带电粒子在磁场中的运动轨迹

确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

江西省萍乡市上栗中学 彭俊昌

带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。

一、对称法

带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。

例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

解析：正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点

相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、

找半径和用对称。

例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。

1 / 1

解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。

由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=

又带电粒子的轨道半径可表示为： 故带电粒子运动周期：

带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法

在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。

例3．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？

解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点P，最低点为动态圆与MN相割，且SQ为直径时Q为最

低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由

得：

SQ为直径，则：SQ=2L，SO=L ，由几何关系得： P为切点，所以OP＝L ，所以粒子能击中的范围为

。

例4．（2010全国新课程卷）如图10所示，在0≤x≤A．0≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，

与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到

a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的

四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：

（1）速度大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。

解析：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹

力公式得：，解得：。

从O点以半径R（＜R＜a）作“动态圆”，如图11所示，由图不难看出，在磁场中

运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。设该粒子在磁场

中的运动时间为t，依题意，所以∠OCA＝。

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：

，，再加上，

解得：

三、缩放圆法

，，

带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。

例5．如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

解析：如图14所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：r+rcosθ=d ①

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：，所以：

②

联立①②解得：，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于

。

例6．（2010全国II卷）如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为3a/4，求离子乙的质量；

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？

解析：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvB0=qU/d，解得离子的速度为：v=U/B0d（为一定数值）。

虽然离子速度大小不变，但质量m改变，结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式R=mv/qB分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图16中的动态圆。 （1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17中的半圆，半圆与EG边相切于A点，与EF边垂直相交于B点，由几何关系可得半径：R甲=acos30°tan15°=（）a，

从而求得离子甲的质量m甲=。

（2）离子乙的运动轨迹如图18所示，在ΔEIO2中，由余弦定理得：

，解得R乙=a/4，

从而求得乙离子的质量m乙=

。

（3）由半径公式R=mv/qB可知R∝m，结合（1）（2）问分析可得：

①若离子的质量满足m甲/2≤m≤m甲，则所有离子都垂直EH边离开磁场，离开磁场的位

置到H的距离介于R甲到2R甲之间，即

～；

②若离子的质量满足m甲于A到I之间，其中AE的距离AE=

四、临界法

，IE距离IE=。

以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v以及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。

例7．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。

解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图20、图21所示，打到右边界时，在直角三角

形OAB中，由几何关系得： 解得轨道半径

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力 因此

打在左侧边界时，如图21所示，由几何关系得轨迹半径

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力， 所以

所以打在板上时速度的范围为

≤v≤

例8．如图22，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30°，大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m,电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力忽略不计。求：

（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围；

（2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。

解析：（1）画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从ab边射出的粒子的临界轨迹如图23所示，轨迹与dc边相切时，射到ab边上的A点，此时轨迹圆心为O1，则

轨道半径r1=L，由

得最大速度。

轨迹与ab边相切时，射到ab边上的B点，此时轨迹圆心为O2，则轨道半径r2=L/3，由

得最小速度

。

所以粒子能够从ab边射出的速度范围为：

（2）当粒子从ad边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转过的圆心角为300°，

所以最长时间：

，射出的范围为：OC=r2=L/3。

通过以上分析不难发现，对于带电粒子在磁场中的运动问题，解题的关键是画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，如果能够熟练掌握带电粒子在磁场中运动轨迹的上述四种画法，很多问题都可以迎刃而解。

确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些题不但涉及洛伦兹力，而且往往与几何关系相联系，使问题难度加大，但无论这类题多么复杂，其关键一点在于画轨迹，只要确定了轨迹，问题便迎刃而解，下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 1. 对称法

带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。

图1

例1. 如图1所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。

解析：根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图2所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：

图2

Rsin1 L 2

①

带电粒子磁场中作圆周运动，由

mv0qv0B

R2解得Rmv0 qB ②

①②联立解得2. 动态圆法

q2v0sin mLB在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动态圆，用这一规律可确定粒子的运动轨迹。

例2. 如图3所示，S为电子源，它在纸面360度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为

mv0，求挡板被电子击中的范围为多大？ qL

图3

解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图4所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点，最低点为动态圆与MN相割，且SB为直径时B

mv0为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由qv0B得

R2

图4

Rmv0L qBSB为直径，则SB2L，SOL由几何关系得

OBSB2OS23L

A为切点，所以OA＝L 所以粒子能击中的范围为(13. 放缩法

带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，探索出临界点的轨迹，使问题得解。

例3. 如图5所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。

3)L。

图5

解析：如图6所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得

图6

rrcosd

①

电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力

mv0mv0ev0B，所以r

rBe2②

①②联立解得v0Bed所以电子从另一侧射出的条件是速度大于

m(1cos)Bed。

m(1cos)4. 临界法

临界点是粒子轨迹发生质的变化的转折点，所以只要画出临界点的轨迹就可以使问题得解。

例4. 长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图7所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。

图7

解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图8、图9所示，打到右边界时，在直角三角形OAB中，由几何关系得：

图8

图9

R1(R12L2)L2 25L 42解得轨道半径R1mv1电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力qv1B

R1qBR1mqB5L45qBL m4mL 4因此v1打在左侧边界时，如图9所示，由几何关系得轨迹半径R2mv2电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，qv2B

R2qBR2mqBL4qBL m4mqBL5qBLv4m4m2所以v2所以打在板上时速度的范围为

以上是确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法，在解题中如果善于抓住这几点，可以使问题轻松得解。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

湖北省黄梅县第五中学 石成美

“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

一、解题方法

画图→动态分析→找临界轨迹。（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。）

二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）

分述如下：

第一类问题：

例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。一电子从

CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？

分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。

第二类问题：

例2 如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离

OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。

分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=

，OQ=L。

【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场

B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中的区域的长度

为（ ）

A．

B． C． D．

分析：如图6所示，打在屏上距P最远的点是以O1为圆心的圆与屏的交点，打在屏上最近的点是以O2或O3为圆心的圆与屏的交点（与例2相似，可先作出一系列动态圆）。故答案选“D”。

第三类问题：

例3（2009年山东卷）如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子。在0～3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。

已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场。上述m、q、l、

t0、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况） （1）求电压U0的大小。

（2）求t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。

（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

图丙

分析：粒子进入电场做类平抛运动，由平抛运动规律即可求得偏转电压U0；t=t0时刻进

入的粒子先做类平抛运动，t0后沿末速度方向做匀速直线运动，利用相应规律可求得射出电场的速度大小，进入磁场后做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，可求提半径R；2t0时刻进入的带电粒子加速时间最长（如图丙所示），加上此时粒子进入磁场是向上偏转，故运动时间最短，同样应用类平抛运动规律和圆周运动规律，即可求得此最短时间。

第四类问题：

例4 如图7所示，磁感应强度大小B=0．15T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径R=0．10m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点O，右端跟荧光屏MN相切于x轴上的A点。置于原点的粒子源可沿x轴正方向射出速度v0=3．0×10m/s的带正电的粒子流，粒子的重力不计，荷质比q/m=1．0×10C/kg。现以过O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求此过程中粒子打在荧光屏上离A的最远距离。

8

6

分析：本题可先设想磁场是无界的，那么粒子在磁场中运动的一段圆弧如图8中的弧

OE（半径r=2R=0．20m，圆心为O′），现在圆形磁场以O为轴在旋转相当于直径OA也在旋转，当直径OA旋转至OD位置时，粒子从圆形磁场中离开射向荧光屏MN时离A有最远距离（落点为F）。图中△O′OD为等边三角形，FD与O′O2延长交于C点，图中θ=60°，

，

，。

练习：如图9所示，一个质量为m，带电荷量为＋q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从x轴上的b点穿过，其速度方向与x轴正方向的夹角为30°，粒子的重力可忽略不计，试求：

（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）b到O的距离。

分析：如图10，过b点作速度的反向延长线交y轴于C点，作∠OCb的角平分线交x轴于O1，再以O1为圆心、以O1O为半径画弧，与直线Cb相切于点A，粒子运动的轨迹即为O→A→b，圆形磁场即为以OA为直径的圆，利用相关物理公式及几何知识不难计算出本题的结果。

第五类问题：

例5 电子质量为m，电荷量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图11所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求：（1）荧光屏上光斑的长度；（2）所加磁场范围的最小面积。

分析：本题可先作出这些射入第一象限的电子做圆周运动的轨道圆心的集合，必在弧

O1O2上（如图12），然后设想以该弧上的各点（如图12中的O2等四点）为圆心作出粒子运动的轨迹，最终垂直射到MN上的PQ间，所以荧光屏上光斑的长度即为PQ=R=mv0/eB；所加磁场范围即为图中由弧OO4O3O所围的区域，其中弧O3O4可看成是由弧O1O2向上平移R得到的。

练习：例5若改为“磁场方向垂直于xOy平面向里，荧光屏MN移至y轴右侧，”其他条件不变，情况又怎样呢？读者可试作分析。（所加磁场的最小范围为一“树叶”形状）

综合以上题型，我们可以看到，这些问题的解答很能体现学生的分析思维能力以及想象能力，要求学生能够由一条确定的轨迹想到多条动态轨迹，并最终判定临界状态，这需要在平时的复习中让学生能有代表性地涉猎一些习题，才能在高考应试中得心就手，应对自如。

当前位置：人教网2010>>高中物理>>学生中心>>高考向前冲>>复习策略 带电粒子在磁场中运动之磁场最小范围问题剖析

江苏省扬中高级中学 刘风华

近年来在考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。

一、磁场范围为圆形

例1 一质量为

、带电量为的粒子以速度

从O点沿

轴正方向射入磁感强度为

的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从处穿过轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达点所经历的时间； （3）点的坐标。

解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由Ｏ点经半个圆周偏转到点，其必在圆周运动不到半圈时离开磁场区域后沿直线运动到点。可知，其离开磁场时的临界点与Ｏ点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图2，过点逆着速度于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于

的方向作虚线，与

轴相交，由

轴上，距O点距离和到虚线上点垂直距离相等的

。

点即为圆周运动的圆心，圆的半径

由 ，得。弦长为：，

要使圆形磁场区域面积最小，半径应为的一半，即：，

积

（2）粒子运动的圆心角为120，时间

0

。

（3）距离 ，故点的坐标为（，0）。

点评：此题关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点，注意圆心必在两临界点速度垂线的交点上且圆心到这两临界点的距离相等；还要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长。 二、磁场范围为矩形

例2 如图3所示，直角坐标系

第一象限的区域存在沿

轴正方向的匀强电场。现

有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，）以初速度沿轴的负

方向开始运动，经过轴上的点（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂

轴、轴重合，电子偏转后恰好

直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与经过坐标原点O，并沿

轴的正方向运动，不计电子的重力。求

（1）电子经过

点的速度；

和磁场的最小面积

。

点，可知竖直方向：

（2）该匀强磁场的磁感应强度 解析：（1）电子从

点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到

，水平方向：

。

解得。而，所以电子经过点时的速度为：

，设与

（2）如图4，电子以与

方向的夹角为θ，可知，所以θ＝30。

0

成30°进入第四象限后先沿做匀速直线运动，然后进

入匀强磁场区域做匀速圆周运动恰好以沿一定在Ｘ轴上，且垂直距离相等，找出就确定了。

轴向上的速度经过Ｏ点。可知圆周运动的圆心

上M点（M点即为磁场的边界点）的

点到O点的距离与到直线

点，画出其运动的部分轨迹为弧MNO，所以磁场的右边界和下边界

设偏转半径为垂直纸面向里。

，，由图知ＯＱ＝＝，解得，方向

矩形磁场的长度

，宽度。

矩形磁场的最小面积为：

点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例1中运动的逆过程，解题思路相似，关键要注意矩形磁场边界的确定。

三、磁场范围为三角形

例3 如图5，一个质量为

，带

电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂真于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T； （2）该粒子在磁场里运动的时间t；

（3）该正三角形区域磁场的最小边长；

解析：（1）由和，

得： ，

（2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由M点作圆周运动到N点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图6作出圆O，粒子的运动轨迹为弧GDEF，圆弧在Ｇ点与初速度方向相切，在F点与出射速度相切。画出三角形

，其与圆弧在D、E两点相切，并与圆Ｏ交于F、G0

两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知∠FOG＝60，所以粒子偏转的圆心角

为300，运动的时间

0

（3）连接

并延长与交与Ｈ点，由图可知，，

＝

点评：这道题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难，必须将射入速度与从AC边射出速度的反向延长线相交后根据运动半径已知的特点，结合几何知识才能确定。另外，在计算最小边长时一定要注意圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆。

四、磁场范围为树叶形

例4 在

平面内有许多电子（质量为

、电量为），从坐标O不断以相同速率

平面向内、磁感强度为

的

沿不同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个垂直于

匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

解析：电子在磁场中运动半径是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能

的运动轨道如图8所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆O1和圆O2为从圆点

射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆O2在ｘ轴上方的个圆弧odb就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点O为圆心，以R为半径的圆弧

O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于x轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为

每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线

O1O2）向上平移一段长度为的距离即图9中的弧ocb就是这些圆的最高点的连线，

即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积：

。

还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度V0与x轴夹角为θ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（x，y），从图10中看出，

，即

（x＞0，y＞0），这是个圆方程，圆心在（0，R）

处，圆的 圆弧部分即为磁场区域的下边界。

点评：这道题与前三题的区别在于要求学生通过分析确定磁场的形状和范围，磁场下边界的处理对学生的数理结合能力和分析能力要求较高。

由以上题目分析可知，解决此类问题的关键是依据题意，分析物体的运动过程和运动形式，扣住运动过程中的临界点，应用几何知识，找出运动的轨迹圆心，画出粒子运动的部分轨迹，确定半径，再用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动的轨迹，然后应用数学工具和相应物理规律分析解出所求的最小面积即可。

专题：带电粒子在组合场中或复合场中运动的问题

一、带电微粒在组合场或复合场中运动分析 1、 组合场或复合场

组合场是指电厂与磁场同时存在，但各位于一定的区域内，并不重叠的情况。 复合场通常是指电场与磁场在某一区域并存或电场、磁场和重力场并存于某一区域的情况

2、 带电粒子的受力特点

① 要明确电场力和洛仑兹力的不同特点

② 通常情况下，象电子、质子、α粒子等微观粒子在组合场或复合场中受重力远小于电场力或洛仑兹力，因而重力在无特别说明的情况下可忽略不计。如果题目中无特别说明，但给出了具体数据则可通过计算比较来确定是否需要考虑重力，有时结合粒子的运动状态和电场力、洛伦兹力的方向来判断是否需要考虑重力。 3、 动力学观点

对带电微粒在复合场中运动状态的分析，要着重弄清各过程所遵守的动力学规律以及各过程间的联系。

由于微粒在复合场中受力比较复杂，因此，进行受力分析时要全面、细致，而其中的关键是洛伦兹力随着微粒运动状态的变化而变化，洛伦兹力的变化又会反过来导致运动状态的变化。因此进行受力分析时一定要运动状态运动过程紧密结合起来带电微粒在复合唱中的运动情况在高中阶段常见的情况有：

① 带电微粒所受合外力为零处静止或匀速直线运动状态。 ② 带电微粒所受合外力充当作匀速圆周运动的向心力。

③ 带电微粒所受合外力不为零、方向又不断变化，微粒做变加速曲线运动。

④ 除了复合场外，还有其他的约束条件，例如斜面等，微粒可以作匀变速直线运动。 4、 能量与动量观点

要时刻把握住洛伦兹力对运动电荷不做功，然而却能改变微粒的速度和动量，即改变微粒的运动状态这一关键点。 总值带电微粒在组合场、复合场中的运动问题是电磁学与力学知识的综合应用，分析方法与力学问题分析方法基本相同，只是增加了电场力和洛伦兹力，因此解决组合场或复合场中粒子运动的问题可从以下三个方面入手： ① 动力学观点：包括牛顿定律和运动学规律 ② 能量观点：包括动能定理和能量守恒定律 ③ 动量观点：包括动量定理和动量守恒定律 二、典例分析

1、 微粒在复合场中的平衡问题

依据共点力平衡条件和重力、电场力、洛伦兹力的不同特点进行分析求解

例1、如图所示，实线表示，匀强电场的电场线，其处于竖直平面内且与水平方向成α角，水平方向的匀强磁场与电场正交。现有一带电滴沿图中虚线L斜向上做直线运动，L与水平方向成β角，且α＞β，

L 则下列说法中正确的是 （ ） v A、 液滴一定带正电 β B、 B电场线方向一定斜向上

α C、 液滴一定做匀速直线运动

D、 液滴有可能做匀变速直线运动 【解析∶】 若液滴带负电，慢由左手定则可以判断其所受伦兹国力方向应与v垂直且斜向下，在这种情况下，无论电场方向斜向上还是斜向下，都不可能使液滴受力平衡，即液滴必定会做变速运动，v的改变，又会导致F洛的变化，从而使液滴无法沿直线L运动。 综上所述，选项A、B、C正确

例2、设在地面上方的真空室内，存在着匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4V/m，磁感应强度的大小B=0.15T。今有一个带电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的荷质比及磁场的所有可能的方向（角度可用反三角函授表示）。

【解析∶】质点在空间做匀速直线运动，它所受的重力、电场力、洛伦兹力的合力必为零。由此可见这三个力必在同一竖直平面内。设质点的速度的方向不可能在竖直方向成θ角，质点受的电场力为qE，洛伦兹力为qvB，如图所

Bqv θ qE 示。由三力的平衡条件，可得：

（mg）=(qE) ＋ (qvB)

2

2

2

qg得：=2.25c/kg

22m(vB)E-1

E (B) mg tanθ=vB/E=0.75， θ=tan0.75

-1

即磁场方向为沿着与重力方向成θ=tan0.75，斜向下的一切方向。 2、带电微粒在复合场中运动的动态分析与临界值问题

解题思路是先进行受力分析（结合运动状态分析）并抓住出现临界值勤的条件。

例3、 如图所示一倾角为的足够长的绝缘光滑的斜面置于磁感应强度为B的匀强磁场中，一质量为m、代电荷量为-q的小

B 滑块自斜面的顶端由静止释放，则当小物块在斜面上滑行，经

多长时间、多长距离离开斜面？ α 【解析∶】由于重力的下滑分力的作用，小物块将沿斜面加速

下滑，随着速度的增大，F洛也不断增大，但F洛的方向垂直于斜面向上，与物块运动方向垂直，因此，虽然F洛为变力，但由于有斜面支持力的约束，直至物块离开斜面前，垂直于斜面方向所受合外力始终为零，而沿斜面方向的合外力等于mgsinα，故物块作初速度为零的匀加速直线运动。

当 qvB=mgcosα 时 物块将离开斜面，即 F洛 V=mgcosα/qB FN 又 v=at=gsinα•t 所以 t=

2

m

Bqtan sinα 由 v=2gsinα•s 故 s=

m2gcos22qB22G

拓展：若将例3的光滑斜面改为粗糙斜面（其他不变），并知物块与斜面间的动摩擦因

数为μ，物块沿斜面下滑距离L而离开斜面，求整个过程中物块克服摩擦力所作的功。

简析：虽然只是将光滑斜面改为粗糙斜面，但物块的运动状态却发生了质的变化，由匀变速直线运动改为非匀变速直线运动。原因在于F洛的变化会导致支持力的变化，进而导致摩擦力的变化，因而物块的加速度是变量，匀变速运动规律不再适用。

由离开斜面时，FN=0

得： qvB=mgcosα

故 v=

mgcos qB由动能定理得： mgLsinα-Wf=

12mv 2m3g3cos2所以 Wf= mgLsinα- 222qB例4、如图所示，空间存在水平方向的匀强电场E和垂直纸面向外的匀强磁场B，一个质量为、带电量为的小球套在不光滑的足够长的竖直绝缘杆上，自静止开始下滑，则（ ）

m q · · A、 小球的动能不断增大，直到某一最大值

E B、 小球的加速度不断减小，直至为零 · · C、 小球的加速度先增大后减小，最终为零

·B · D、 小球的速度先增加后减小，最终为零

【解析∶】无论小球带正电还是带负电，所受电场力与洛伦兹

1○2○3所示所示。小球在在下滑过程中，随力的方向总是相反的。设小球带正电，受力如图○着速度v的增加，F

增大，杆的弹力FN先减小后增大，摩擦力Ff也随之先减小后增大，当qvB=qE时，FN=0，Ff=0,此时a最大，amax=g；此后，v继续增大，FN反向还是增大，Ff也增大，当μ（qvB-qE）

洛

Ff F洛 FN F洛 F电 v G ①

=mg时，a=0，达到最大速度vmax=

a

G ②

F电 v am

F洛 Ff FN F电 v G ③

a

(mg/)qE；以后小球沿杆匀速下滑。

qB故选项B、D正确。

3、 带电粒子在组合场中运动问题的求解方法

寻找粒子进入交界处参量的变化规律，并应考虑各种可能性。

例5、 回旋加速器是用来加速带电粒子使它获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以使在盒间的窄缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过窄缝都得到加速，两盒子放在匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，D形盒的半径为R，中心上半面出口处O放有质量为m、电荷量为q

的正离子源，如图所示，试问： （1）、所加交流电频率应是多大？ B （2）、被加速粒子的最大动能为多大？

~ ·O （3）、设两D形盒间电场的电势差为U，盒间窄缝距离为d,

求加速到最大动能所需的时间？ 分析：回旋加速器的工作原理是：（1）电场加速qU= △Ek；（2）磁场约束回旋qvB=m

v2r,r=

mv∝v；（3）加速条件qB2m。带电粒子在qB高频电源的周期与带电粒子在D形盒中运动的周期相同，即T电场=T回旋=

D形盒内沿螺线轨道逐渐趋于盒的边缘，达到预期的速率后，用特殊装置把它们引出。 【解析∶】（1）加速条件：

T交流=T回旋，

f交流=

1T交流=

qB。2m

（2）粒子加速后，从D形盒引出是垢能量达到最大，当粒子从D形盒中引出时，粒子做最后一圈圆周运动的半径就等于D形盒的半径R，由带电粒子做圆周运动的半径公式可知

R=

mv2mEk= qBqBq2B2R2所以，被加速粒子的最大动能为 EK=。

2m粒子加速的次数n=

Ek，每转一圈加速两次，所以在磁场中的运动的总时间为 qU t磁=

mn.T=n.。

qB2而带电粒子在电场中的运动连接起来，相当于发生了位移为nd的初速度为零的匀加速直线

运动。 即

1qU2

.md.t电， 2BR(2dR)t=t电+t磁=

2U

nd=

说明：由于d＜＜R，故t电＜＜t磁，通常可略去带电粒子在盒间窄缝电场中加速的时间。 例6、如图所示，屏MN与y轴平行且距离为L，匀强电场的场强E和匀强磁场的磁感应强度B已知，将质量为m，电荷量为q的负电荷（不计重力）从（0，-y）处由静止释放，欲使电荷能够打在平MN与x轴相交的p点 y M （1）应该从何处释放电荷，即y=? B （2）电荷从释放到打在屏上共需多长时间？ 【解析∶】（1）从释放电荷到x轴，应用动能定理，

P 12x 有： Eqymv0

2 粒子在磁场中作匀速圆周运动，有 qv0Bm-y ●-q E N v r20 由题意得： L=n·2r ,(n=1,2,3,……)

qB2L2 联立上式解得 y ， (n=1,2,3,……)

8n2mE设电荷到点P所用的时间为t，从释放到第一次运动到x 轴所用时间为t1，有

y1qE2t1 2m于是 t12myqE

粒子在磁场中作匀速圆周运动转半周的时间为

t2

Tm 2qB故 t=(2n-1)t1 + nt2 , (n=1,2,3,……)

确定带电粒子在复合场中运动轨迹的方法

例1 在竖直向下的匀强电场和水平方向的匀强磁场垂直相交的区域里，一带电粒子

从a点由静止开始沿曲线abc运动到c点时速度为零，b点是运动中能够到达的最高点，若不计粒子所受重力，则（ ）

A．粒子肯定带负电，磁场方向垂直纸面向里 B．a、c两点处在同一条水平线上

C．粒子到达c点后将沿原路径返回到a点 D．粒子通过b点时速率最大 解析：图中的带电粒子在电场力和洛仑兹力共同作用下沿曲线abc运动，因在a点处由静止释放，粒子的速度必为零，故此时的洛仑兹力也为零，粒子起始只在电场力作用下向上运动，由场强E的方向向下，可判断粒子一定带负电。当粒子运动起来后因曲线轨迹向右偏，依左手定则可判定磁场方向一定是垂直纸面向里的，因此A选项正确。

由f=qvBsinθ知，粒子在运动过程中，所受洛仑兹力的方向总是与粒子运动速度的方向相垂直，故洛仑兹力只能改变速度的方向而不能改变其大小，因此粒子沿曲线从a点到b点的过程中，电场力做正功，将电势能转化成动能，而由b到c点的过程中粒子克服电场力做功，再将动能转化成电势能，故粒子在b点处速率最大，a、c两点处速率均为零；又电场力做功与路径无关，场强方向竖直向下，所以a、c两点位于同一条水平线上的等势面上，即BD选项是正确的。粒子到达c点后与开始从a点由静止释放的情况完全相同，因此从c点开始将重复由a经b到c的运动过程，不会沿原路返回到a点，其轨迹应向右平移，即C选项错误。 点评：若带电粒子进入的是一个有界电磁场区域，通常按时间的先后顺序分成若干个小过程来进行处理，在每一运动过程中都从粒子的受力分析着手，紧紧抓住重力和电场力是两个恒力，洛仑兹力随速度的变化而变化这一特点。

例2 如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度为B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零，如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计粒子重力，整个装置在真空中）

解析：不计重力的带电粒子从正对狭缝a的S点出发，先经加速电场作用而做匀速直线运动，设加速电压为U，则有

。接着粒子从a点以速度V垂直进入匀强磁场中，

由洛仑兹力提供其圆周运动的向心力而做匀速圆周运动，设其轨道半径为R，则有

。

又题干中要求粒子经过一段时间的运动之后恰好回到出发点S，表明整个运动过程存在一定的对称性和周期性，而外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c

和d，故应将整个圆周四等分，即每次在磁场中要运动使速度转向角为90，且其圆运

0

动的轨道半径满足R= r0时，才恰能回到出发点S。然粒子的带电量为+q，故运用左手定则可判定粒子应逆时针绕行，依此可绘制粒子在磁场中运动的草图如上，综合运用上述可解得

。

点评：带电粒子在复合场中每一时段的运动过程中都要充分考虑洛仑兹力永远不做功，重力和电场力做功只取决于始末位置的高度差和电势差。有时还要充分考虑整个运动过程中空间和时间的周期性，通过草图找出相应的几何关系。

总之，要正确描绘出带电粒子在复合场的运动轨迹，须充分把握住重力、电场力和洛仑兹力的性质，正确分析粒子的受力情况，巧妙运用物体做曲线运动的条件，灵活选取特殊状态，绘制草图促使问题的解决。

带电粒子在复合场中的运动

一. 教学内容：

带电粒子在复合场中的运动

二. 教学过程：

1. 带电粒子在复合场中应用问题的分析与力学中的力学中分析方法相同，关键是要注意电场和磁场对

带电粒子不同的作用特点。

（1）带电粒子在匀强电场中受到的电场力F＝qE是恒力；电场力作功与路径无关，只与初末位置

的电势差有关；电场力作功多是电势能和其他形式的能之间相互转化的量度。

（2）带电粒子在磁场中受到的洛仑兹力的大小随运动速度的大小改变而改变；洛仑兹力的方向总

与运动方向垂直；洛仑兹力对带电粒子不作功。

2. 带电粒子在电场和磁场共存区域内运动形式的分析和判定：

带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动形式由粒子的受力情况和初速度情况共同决定。由于电场、磁场的本身情况不同（例如相互平行或垂直）都可以使带电粒子在场内运动时所受电场力、洛仑兹力的情况不同，又由于带电粒子的初速度可能不同，这些因素共同决定了带电粒子在电场、磁场共存区域内

的不同运动形式。

3. 研究带电粒子在电场和磁场共存区域内运动的方法：

（1）运用牛顿运动定律研究带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动：带电粒子在电场、磁场中运动时，一般来说，带电粒子会同时受到电场力和洛仑兹力的作用，这两个力的合力决定了粒子的加速度，从而制约了粒子的运动形式，对于这类问题，一般是先利用牛顿第二定律求出电场力和洛仑兹力共同作用

产生的加速度，然后再运用恰当的运动学规律对问题最后求解。

（2）运用动能定理研究带电粒子在电场和磁场共存区域内的运动：由于洛仑兹力对带电粒子不做功，电场力对粒子所做的功WE等于粒子动能的增量△EK，即WE＝△EK。又因为电场力对粒子所做的功WE等于粒子电势能的增量△EP的负值，即WE＝－△EP。所以又有△EK＋△EP＝0，即粒子的动能与电势能之和守恒。

4. 回旋加速器的工作原理

回旋加速器是用来加速带电粒子的装置。

回旋加速器的核心部分是两个D形的金属扁盒，这两个D形盒就像是沿着直径把一个圆形的金属扁盒切成的两半。两个D形盒之间留一条窄缝，在中心附近放有粒子源，D形盒装在真空容器中，整个装置放在巨大电磁铁的两极之间，磁场方向垂直于D形盒的底面。把两个D形盒分别接在高频电源的两极上，

如果高频电源的周期与带电粒子在

D形盒中的运动周期相同，带电粒子就可以不断地被加速了。带电粒子在D形盒内沿螺线轨道逐渐趋于盒

的边缘，达到预期的速率后，用特殊装置把它们引出。

这里需注意：高频电源的周期等于带电粒子在D形盒中运动周期，一般情况下带电粒子在窄缝中的

运动时间忽略。

【典型例题】

例1. 如图所示，三个质量相同的质点A、B、C带有等量正电荷，它们从相同的高度，从静止开始下落，质点A、B分别垂直进入匀强电场E和匀强磁场B，质点C继续在空中下落，如果电场和磁场的宽度为h2，

则它们分别达到水平线MN时，

（1）速度的大小vA、vB、vC的关系如何？ （2）下落时间tA、tB、tC的关系如何？

分析：三个小球运动轨迹如草图所示：

C球做自由落体运动

A球先做自由落体，进入电场后，向右偏做类似斜抛运动，其竖直方向做ay＝g的加速运动，水平

做初速为零的匀加速运动。

B球先做自由落体，进入磁场后，向右偏做曲线运动（轨迹不是圆）。

（1）要求解落地速度，可通过动能定理：

（2）要分析运动时间可分析竖直方向分运动。 A球在竖直方向是自由落体运动，故vA＝vC。

B球运动到P点时，洛仑兹力f斜面右上方，其竖直分量向上，使B球运动加速度小于g，故tB＞

tC。

解：（1）由动能定理可知：vA＞vB＝vC （2）由竖直分运动的分析可知：tA＝tC＜tB

例2. 一束质子流以一定的速度沿水平平行于板进入平行金属板间，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场

B，要使质子沿直线通过，可加一匀强电场场强为E，

（1）电场的方向； （2）质子的速度v0＝?

（3）若使电场强度增大，质子可从C点射出两板间；若撤去电场，质子可从D点射出两板间；假

设C、D关于O点对称，试比较从O、C、D三点射出两板间时，质子的速度大小。

解析：（1）质子受洛仑兹力f方向向上，要做直线运动，电场力必与f等大、反向，即电场力向

下，又质子带正电，故电场方向向下。

（2）由F＝f可知，qE＝qvB

（3）增大电场，电场力大于洛仑兹力，质子将沿电场力方向偏转，电场力做正功，动能增大，即

vC＞v0。

撤去电场，质子在磁场中做匀速圆周运动，故vD＝v0

所以vC＞v0＝vD

讨论：（1）当粒子以v＝E/B向右通过上述正交电场磁场区域时，可匀速通过。

（2）这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。

（3）若速度小于这一速度，电场力将大于洛仑兹力，带电粒子将顺电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛仑兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将逆电场力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛仑兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲

线。

例3. 如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y

＝-2h处的P3点。不计重力。求： （1）电场强度的大小。

（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。

（3）磁感应强度的大小。

解析：（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示：

设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律

及运动学公式有：

（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度

的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有：

（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律：

r是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，θ＝45°，由几何关

系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得：

例4. 如图所示，套在很长的绝缘直棒上的带正电的小球，其质量为m，带电荷量为q，小球可在棒上滑动，现将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中，电场强度是E，磁感应强度是B，小球与棒的动摩擦因数为μ，求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度（设小球电荷量不变且mg＞

μqE）

解析：球在下滑过程中将受到重力、电场力、杆对球的弹力、杆对球的滑动摩擦力和洛仑兹力，其中重力向下，滑动摩擦力向上，电场力向右。下滑之前，球运动速度为零，洛仑兹力为零，杆对球的弹力向左，且弹力等于电场力（注意此时并不是弹力最小、加速度最大时刻）。当球开始下滑后，水平方向除受电场力、弹力外，还受到向左的洛仑兹力，此时，弹力等于电场力和洛仑兹力之差。由于刚开始下滑，球速度较小，洛仑兹力小于电场力。随着下滑速度的变大，洛仑兹力变大，导致弹力变小，球下滑的加速度将变大。当球速度大到使洛仑兹力等于电场力时，弹力为零，球受到的摩擦力为零。此时，球下滑的加速度达到最大值，且刚好等于重力加速度g。随着球的速度继续变大，洛仑兹力大于电场力，弹力等于洛仑兹力和电场力之差，随着球的速度增加，弹力变大，摩擦力变大，球下滑的加速度变小，当摩擦力大到

等于重力时，球将匀速下滑，此时球的速度即为最大速度。 （1）小球下滑开始阶段的受力情况如图所示：

（2）当v＞v1时，小球受力情况如图所示：

当v大到F＝mg时，a＝0，此时v达到最大值

说明：分析该题中球运动状态的变化：v↑→F洛↑→FN大小及方向变化→F先↓后↑→a先↑后↓。小球的运动可划分为三个阶段，要对各阶段认真进行受力分析，明确各量如何变化，找出极值条件。本题

中F洛＝qE，即FN＝0，F＝0时，a最大；F合＝0，即F＝mg时，v最大。

例5. 设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场。已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E＝4.0V/m，磁感应强度的大小B＝0.15T。今有一个带负电的质点以v＝20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电荷量与质量之比q/m以及磁场的所有可能

方向（角度可用反三角函数表示）。

分析：质点做匀速直线运动，所以重力、电场力与洛仑兹力的合力一定为零。由于洛仑兹力与磁场方向垂直，磁场与电场方向相同，因此，电场力与洛仑兹力相互垂直，如图所示，并且这二者的合力与重力等大反向。分析时要注意三点：一是洛仑兹力的大小与带电质点的速率有关；二是带负电的质点的运动方向不是左手定则中四指的方向；三是以图中重力所在竖直线为轴线转动，在任一位置重力、电场力与洛仑兹力的合力都为零，所以磁场的所有可能方向为无穷多个，但都在以重力所在竖直线为轴线转动的过程，

磁场B所画的圆锥面内。

解：由上述分析可画出质点受力分析图如图所示（此图对应为带负电的质点垂直纸面向里运动）。

设质点电荷量为q，质量为m。

角θ＝37°，且斜向下方的一切方向。

【模拟试题】

1. 如图所示，虚线所示的区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入这个磁场。发现有的质子在磁场里运动的时间长，有的较短，其中运动时间较长的质子

（ ）

A. 入射的速度一定较大 B. 在该磁场中运动路程一定较长 C. 在该磁场中偏转的角度一定较大 D. 轨迹所对应的圆心角较大

2. 如图所示，左右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m、电量的数值为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界

QQ'射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）

A. B.

C. D.

的速率射出磁场，

__________。

3. 如图所示，两电子沿MN方向射入两平行直线间的匀强磁场，它们分别以

则

___________，通过匀强磁场所需时间之比

4. 关于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动，下列说法正确的是（ ） A. 带电粒子沿电场线射入，电场力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加 B. 带电粒子垂直电场线方向射入，电场力对带电粒子不做功、粒子动能不变 C. 带电粒子沿磁感线方向射入，洛仑兹力对带电粒子做正功，粒子动能一定增加 D. 不管带电粒子怎样射入磁场，洛仑兹力对带电粒子都不做功，粒子动能不变

5. 如图所示，长方形区域存在磁感应强度为B的匀强磁场，一束速度不同的电子从O处沿与磁场垂直

方向射入磁场，磁场方向垂直于边界，若从a、b、c、d四处射出的电子在磁场中运动时间分别为

，则（ ）

A.

B.

C.

D.

6. 如图所示，是等离子体发电机示意图，平行金属板间匀强磁场的磁感应强度B＝0.5T，两板间距离d＝20 cm，要使输出电压为220V，则等离子体垂直射入磁场的速度v＝_________，a是电源的__________

极。

7. 在图中的虚线所围的区域中，存在电场强度为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场。已知从左方水平射入的电子穿过这区域时未发生偏转，设重力不计，则在这区域中的E和B的方向可能是（ ）

A. E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相反 B. E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相同

C. E竖直向上，B垂直纸面向外 D. E竖直向上，B垂直纸面向里

8. 如图所示，平行板电容器水平放置，连接

的导线的一部分CD和另一连接电池的回路的一部

分GH平行，CD和GH均在纸面内。金属板置于磁场中，磁场方向垂直纸面向里，当一束等离子体射入两金

属板之间时，CD导线将受到力的作用，则当（ ）

A. 等离子体从右方入射时，CD受力方向背离GH B. 等离子体从右方入射时，CD受力方向指向GH C. 等离子体从左方入射时，CD受力方向背离GH D. 等离子体从左方入射时，CD受力方向指向GH

9. 如图，有一质子以速度v穿过相互垂直的电场和磁场区域没有偏转，则（ ）

A. 若电子以相同的速度v射入该区域，仍不会偏转 B. 无论是何种粒子，只要以相同的速度v射入，均不会偏转 C. 若质子入射速度小于v，它将向下偏转，做类平抛运动

D. 若质子入射速度大于v，它将向上偏转，其轨迹既不是抛物线，又不是圆弧

10. 如图所示，一束电子流以速度v沿水平方向射入磁感应强度为B，方向如图的匀强磁场中，为使电

子流通过磁场时不发生偏转（不计重力），则在磁场区须加一个匀强电场，则场强为（ ）

A. ，竖直向上 B. Bv，垂直纸面向里

C. ，水平向左 D. Bv，垂直纸面向外

11. 用回旋加速器来加速质子，为了使质子获得的动能增加为原来的4倍，原则上可采用下列哪几种方

法（ ）

A. 将其磁感应强度增大为原来的2倍 B. 将其磁感应强度增大为原来的4倍 C. 将D形金属盒的半径增大为原来的2倍 D. 将D形金属盒的半径增大为原来的4倍

12. 电量为q的粒子自静止开始被加速电压为U的电场加速后，沿垂直于磁感线方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子在场中做半径为R的匀速圆周运动，不计重力，则粒子在磁场中运动的速率为

（ ）

A. BR/2U B. 2U/RB C. 2U/qBR D.

BR/2qU

13. 一带正电的小球沿光滑水平桌面向右运动，飞离桌面后进入匀强磁场，如图3所示。若飞行时间后落在地板上，水平射程为

。着地速度为

；撤去磁场，其他条件不变，小球飞行时间

，则（ ）

，水平射程

，

着地速度

A.

B.

C.

D.

14. 氢核、氘核（

），氚核（

）以相同的动能射入速度选择器，如图所示。如果氘核沿直线运动，则（ ）

A. 偏向正极板的是氢核 B. 偏向正极板的是氚核 C. 射出动能最大的是氚核 D. 射出动能最大的是氢核

15. 如图所示，两块带电金属板水平放置，电子束从两极板的左侧正a处，沿水平方向以速度

垂

直于电场方向入射，在电场力作用下，刚好从图中所示的c点射出，射出时速度为v，保持电场不变在两极板间加一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，电子束仍从a处以速度

___________。

垂直于电场方向入射，它刚好从

图中所示的d点射出，已知c、d两点相对于中心线ab是对称的，则每个电子从d点射出时的速度大小为

16. 如图所示，设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零，C为曲线的最低点，在不计

重力的情况下，可以确定（ ）

A. 离子一定带正电荷 B. A、B两点位于同一高度 C. 离子在C点时速度最大 D. 离子到达B点后将沿原路返回A点

17. 如图所示，在真空中，匀强电场的方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里，三个油滴a、b、c带有等量的同种电荷，已知a静止，b向右匀速运动，c向左匀速运动，比较它们的质量应有（ ）

A. a油滴质量大 B. b油滴质量大 C. c油滴质量大 D. a、b、c油滴质量一样大 18. 质量为m，电荷量为+q的小物块，放在斜面上，斜面的倾角为

，物块与斜面间的动摩擦因数为

，

设整个斜面置于磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，斜面足够长，物块向下滑动能达到的最大速度

是多少？

19. 如图所示，在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，水平放置一足够长的绝缘直棒，棒上套着一个带正电的小球，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；小球质量为m，带电量

为q，小球沿水平棒滑动时摩擦因数为μ，小球刚开始向右滑动后，求： （1）当小球的速度达到何值时它的加速度最大？加速度的最大值是多少？

（2）小球速度的最大值是多大？

20. 已知质量为m的带电液滴，以速度v射入互相垂直的匀强电场和匀强磁场中（电场强度为E，磁感

强度为B），液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动。如图所示，求：

（1）液滴在空间受到几个力作用；

（2）液滴带电量及电性； （3）液滴做匀速圆周运动的半径多大？

21. 如图所示，在场强为E方向水平向左的匀强电场和磁感应强度为B垂直纸面向里的匀强磁场区域内，固定着一根足够长的绝缘杆，杆上套着一个质量为m，电荷量为q的小球，球与杆之间的动摩擦因数为μ，

现让小球由静止开始沿杆下滑，求小球沿杆滑动的最终速度为多大？

22. 如图所示，在地面附近，坐标系xOy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直纸面向里的匀强磁场；磁感应强度为B。在x＜0的空间还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一个带正电的油滴经图中x轴上的M点，始终沿着与水平方向成角α＝30°的斜向下的直线方向运动，进入x＞0的区域。要使油滴进入x＞0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在x＞0区域内加一个匀强电场。若带电油滴做圆

周运动通过x轴上的N点，且MO＝NO，求： （1）油滴运动的速率的大小；

（2）在x＞0空间内所加电场的场强大小和方向； （3）油滴从x轴上的M点开始到达x轴上的N点所用的时间。

【试题答案】

1. CD

提示：此题所得一项结论可在日常练习中使用。质子从a处正对圆心O射入磁场，从b处射出磁场。作Oa、Ob的垂线交于O'点，O'a、O'b为圆周运动的半径，连接OO'。由几何关系可知：△OO'a≌△OO'b，

得∠OaO'＝∠ObO'＝90°，即从b处射出的质子好像是从O点沿直线射出的一样。

2. BC

提示：由可知越大，r越大。本题通过作图找出两种电性情况下的临界状态的图像。

3. 1∶2；3∶2

提示：粒子进入磁场做匀速圆周运动，用左手定则确定圆心，如图所示：

由几何关系得：

有，而

可得

又根据圆知识，得电子在磁场中的运动时间：

因此，

4. D

提示：带电粒子在电场中受到的电场力

，只与电场有关，与粒子的运动状态无关，功的

正负由力与位移方向间夹角决定，对选项（A）只有粒子带正电才成立；垂直射入匀强电场的带电粒子，不

管所带电荷性质如何，电场力都会做正功，动能增加，故选项（B）错。

带电粒子在磁场中，当

或v∥B时，不受洛仑兹力作用，故选项（C）错，当v≠0且速度v仑兹力不做功，故选项（D）正确。

5. C

提示：因不同电子荷质比相同，在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期相同，角速度相同，因不同电子速度不同。所以圆周运动的半径不同；如图所示做弦长线的交点，是对应圆弧的圆心画出圆弧：

、

可知，

的垂直平分线与Ob若其延

对应的圆心角相

的方向与磁场方向不平行时，带电粒子受洛仑兹力作用，因洛仑兹力的方向始终与速度方向垂直，所以洛

等均为，而对应的圆心角小于对应的圆心角，由

错，选项（C）正确。 6. 2200m/s；正

7. ABC 8. AD

知，选项（A）、（B）、（D）

提示：等离子体中同时含有正离子和负离子，由左手定则可知，当等离子体从右方进入磁场后，正离子受磁场力方向向下，负离子受力方向向上，

带负电，

带正电，CD中有由D流向C的电流，与GH

中电流反向。两电流相排斥，CD受力背离GH，选项A正确。当等离子体从左方进入磁场后，同理可以得到上板聚集正电荷，

带正电，下板

带负电，CD中电流由C流向D与GH中电流同向，两电流相吸引，

选项D正确。 9. ABD

提示：质子做直线运动时有：，v相同的任何带电粒子均能沿直线通过电磁

场区域。，粒子顺电场力方向偏移。 10. C 11. BC 12. B

提示：电场中加速；磁场中做圆周运动， 13. BD 14. AC

，联立方程求出速率v。

15.

16. ABC 17. C

18.

19. （1） （2）

20. （1）3个力；（2），负电；（3）

21.

22. （1）

（2）

，方向竖直向上

（3）

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