高等代数复习题2

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金陵科技学院考试卷 200 8 200 9 学年第二 学期 院(部) 08 A 能 对角化（填“能”或“ 否”），A3的特征值为 1，-8，27 ， 级 专业 二、单项选择题（每题3分，共12分） 得 分 课程 线性代数A 课程编号 20102200 (A、闭)卷 姓名 学号 得分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷人 得分 一、填空题（每空2分,共24分） 得 分 1、设A为三阶方阵,且A3，则AAT 9 ，2A1 8/3 。 2、设11,12,则,是线性 无 关 （填“相”或“ 无”） , 03123T 123 0003、设向量组1242，x，y为正交向量组，则y -20/19 , 32z该向量组的秩为 3 。 4、设10114,121 ,31为R3 的一个基,则向量3在基 00111,2,3下的坐标为 7，2，1T 5、线性方程组AmnXb有无穷多解的充要条件是r(A)r(A)n 6、已知三阶方阵A的特征值为1,2,3，则tr(A) 2 ，A -6 ， 第 页 总 页 出卷教师 1、设A为n阶方阵，且A0，则下列结论中正确的是 （ D ） (A) A中必有一行为零行 (B) A中必有两行成比例 (C)A中必有两列成比例 (D) A的行向量组线性相关 a11a12a13a22a230102、设Aaaaa21aaa212223，B12，Pa31a32a3311a31a11a32a12110013，a33a13001P1002010， 则必有 （ B ） 101(A) P2P1AB (B) P1P2AB (C) AP2P1B (D)AP1P2B 3、下列命题中正确的是 （ D ） (A)在AB和BA都有意义的情况下，则ABBA (B)若AXAY，且A，则XY (C)若A2，则A (D)若AXAY，且A，则XY 4、设向量组1,2,3,4线性无关，则 （ A ） (A)12,23,34,41线性无关 (B)12,23,34,41线性无关 (C)12,23,34,41线性无关 (D)12,23,34,41线性无关 第 页 总 页 教研（实验）室主任

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三、计算题（本题共分） 得 分 3、设向量1(1,0,2,1)T,2(1,2,0,1)T,3(2,1,3,0)T,4(2,5,1,4)T,5(1,1,3,1)T， 123221211、计算四阶行列式D的值。（本题8分） 3212 （1）求该向量组的秩； （2）求该向量组的一个极大线性无关组； （3）将其余向量用这个极大线性无关组线性表示。 （本题14分）

2321123212321232解：D21210585012332120410804108………(3分) 23210745074512321232 01231290018200001820……….…………(3分) 0018260006 11(18)6 108…………………………………………….…………. (2分) 2、已知A110011，且满足AX2XA，试求矩阵X。（本题8分） 101解：(A2E)XA,X(A2E)1A……………………………….. (2分) 11011010110 由A2E,A011011111011 1011010112110101121101121100011011011101101010101002220001110001110 011所以X(A2E)1A101…………….………….………(6分) 110 第 页 总 页 出卷教师 11221221解：A(1511,2,3,4,5)0215111151 20313020211041002223131122115110222 01151222222 0215101000002220000222103132220010 1151103101222000111.…(8分) 001110000000000 （1） 向量组的秩r(1,2,3,4,5)3……………….…………… (2分) （2） 1,2,3是向量组1,2,3,4,5的一个极大线性无关组……(2分) （3） 41323,523…………………….…………… (2分) 第 页 总 页 教研（实验）室主任

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2x17x23x3x4、求解线性方程组3x15x22x32x44 的通解： (本题10分) 9x14x2x37x42 192273161211210111111解A5110352249417201151100102210220111111(3分) 00000 得r(A)r(A)24,故原方程组有无穷多解，且得同解方程组为：  x11x9x2113114 1110 x2511x3111x411T令x3x0,得方程组的一个特解*2104011,11,0,0…………….… (2分)  又与其导出组对应的同解方程组为：x1111x9311x4 x251 11x311x4 令x3x1,01, 40即得导出组的一个基础解系15T91T111,11,1,0,211,11,0,1………. (4分) 因此原方程组的通解为：X*k11k22,其中k1,k2为任意常数 ……. (1分) 第 页 总 页 出卷教师 5、设实对称矩阵A2225 （1）求一个正交阵P,使P1AP为对角阵. （2）求A10.（本题12分） 解：（1）f()AE2225276……………….… (2分) 令f()0，得A的特征值为11,26,由 AE12241200, 得(AE)X0的基础解系21TT12,1,单位化得15,5;… (2分)  A6E421121200, 得(A6E)X0得基础解系1,2T,单位化得12T225,5;… (2分) 令21P(1,2)55,则P为正交矩阵，且P1AP101206… (2分) 5511（2）A10P10P12255101055 1206125555411022556556102…………………………..…….… (4分) 5256101545610第 页 总 页 教研（实验）室主任

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6、设有二次型f(x1,x2,x3)2x1x22x1x32x2x3， （1）写出二次型f的矩阵； （2）化二次型f为标准型；并求所用线性变换； （3）判断此二次型f的正定性. (本题12分)  解：（1）A011101………………………….…………..…….… (2分) 11011 （2）f()AE11122……..……….… (2分) 11令f()0，得A的特征值为121,32, 由 111AE111111000,得(AE)X0的基础解系111000T1,1，0T,1,0，1T,正交化得1,1，T111210,22,2，1, 单位化得11TT12,2，0,11226,6，6,……..…………… (2分)

211A2E121101011,得(A2E)X0的基础解系112000TT,单位化得11131,11，33,3，3,……..……….…….. (2分) 111263令P(,11112,3)263,则P为正交矩阵， 02163二次型经过变换XPY化为标准型fy21y222y23….…….. (2分) （3）因为特征值有正有负，所以此二次型既非正定二次型又非负定二次型。.. (2分) 第 页 总 页 出卷教师

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