一、选择题.（每题3分，共48分）
1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A．1、2、3
B．3、5、7
C．32、42、52
D．5、12、13
2．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（ ）
A．13m
B．17m
C．18m
D．25m
3．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A．4
B．16
C．
D．4或
4．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
5．已知四边形ABCD，有以下四个条件：
（1）AB＝AD，AB＝BC；（2）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（3）AB∥CD，AB＝CD；（4）AB∥CD，
AD∥BC．
其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）个． A．1
B．2
C．3
D．4
6．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A．4cm，6cm
B．6cm，8cm
C．8cm，12cm
D．20cm，30cm
7．如果点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，那么m与n的关系是（ ） A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．不能确定
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A．BC＝CD
B．AB＝CD
C．∠D＝90°
D．AD＝BC
9．一次函数y＝kx﹣6（k＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列图象中，哪些表示y是x的函数？有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．公式L＝L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ） A．L＝10+0.5P
B．L＝10+5P
C．L＝80+0.5P
D．L＝80+5P
12．已知一次函数y＝kx﹣3且y随x的增大而增大，那么它的图象经过（ ） A．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限
13．下列命题中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
14．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ） A．它的图象必经过点（﹣1，3） B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x＞1时，y＜0
B．第一、二、三象限 D．第一、二、四象限
D．y随x的增大而增大
15．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，那么∠BED为（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°
16．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S2019的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题.（每题3分，共24分） 17．函数y＝
﹣
中自变量x的取值范围是 ．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、
F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 ．
19．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为 ． 20．已知一次函数y＝kx+k﹣3的图象经过点（2，3），则k的值为 ． 21．将直线y＝2x﹣1沿y轴正方向平移2个单位，得到的直线的解析式为 ． 22．请写出一个图象经过点（1，1）的一次函数的表达式： ．
23．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是 ．
24．如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P下面有四个结论： ①a＞0； ②b＜0；
③当x＜0时，y1＜0； ④当x＞2时，y1＜y2． 其中正确的序号是
三、解答题（共计78分）
25．有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积．
26．已知：如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．求证：DE＝BF．
27．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．将△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，
BE交AD于点O．
（1）判断△BOD的形状，并证明； （2）直接写出线段OD的长．
28．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
29．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝2x的交点为P（2，m），与
x轴的交点为A．
（1）求m的值；
（2）过点P作PB⊥x轴于B，如果△PAB的面积为6，求k的值．
30．某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车（不能超员） 它们的载客量和租金如下：
载客量（单位：人/辆） 租金（单位：元/辆） 甲种客车 45 400 乙种客车 30 280 （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案．
31．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，
F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜
想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 32．阅读以下内容并回答问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，有一个△OEF，要求在△OEF内作一个内接正方形ABCD，使正方形A，B两个顶点在△OEF的OE边上，另两个顶点C，D分别在EF和OF两条边上． 小丽感到要使四边形的四个顶点同时满足上述条件有些困难，但可以先让四边形的三个顶点满足条件，于是她先画了一个有三个顶点在三角形边上的正方形（如图2）．接着她又在△OEF内画了一个这样的正方形（如图3）．她发现如果再多画一些这样的正方形，就能发现这些点C位置的排列图形，根据这个图形就能画出满足条件的正方形了． （1）请你也实验一下，再多画几个这样的正方形，猜想小丽发现这些点C排列的图形是 ；
（2）请你参考上述思路，继续解决问题：如果E，F两点的坐标分别为E（6，0），F（4，3）．
①当A1的坐标是（1，0）时，则C1的坐标是 ； ②当A2的坐标是（2，0）时，则C2的坐标是 ；
③结合（1）中猜想，求出正方形ABCD的顶点D的坐标，在图3中画出满足条件的正方
形ABCD．
参与试题解析
一．选择题（共16小题）
1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A．1、2、3
B．3、5、7
C．32、42、52
D．5、12、13
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3，∴三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、∵5+3≠7，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵32+42≠52，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵5+12＝13，∴∴三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；
故选：D．
2．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（ ）
2
2
2
2
2
2
222
A．13m
B．17m
C．18m
D．25m
【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度＝
＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是12+5＝17米． 故选：B．
3．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A．4
B．16
C．
D．4或
【分析】此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．
【解答】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：当5是斜边长时，第三边长为：
＝4．
＝
；
故选：D．
4．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC＝∠DCE，然后证明△
ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°；
∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，即∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CED中，
，
∴△ACB≌△DCE（AAS）， ∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝AB+BC＝AB+DE， 即Sb＝Sa+Sc＝1+9＝10， ∴b的面积为10， 故选：C．
5．已知四边形ABCD，有以下四个条件：
（1）AB＝AD，AB＝BC；（2）∠A＝∠B，∠C＝∠D；（3）AB∥CD，AB＝CD；（4）AB∥CD，
2
2
2
2
2
AD∥BC．
其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）个． A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，（1），（2）不符合是平行四边形的条件； （3）（4）满足四边形是平行四边形． 故选：B．
6．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ） A．4cm，6cm
B．6cm，8cm
C．8cm，12cm
D．20cm，30cm
【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
【解答】解：A、∵2+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误；
B、4+3＜10，不能够成三角形，故此选项错误； C、4+6＝10，不能构成三角形，故此选项错误； D、10+10＞15，能够成三角形，故此选项正确；
故选：D．
7．如果点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，那么m与n的关系是（ ） A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．不能确定
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据1＜3即可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0， ∴y随着x的增大而减小．
∵点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，1＜3， ∴m＞n． 故选：A．
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A．BC＝CD
B．AB＝CD
C．∠D＝90°
D．AD＝BC
【分析】根据正方形的判定方法即可判定； 【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，
∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形， 故选：A．
9．一次函数y＝kx﹣6（k＜0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】一次函数y＝kx+b中，k的符号决定了直线的方向，b的符号决定了直线与y轴的交点位置，据此判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣6中，k＜0 ∴直线从左往右下降 又∵常数项﹣6＜0 ∴直线与y轴交于负半轴 ∴直线经过第二、三、四象限 故选：D．
10．下列图象中，哪些表示y是x的函数？有（ ）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x，y，当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．注意“y有唯一的值与其对应”对图象的影响．
【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值都有唯一的函数值y相对应， 所以第四个错误． 故选：C．
11．公式L＝L0+KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ） A．L＝10+0.5P
B．L＝10+5P
C．L＝80+0.5P
D．L＝80+5P
【分析】A和B中，L0＝10，表示弹簧短；A和C中，K＝0.5，表示弹簧硬，由此即可得出结论．
【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，
∴A和B中，L0＝10，表示弹簧短；A和C中，K＝0.5，表示弹簧硬， ∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧． 故选：A．
12．已知一次函数y＝kx﹣3且y随x的增大而增大，那么它的图象经过（ ） A．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限
B．第一、二、三象限 D．第一、二、四象限
【分析】根据“一次函数y＝kx﹣3且y随x的增大而增大”得到k＜0，再由k的符号确定该函数图象所经过的象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣3且y随x的增大而增大， ∴k＜0，该直线与y轴交于y轴负半轴， ∴该直线经过第一、三、四象限． 故选：C．
13．下列命题中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答．
【解答】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 故选：D．
14．对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（ ） A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限 C．当x＞1时，y＜0
D．y随x的增大而增大
【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：A． 它的图象必经过点（﹣1，4），错误；
B． 它的图象经过第一、二、四象限，错误； C． 当x＞1时，y＜0，正确； D． y随x的增大而减小，错误；
故选：C．
15．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，那么∠BED为（ ）
A．60°
B．45°
C．30°
D．15°
【分析】由正方形性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，由等边三角形性质可得AE＝AD，∠
DAE＝∠AED＝60°，再根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可求得∠BED．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB＝AD，∠BAD＝90° ∵△ADE是等边三角形
∴AE＝AD，∠DAE＝∠AED＝60°
∴AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150° ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠BAE）＝15° ∴∠BED＝∠AED﹣∠AEB＝60°﹣15°＝45° 故选：B．
16．正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S2019的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2＝S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn＝（）
n﹣1
，依此规律即可得出结论．
【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形， ∴DE+CE＝CD，DE＝CE， ∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：S1＝1＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…， ∴Sn＝（）
n﹣1
2
2
2
2
．
2019﹣1
当n＝2019时，S2019＝（）故选：B．
二．填空题（共8小题） 17．函数y＝
﹣
＝（）
2018
，
中自变量x的取值范围是 ﹣2＜x≤3 ．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0．分式有意义的条件是分母不为0，列不等式组求解． 【解答】解：根据题意，得解得：﹣2＜x≤3，
则自变量x的取值范围是﹣2＜x≤3．
，
18．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、
F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 3 ．
【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO； 又∵∠AOE＝∠COF， 在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF， ∴S△AOE＝S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCD＝BC×CD＝×2×3＝3．
故答案为：3．
19．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为 24 ． 【分析】首先根据题意画出图形，由一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，可利用勾股定理，求得另一菱形的对角线长，继而求得答案． 【解答】解：如图，∵菱形ABCD中，BD＝8，AB＝5， ∴AC⊥BD，OB＝BD＝4， ∴OA＝
∴AC＝2OA＝6，
∴这个菱形的面积为：AC•BD＝×6×8＝24． 故答案为：24．
＝3，
20．已知一次函数y＝kx+k﹣3的图象经过点（2，3），则k的值为 2 ．
【分析】将点（2，3）代入y＝kx+k﹣3可得关于k的方程，解方程求出k的值即可． 【解答】解：将点（2，3）代入一次函数y＝kx+k﹣3， 可得：3＝2k+k﹣3， 解得：k＝2． 故答案为：2．
21．将直线y＝2x﹣1沿y轴正方向平移2个单位，得到的直线的解析式为 y＝2x+1 ． 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x﹣1向上平移2个单位后， 所得直线的表达式是y＝2x﹣1+2，即y＝2x+1． 故答案为：y＝2x+1．
22．请写出一个图象经过点（1，1）的一次函数的表达式： y＝2x﹣1（不唯一） ． 【分析】可设这个一次函数解析式为：y＝kx﹣1，把（1，1）代入即可． 【解答】解：设这个一次函数解析式为：y＝kx﹣1， 把（1，1）代入得k＝2，
∴这个一次函数解析式为：y＝2x﹣1（不唯一）．
23．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是 x＞3 ．
【分析】观察函数图象得到当x＞3时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+6的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3． 【解答】解：当x＞3时，x+b＞kx+6， 即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3． 故答案为：x＞3．
24．如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于点P下面有四个结论： ①a＞0； ②b＜0；
③当x＜0时，y1＜0； ④当x＞2时，y1＜y2． 其中正确的序号是 ①③
【分析】根据函数的图象直接判断后即可确定正确的答案． 【解答】解：①∵正比例函数y1＝ax经过一三象限， ∴a＞0正确；
②∵一次函数y2＝﹣x+b的图象交y轴的正半轴， ∴b＞0， ∴b＜0错误；
③∵当x＜0时y1＝ax的图象位于x轴的下方，、 ∴y1＜0正确；
④观察图象得当x＞2时y1＞y2， ∴y1＜y2错误， 故答案为：①③． 三．解答题（共8小题）
25．有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积．
【分析】在直角△ACD中，已知AD，CD，根据勾股定理可以求得AC，根据AC，BC，AB的关系可以判定△ABC为直角三角形，根据直角三角形面积计算公式即可计算四边形ABCD的面积．
【解答】解：连接AC， 在Rt△ACD中，AC为斜边， 已知AD＝4，CD＝3， 则AC＝
∵AC+BC＝AB， ∴△ABC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝AC•CB﹣AD•DC＝24， 答：该四边形面积为24．
2
2
2
＝5，
26．已知：如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且DE∥BF．求证：DE＝BF．
【分析】只要证明四边形DEBF是平行四边形即可解决问题； 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，即DF∥BE， 又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE＝BF．
27．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．将△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，
BE交AD于点O．
（1）判断△BOD的形状，并证明； （2）直接写出线段OD的长．
【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质可得结论；
（2）设OD＝x，则AO＝4﹣x，BO＝OD＝x，根据勾股定理列方程可得结论． 【解答】（本小题满分5分） 解
：（
1
）
△
BOD为等腰三角形，证明如
下：…………………………………………………………………（1分） ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．…………………………………………………………………………（2分）
又∵△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，
∴∠OBD＝∠DBC．…………………………………………………………………………（3分）
∴∠OBD＝∠ADB． ∴OB＝OD．
∴△BOD为等腰三角形．…………………………………………………………………………（4分）
（2）设OD＝x，则AO＝4﹣x，BO＝OD＝x， 由勾股定理得：OB＝AB+AO， ∴x＝3+（4﹣x）， ∴x＝
，
2
2
22
2
2
∴ OD＝
． ……………………………………………………………………………（5分）
28．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝
∴AD＝BC＝DF＝5， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴∠DAF＝∠FAB， 即AF平分∠DAB．
＝5，
29．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝2x的交点为P（2，m），与
x轴的交点为A．
（1）求m的值；
（2）过点P作PB⊥x轴于B，如果△PAB的面积为6，求k的值．
【分析】（1）把点P（2，m）代入直线y＝2x可求m的值；
（2）先求得PB＝4，根据三角形面积公式可求AB＝3，可得A1（5，0），A2（﹣1，0），再根据待定系数法可求k的值．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x过点P（2，m）， ∴m＝4．
（2）∵P（2，4）， ∴PB＝4．
又∵△PAB的面积为6， ∴AB＝3．
∴A1（5，0），A2（﹣1，0）．
当直线y＝kx+b经过A1（5，0）和P（2，4）时， 可得k＝
．
当直线y＝kx+b经过A2（﹣1，0）和P（2，4）时， 可得k＝． 综上所述，k＝
．
30．某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车（不能超员） 它们的载客量和租金如下：
甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 租金（单位：元/辆） （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案．
45 400 30 280 【分析】（1）由甲种客车载客量多于乙种客车可得出：若只租甲种客车，所需辆数最少，由租用甲种客车还需要6辆及只有6名教师可得出共需租车6辆；
（2）设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6﹣x）辆，根据所租客车可乘载人数及租车总费用不超过2300元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数可得出各租车方案，再求出各租车方案的租车总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵45＞30， ∴若只租甲种客车，所需辆数最少． 又∵45×5＝225＜234+6，且教师只有6名， ∴共需租车6辆．
（2）设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6﹣x）辆， 依题意，得：解得：4≤x≤5． ∵x为整数， ∴x＝4，5，
∴共有2种租车方案，方案1：租甲种客车4辆，乙种客车2辆；方案2：租甲种客车5辆，乙种客车1辆．
方案1所需费用＝400×4+280×2＝2160（元）， 方案2所需费用＝400×5+280＝2280（元）． ∵2160＜2280，
∴方案1租甲种客车4辆，乙种客车2辆最省钱．
31．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
，
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，
F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜
想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可． （2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC＝BD，再证明EF＝FG即可． （3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠
BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．
【解答】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH＝BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG＝BD， ∴EH∥FG，EH＝GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD 即∠APC＝∠BPD， 在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD， ∴AC＝BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF＝AC，FG＝BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP＝∠BDP， ∵∠DMO＝∠CMP， ∴∠COD＝∠CPD＝90°， ∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形．
32．阅读以下内容并回答问题：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，有一个△OEF，要求在△OEF内作一个内接正方形ABCD，使正方形A，B两个顶点在△OEF的OE边上，另两个顶点C，D分别在EF和OF两条边上． 小丽感到要使四边形的四个顶点同时满足上述条件有些困难，但可以先让四边形的三个顶点满足条件，于是她先画了一个有三个顶点在三角形边上的正方形（如图2）．接着她又在△OEF内画了一个这样的正方形（如图3）．她发现如果再多画一些这样的正方形，就能发现这些点C位置的排列图形，根据这个图形就能画出满足条件的正方形了． （1）请你也实验一下，再多画几个这样的正方形，猜想小丽发现这些点C排列的图形是 一条线段 ；
（2）请你参考上述思路，继续解决问题：如果E，F两点的坐标分别为E（6，0），F（4，3）．
①当A1的坐标是（1，0）时，则C1的坐标是 （，） ； ②当A2的坐标是（2，0）时，则C2的坐标是 （，） ；
③结合（1）中猜想，求出正方形ABCD的顶点D的坐标，在图3中画出满足条件的正方形ABCD．
【分析】（1）直接得出结论； （2）先确定出直线OF的解析式，
①将x＝1代入直线OF解析式在求出y，即可得出结论； ②将x＝2代入直线OF解析式在求出y，即可得出结论；
③先求出直线C1C2的表达式为y＝x和直线EF的表达式为y＝﹣+9，进而求出C点坐标为（
，2），即可得出结论．
【解答】解：（1）一条线段； 故答案为：一条线段；
（2）∵F（4，3）．
∴直线OF的表达式是y＝x， ①∵四边形A1B1C1D1是正方形， ∴A1D1＝A1B1，
把x＝1代入直线y＝x中，得y＝， ∴OB1＝OA1+A1B1＝1+＝， ∴C1的坐标是 （，）， 故答案为：（，）；
②∵四边形A2B2C2D2是正方形， ∴A2D2＝A2B2，
把x＝2代入直线y＝x中，得y＝， ∴OB2＝OA2+A2B2＝2+＝， ∴C2的坐标是 （，）， 故答案为：（，）；
③设过C1，C2两点的一次函数表达式是y＝kx+b（k≠0）．
代入C1，C2两点得
解得，
∴直线C1C2的表达式为y＝x，
设过E（6，0），F（4，3）两点的一次函数表达式是y＝k'x+b'（k'≠0）． 代入E，F两点得
解得，
所以直线EF的表达式为y＝﹣x+9
直线EF：y＝﹣x+9与直线C1C2：y＝x的交点坐标为C． 解得x＝
，y＝2．
，2）．
∴C点坐标为（
把y＝2代入y＝x，解得x＝， ∴D点坐标为（，2）
即：所画四边形ABCD如图3所示，
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