2020年高考模拟题库数学 38

智乐星优题库 数学38

一、选择题：本大共10小题，每小题3分，共30分在每小题绘出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．（3分）5的相反数是( ) A．5

1B．

5C．5

1D．

52．（3分）把0.0813写成a10n(1a10，n为整数）的形式，则a为( ) A．1

B．2

C．0.813

D．8.13

3．（3分）下列立体图形中，主视图是三角形的是( )

A． B．

C． D．

4．（3分）如图，直线a，b被c，d所截，且a//b，则下列结论中正确的是( )

A．12

B．34

C．24180 D．14180

5．（3分）已知x1、x2是关于x的方程x2ax20的两根，下列结论一定正确的是(

) A．x1x2

B．x1x20

C．x1x20

D．x10，x20

6．（3分）在只有 15 人参加的演讲比赛中， 参赛选手的成绩各不相同， 若选手要想知道自己是否进入前 8 名， 只需要了解自己的成绩以及全部成绩的(

)

A ． 平均数 B ． 中位数 C ． 众数 D ． 以上都不对

7．（3分）如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD8cm，AE2cm，则OF的长度是( )

A．3cm

B．6cm

C．2.5cm

D．5cm

8．（3分）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tanBAC的值为( )

A．

1 2B．1 C．3 3D．3 9．（3分）抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，图象过(1,0)点，部分图象如图所示，下列判断中： ①abc0； ②b24ac0； ③9a3bc0；

④若点(0.5,y1)，(2,y2)均在抛物线上，则y1y2； ⑤5a2bc0． 其中正确的个数有( )

A．2

B．3

C．4

D．5

10．（3分）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )

A．甲、乙都可以 C．甲不可以、乙可以

B．甲、乙都不可以 D．甲可以、乙不可以

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分 11．（3分）计算：(32019)021 ．

12．（3分）写出一个满足3a17的整数a的值为 ．

13．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知

ABBD，BD足分别为B，D，AO4m，AB1.6m，CO1m，则栏杆C端应下降的

垂直距离CD为 ．

14．（3分）如图，一次函数yx2与y2xm的图象相交于点P(n,4)，则关于x的不2xmx2等式组的解集为 ．

x20

15．（3分）刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率圆的周长与该圆直径的比值）

“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．

刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R．此时圆内接正六边形的周长为6R，如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3．当正十二边形内接于圆时，如果按照上述方法计算，可得圆周率为 ．（参考数据：sinl50.26) 三、解答题：本大题共7小题，共55分 16．（6分）先化简，再求值：(11x，其中x2sin451． )2x1x117．（6分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1)和不完整的扇形图（图2)，其中条形图被墨迹遮盖了一部分． （1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；

（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率； （3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了 人．

18．（7分）已知：如图，以等边ABC的边BC为直径作O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DFAC交AC于点F． （1）求证：DF是O的切线；

（2）若等边ABC的边长为8，求由DE、DF、EF围成的阴影部分面积．

19．（8分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元． （1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励． 20．（8分）如图，一次函数yx4的图象与反比例函数y于A(1,a)，B两点，与x轴交于点C． （1）求此反比例函数的表达式；

3（2）若点P在x轴上，且SACPSBOC，求点P的坐标．

2k(k为常数且k0)的图象交x

21．（9分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQt(0t2)，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F．

（1）当t1时，求证：PEQNFM；

（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

322．（11分）如图，直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线

43yx2bxc经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．

8（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q．设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值； （3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设ODC外接圆的圆心为M，当sinODC的值最大时，求点M的坐标．

参考答案

一、选择题：本大共10小题，每小题3分，共30分在每小题绘出的四个选项中，只有一项符合题目要求

【分析】根据相反数的定义直接求得结果． 【解答】解：5的相反数是5． 故选：C．

【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：把0.0813写成a10n(1a10，n为整数）的形式，则a为8.13， 故选：D．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．

【解答】解：A主视图是矩形，C主视图是正方形，D主视图是圆，故A、C、D不符合题意；

B、主视图是三角形，故B正确；

故选：B．

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形． 【分析】依据两直线平行，同位角相等，即可得到正确结论． 【解答】解：直线a，b被c，d所截，且a//b， 34，

故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△0，由此即可得出x1x2，结论

A正确；

B、根据根与系数的关系可得出x1x2a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1x22，结论C错误；

D、由x1x22，可得出x1、x2异号，结论D错误．

综上即可得出结论．

【解答】解：A△(a)241(2)a280， x1x2，结论A正确；

B、x1、x2是关于x的方程x2ax20的两根，

x1x2a，

a的值不确定，

B结论不一定正确；

C、x1、x2是关于x的方程x2ax20的两根， x1x22，结论C错误；

D、x1x22，

x1、x2异号，结论D错误．

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

【分析】此题是中位数在生活中的运用， 知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前 8 名 ．

【解答】解： 15 名参赛选手的成绩各不相同， 第 8 名的成绩就是这组数据的中位数，

所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前 8 名 ． 故选：B．

【点评】此题考查了中位数的意义 ． 中位数是将一组数据从小到大 （或 从大到小） 重新排列后， 最中间的那个数 （或 最中间两个数的平均数） ，叫

做这组数据的中位数 ．

【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：连接OB，

AC是O的直径，弦BDAO于E，BD8cm，AE2cm，

在RtOEB中，OE2BE2OB2， 即OE242(OE2)2 解得：OE3， OB325， EC538，

在RtEBC中，BCBE2EC2428245， OFBC，

OFCCEB90， CC， OFC∽BEC， OFOC， BEBCOF5即， 445

解得：OF5， 故选：D．

【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．

【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【解答】解：连接BC，

由网格可得ABBC5，AC10，即AB2BC2AC2， ABC为等腰直角三角形， BAC45，

则tanBAC1， 故选：B．

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

【分析】根据二次函数的性质一一判断即可． 【解答】解：抛物线对称轴x1，经过(1,0)， b1，abc0， 2ab2a，c3a， a0， b0，c0， abc0，故①错误，

抛物线与x轴有交点， b24ac0，故②正确，

抛物线与x轴交于(3,0)， 9a3bc0，故③正确，

点(0.5,y1)，(2,y2)均在抛物线上， 1.52，

则y1y2；故④错误，

5a2bc5a4a3a2a0，故⑤正确，

故选：B．

【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

【分析】根据图形可得甲可以拼一个边长为2的正方形，图乙可以拼一个边长为5的正方形．

【解答】解：所作图形如图所示，

甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选：A．

【点评】本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分

【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式1故答案为：

1． 211． 22【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

【分析】答案不唯一，先估算出3和17的范围，再求出一个符合的即可． 【解答】解：132，4175，

一个满足3a17的整数a的值为2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了估算无理数的范围，能估算出3和17的范围是解此题的关键． 【分析】由ABOCDO90、AOBCOD知ABO∽CDO，据此得将已知数据代入即可得． 【解答】解：

AOAB，COCDABBD，CDBD，

ABOCDO90，

又AOBCOD， ABO∽CDO，

则

AOAB， COCDAO4m，AB1.6m，CO1m，



41.6， 1CD解得：CD0.4，

栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．

故答案为：0.4．

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【分析】先将点P(n,4)代入yx2，求出n的值，再找出直线y2xm落在yx2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：一次函数yx2的图象过点P(n,4)， 4n2，解得n2，

P(2,4)，

又yx2与x轴的交点是(2,0)，

关于x的不等式2xmx20的解集为2x2．

故答案为2x2．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出

n的值，是解答本题的关键．

【分析】连接OA1、OA2，根据正十二边形的性质得到AOA1230，△A1OA2是等腰三角形，作OMA1A2于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出AOM15，1A1A22A1M．设圆的半径R，解直角△A1OM，求出A1M，进而得到正十二边形的周

长L，那么圆周率L． 2R【解答】解：如图，设半径为R的圆内接正十二边形的周长为L． 连接OA1、OA2，

十二边形A1A2A12是正十二边形， AOA1230．

作OMA1A2于M，又OA1OA2，

AOM15，A1A22A1M． 1在直角△A1OM中，A1MOA1sinAOM0.26R， 1A1A22A1M0.52R， L12A1A26.24R，

圆周率L6.24R3.12． 2R2R故答案为3.12．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长L是解题的关键． 三、解答题：本大题共7小题，共55分 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式x1，

x(x1)(x1)

x1x当x22121时， 2原式211 2；

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；

（2）用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率； （3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数． 【解答】解：（1）抽查的学生总数为625%24（人)， 读书为5册的学生数为245649（人)， 所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5； （2）选中读书超过5册的学生的概率105； 2412（3）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人． 故答案为3．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图和中位数．

【分析】（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证ADBD，再证OD为ABC的中位线得DO//AC，根据DFAC可得；

（2）连接OE、作OGAC，求出EF、DF的长及DOE的度数，根据阴影部分面积

S梯形EFDOS扇形DOE计算可得． 【解答】解：（1）如图，连接CD、OD，

BC是O的直径，

CDB90，即CDAB，

又ABC是等边三角形，

ADBD，

BOCO，

DO是ABC的中位线， OD//AC， DFAC，

DFOD，

DF是O的切线；

（2）连接OE、作OGAC于点G， OGFDFGODF90，

四边形OGFD是矩形，

FGOD4，

OCOEODOB，且COEB60， OBD和OCE均为等边三角形， BODCOE60，CEOC4，

1EGCE2、DFOGOCsin6023，DOE60，

2EFFGEG2，

则阴影部分面积为S梯形EFDOS扇形DOE

16042 (24)2323608． 633【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．

【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金前1000户奖励的资金超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x， 根据题意得：1280(1x)212801600， 解得：x10.550%，x22.5（舍去）．

答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%． （2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，

根据题意得：810004005400(a1000)5000000， 解得：a1900．

答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列出关于a的一元一次不等式．

【分析】（1）利用点A在yx4上求a，进而代入反比例函数y

k

求k． x

（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标． 【解答】解：（1）把点A(1,a)代入yx4，得a3， A(1,3)

把A(1,3)代入反比例函数yk3，

反比例函数的表达式为yk x3 x（2）联立两个函数的表达式得 yx43 yx解得

x1x3或 y3y1点B的坐标为B(3,1)

当yx40时，得x4

点C(4,0)

设点P的坐标为(x,0) SACP

3SBOC 21313|x(4)|41 222解得x16，x22

点P(6,0)或(2,0)

【点评】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立

方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．

【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得到ABD90，ADAB，又由EQPFMN，而证得；

（2）分为两种情况：①当E在AP上时，由点P是边AB的中点，AB2，DQAEt，又由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到S的最小值；②当E在BP上时，同法可求S的最小值． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形， ABD90，ADAB，

QEAB，MFBC， AEQMFB90，

四边形ABFM、AEQD都是矩形，

MFAB，QEAD，MFQE，

又

PQMN，

1EQP90，2FMN90，

12，

EQPFMN，

又QEPMFN90， PEQNFM；

（2）解：分为两种情况：①当E在AP上时， 点P是边AB的中点，AB2，DQAEt，

PA1，PE1t，QE2，

由勾股定理，得PQQE2PE2(1t)24， PEQNFM，

MNPQ(1t)24，

又

PQMN，

1115PQMN[(1t)24]t2t， 2222S0t2，

当t1时，S最小值2．

②当E在BP上时，

点P是边AB的中点，AB2，DQAEt，

PA1，PEt1，QE2，

由勾股定理，得PQQE2PE2(t1)24， PEQNFM，

MNPQ(t1)24，

又

PQMN，

1115PQMN[(t1)24]t2t， 2222S0t2，

当t1时，S最小值2．

15综上：St2t，S的最小值为2．

22

【点评】本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD是正方形得到ABD90，

（2）由勾股定理求得PQ，由PEQNFMADAB，又由EQPFMN，而证得；

得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到答案．

【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；

（2）过点P作y轴的平行线交AB于点E，据此知PEQ∽OBQ，根据对应边成比例得

1133333yPE，由P(m,m2m3)、E(m,m3)得PEm2m，结合yPE3384482可得函数解析式，利用二次函数性质得其最大值；

（3）设CO的垂直平分线与CO交于点N，知点M在CO的垂直平分线上，连接OM、CM、

DM，根据

1ODCCMOOMN2、MCMOMD知

sinODCsinOMNNO1，当MD取最小值时，sinODC最大，据此进一步MOMO求解可得．

3【解答】解：（1）在yx3种，令y0得x4，令x0得y3，

4点A(4,0)、B(0,3)，

3把A(4,0)、B(0,3)代入yx2bxc，得：

83244bc0， 8c33b解得：4，

c3抛物线解析式为yx2383x3； 4

（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，

则PEQ∽OBQ，

PQPE， OQOBPQy、OB3， OQ1yPE，

3

333P(m,m2m3)、E(m,m3)，

84433333则PE(m2m3)(m3)m2m，

844821331111y(m2m)m2m(m2)2，

38282820m4，

当m2时，y最大值1， 21； 2PQ与OQ的比值的最大值为

33（3）由抛物线yx2x3易求C(2,0)，对称轴为直线x1，

84ODC的外心为点M，

点M在CO的垂直平分线上，

设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，

1则ODCCMOOMN、MCMOMD，

2sinODCsinOMNNO1， MOMO又MOMD，

当MD取最小值时，sinODC最大，

此时M与直线x1相切，MD2，

MNOM2ON23，

点M(1,3)，

根据对称性，另一点(1,3)也符合题意； 综上所述，点M的坐标为(1,3)或(1,3)．

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质、三角形的外心、圆的有关性质等知识点．