在健身教练的私教课上受伤，由健身房来承担赔偿责任。因为健身教练属于健身房的员工，而其指导顾客进行健身训练就属于执行工作任务，在这个过程中由于其指导不佳导致顾客受伤的，健身房应当承担赔偿责任。
《中华人民共和国民法典》
第一千一百九十一条
用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。
劳务派遣期间，被派遣的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由接受劳务派遣的用工单位承担侵权责任；
劳务派遣单位有过错的，承担相应的责任。
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