＝ ＋ｂ（ｂ为任何实数）． 证法１：令ａ＝１则有ｆ（６＋１）一厂（９ ）＝一１． 当 ∈Ｎ 时，有： （１）从代数角度，由于Ｙ＝ｆ－ （６９＋。）的反函数为Ｙ＝厂（ ）一。， 故函数Ｙ＝，（ ＋ｎ）与Ｙ＝ｆ－ （６＋ｏ）互为反函数即满足ｆ（ｘ＋ａ）＝ ９，（ ）一ｏ．同理，函数Ｙ＝，（一）与Ｙ＝－厂 （似）互为反函数，则 ，（似）：与（ ）． ａ 厂（２）一＿厂（１）＝－１， （２）从几何角度，不妨假定ｏ＞０，由于函数Ｙ＝厂（ ＋。）的 图象是由函数Ｙ＝ｆ（ｘ）的图象向左平行移动ａ个单位得到的，函 数Ｙ＝ｆ－ （６＋ｎ）的图象是由函数Ｙ＝厂 （９ ）的图象向左平行移动ｎ 个单位得到的，所以函数Ｙ＝，（ ＋ｏ）与Ｙ＝ｆ－ （９６＋ｏ）的图象关于 ｆ（３）一ｆ（２）＝一１， ｆ（ｎ）一ｆ（ｎ一１）＝一１， 以上ｎ一１个等式相加，得 ｆ（ｎ）：一ｎ＋＿厂（１）＋１． 因此，当 ∈Ｎ 时，有／（ ）＝ ＋，（１）＋１ 令０＝ 一（ｎ∈Ｎ．）， 直线Ｙ＝ ＋ａ对称．同理，函数Ｙ＝厂（一）与Ｙ＝ｆ－ （一）的图象关 于直线Ｙ＝ 对称． ２．关于问题的理解 试题的第（１）问和第（２）问是让考生研究满足“ａ和性质”的 ２８［２０１０年话＿５期１中国数学教育 则有 （ ＋ １）一／（ ）＝一 ， 于是可得如下一组等式： 解：由于函数Ｙ＝ｆ（ ）（ ＞０）对任何０＞０满足“。积性 质”，即ｆ（似）＝ 厂（ ），视 为参数，ｏ为变量，将方程改写 成厂（似）＝ ，这里０＞０， ＞０，显然ｆ（ ）≠０，否则与 ｒｆ ＋－Ｌ１～ｒｆ ｌ１＿一 ， ＼ｎ ／７，／ ＼ ／ ／／， 厂ｆｌ２＋１ １一，’ｆ １＿一１， ＼ｔ／， 几／ ＼几， ｎ 厂（ ）存在反函数矛盾．由于 为参数，不妨令 （ ）＝｜ｊ｝．用 代替似，有厂（ ）＝生（ ＞０， ≠０）． 三、对试题编制的想法 ／（旦 ＋ ）一／（旦 ＋ ）－一 ， 以上ｎ一１个等式相加，得 笔者认为这样一道高考试题的想法很好，将反函数的概念 与函数图象的平移、伸缩变换结合起来，涉及到最基本又最重 要的加法、乘法运算，而进一步的研究又发现本题涉及含参数 的问题中参数与变量的辩证看待．学生在学习反函数时，常常不 能正确区分记号‘ ”与‘ ”，事实上，若ｆ（ ）存在反函数， ，（１）一／（ 一 ， 即，（ ）＝一 １＋／（１）＋ｌ＿ 同样，／（ ）＝一 ＋－，（１）＋１（ｎ Ｎ ，ｍ Ｎ ）． 于是对任何正有理数 ，ｆ（ｘ）：一 ＋＿厂（１）＋１． 用一 代替 有／（ ＋ｏ）＝／（一 ）一。， 则厂（ａ）＝ｂｃ＝￣ａ＝／ （６）．Ｙ＝ｌ厂（ ＋。）的反函数是，，：广 （ ）一８， Ｙ＝－厂（毗）的反函数是Ｙ＝ 厂 （ ），从中我们或许能感受反函数 的“反”．从函数／（ ）与／ （ ）互为反函数出发编制与 （ ）和， （ ） 均有关的试题，学生在平时的解题中也会遇到，如求满足ｆ（ｘ）＝ 厂。（ ）（即自反函数）的函数的表达式，这样的函数很多，比如 ｙ—ｙ＝ ，，，＝同样得对任何负有理数 ，ｆ（ｘ）＝ ＋＿厂（１）＋１． 于是对任何有理数 ，有ｆ（Ｘ）＝一＋．厂（１）＋１． 对任何 Ｒ，利用实数的稠密性，存在一串有理数｛ ｝， 使得ｌｉａｒ ＝ ， 利用初等函数的连续性，有 ｆ（ｘ）＝ｆ（１ｉｍ‰） ＝等，…・ 结合自己对问题的深入思考，笔者有以下的一些想法． （１）对给定的实数ａ，满足““和性质”的函数不一定是一 次函数，如前面的反例，但如果结合高等数学有关连续的知识 后，若要求函数是连续函数时结果如何呢？即问题１． ｌｉｍｆ（ ） ｌｉｍ（ ＋－厂（１）＋１） 问题１：若函数厂（ ）， ∈Ｒ是连续函数，且对给定的实数 ａ（ａ￣Ｏ），有ｆ（ｘ＋ｏ）＝厂（ ）一ｎ，贝０／（ ）＝一 ＋ｂ（ｂ为任乖 实 数）是否成立？ ＝＝ ＋＿厂（１）十１． 又由已知条件ｆ（１）的值无法确定，是（常）参数， 令ｆ（１）＋ｌ＝ｂ（ｂ∈Ｒ），得ｆ（ｘ）＝ ＋ｂ． 对满足“。积性质”有完全类似的想法，即问题２． 问题２：若函数ｆ（ ）， ＞０是连续函数，且对给定的实数ｏ ＞０），有Ｉ厂（ ）＝ 立？ 证法２：令 ＝１有＿厂（１＋０）＝Ｉ厂（１）一。． 由于。为任何实数，令１＋。＝ ， 贝０ ∈Ｒ，。＝ 一ｌ， 于是有ｆ（ｘ）＝＿厂（１）一（ 一１）＝一＋，（１）＋１． 令ｌ厂（１）＋１＝ｂ（ｂ∈Ｒ），得ｆ（ｘ）＝ ＋６． （ ），则厂（ ）： （ ＞０， ≠ｏ）是否成 （２）受到本题理解上的启发，我们也可以研究对给定的实数 ０（ｎ≠０），函数Ｙ＝－厂（ ＋ｏ）与ｙ＝， （ 一ｏ）互为反函数及函数 证法３：由于方程ｆ（ ＋。）＝，（ ）一ｎ对任何。∈Ｒ， ∈Ｒ 成立， Ｙ＝，（僦）与Ｙ：， （｝）互为反函数的函数的相关性质，在此不 一一写出，有兴趣的读者可以去尝试． 不妨先将 看作参数，ｎ看成是变量， 于是ｆ（ｘ＋ｏ）＝一（ ＋ｎ）＋＿厂（ ）＋ ， 且此时ｆ（Ｘ）＋ 看成是参数． 记ｌ厂（ ）＋ ＝ｂ（ｂ Ｅ１１），得ｆ（ｘ＋０）＝一（ ＋Ⅱ）＋ｂ， 再用 代替 ＋ａ有ｆ（ｘ）＝叫＋６（６∈Ｒ）． 【评注】对任何实数ｎ，则视。为变参数，这就是证法１中 可以令口＝１，。： １，以及证法２中令１＋０＝ ， ∈Ｒ的原因． 证法３就是辩证看待变元。、 ，使解题简单． 关于第（３）问，有了第（２）问的深＾理解就很简单了．简解如下． 中国数学教育［２０１０年第５期］
