初中数学 整式的乘除法

一、幂运算

1．幂运算：幂是乘方运算的结果，am表示m个a相乘，其中a叫做幂的底数，m叫做幂的指数．

2．运算规则：

（1）任何一个非零数的零次方都是1：a(a≠)．

（2）任何一个非零数的负数次幂等于它的正数次幂的倒数：ann(a)．

a（3）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：amanamn．

（4）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：amanamn． （5）幂的乘方，底数不变，指数相乘：(am)namn．

（6）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：(ab)nanbn． a（7）同指数的幂相除，指数不变，底数相除：ab．

bmmm二、整式的乘法

单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×多项式：乘法分配律． 多项式×多项式：乘法分配律． 三、整式的除法

单项式÷单项式：系数相除，字母相除．多项式÷单项式：除法性质． 多项式÷多项式：大除法． （xy）xyy (xy)xyxy m(abc)mambmc (mn)(ab)mambnanb (abc)mambmcm (xx)(x)x 模块一 幂运算

例题1 （1）下列运算正确的是（ ）

A．xxx B．(x)x C．xxx(x) D．xxx

（2）计算：①aaaaa ②(x)(x)x(x) ③(y)(y)

④(a)(a) ⑤(x)

⑥(ab)

笔 记 区

⑦(a) ⑧(a) ⑨(x)mym（m为整数）

【解析】（1）C；

x1（2）①0；②0；③y12；④a12；⑤8x6；⑥81a8b12；⑦1；⑧2；⑨ay2m．

例题2 计算：（1）

（2）

（3） （4）(.)()

31【解析】（1）；（2）； 2520152016152315（3）原式； 231523（4）．

【提示】幂运算的巧算．

例题3 （1）如果xmxmx，则(m)mm________．

（2）已知(a)a，则aa________．

xxy（3）已知xy，y，且x、y都是实数，则xy________．



【解析】（1）mm，得m，∴原式．

（2）①当a时，则a，此时原式37；

②当a时，得a，此时原式3； ③当a11时，则a2，不满足要求； ∴原式=37或3． xxxyxyxy（3）xyxy，yyxy．

xyx∴，解得．∴xy．

xyy【提示】含参数的幂运算，为各个学校B卷的常考题型．

例题4 （1）已知2x3y40，则9x27y________．

（2）若2m3，4n9，则23m2n的值是________．

（3）已知x，y，求

的值． xy

【解析】（1）xyxyxy．

mn(m)()n． （2）（3）∵x，∴xyy．①，又y，∴xyx．②，

①②得：()xy()xy，∴xyxy，即．

xy【提示】利用整体思想解含参数的幂运算．

模块二 整式的乘法

例题5 计算：（1）mn(mnp)



（2）(xy)xy



（3）ab(aabab)

（5）(xy)(xy)

（4）xn(xnxnx) （6）(a)(a)(a)

（7）(x)(xx)(xx)(x)

【解析】（1）mnp；

（2）xy；

（3）abababab； （4）xnxnxn；

（5）原式xxyxyyxxyy；

（6）原式(aaa)(a)(a)(a)aaa. （7）原式(x)(xx)(xx)(x)(xx)

(x)[(xx)(xx)](xx)

x(x)(xx)xxxxxx．

笔 记 区

例题6

（1）已知(xmy)(xny)xxyy，求(mn)mn的值．

（2）已知多项式xxx(xmx)(xnx)，求m与n的值．

（3）若(xkx)(xx)的展开式中不含x的项，则k的值为______________．

【解析】（1）原式左边展开可得x(mn)xymnyxxyy，

则有mn，mn，故(mn)mn()．

（2）原式展开得xxxx(mn)x(mn)x(mn)x，

mnm比较对应项的系数，有mn，解得．

nmn（3）．

【提示】待定系数法求参数：

若anxnanxnaxabnxnbnxnbxb， 则anbn，anbn，，ab，ab．

例题7 （1）先化简，再求值：(a)aa(aa)(a)(a)，其中a．



（2）先化简，再求值：(ab)(aabb)b(ba)a，其中a，b．



【解析】（1）原式aa，当a时，原式．

（2）原式ab，当a，b时，原式．

【提示】化简求值．

模块三 整式的除法

例题8 （1）xy(xy)

（2）(axaxax)(ax)

（3）abababab



【解析】（1）x；（2）axax；（3）abab． 例题9 计算：（1）(x)(x)

（2）(xxx)(x)

【解析】（1）用竖式除法 （2）用竖式除法

xxxxxxxx

xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx

所以，商式为xx，余式为0． 所以，商式为xx，余式为x．

【提示】整式除法的基本运算（多÷多），属于运用，不会出现此类计算题目． 例题10 已知多项式xxax的除式为bx，商式为xx，余式为1，求a、b的值．

a【解析】由题意知，xxax(bx)(xx)；则可得．

b【提示】整式除法的应用，求参数．

笔 记 区

复习巩固

演练1 计算：（1）(x)x(x)_____________．

（2）(x)(x)(x)____________．

（3）(x)x(x)(x)x__________．

【解析】（1）x．（2）x．（3）0．

演练2 （1）如果mmm，则m的值是________．

（2）若x，y，则xy________．

（3）已知xy，则xy________．

【解析】（1）；（2）18；（3）8．

演练3 计算：（1）x(xx)

 （2）(xx)(xx)(x)(x)

【解析】（1）xxx；（2）xxx．

演练4 若(xpx)(xxq)的积中不含x和x，求p，q的值．

【解析】将原式展开得

(xpx)(xxq)x(p)x(qp)x(pq)xq，

pp因为积中不含x和x，所以，解得．

qpq

演练5 计算：（1）(xxx)(x)

（2）(xy)(xy)(xyxy)(xy)

【解析】（1）xx．

（2）xxyxyy(x)xyy．

演练6 (xxx)(x)

xx【解析】xxxxxxxxxxxxxxxx 商式为xx，余式为x． 演练7 已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x21，余式是3x2，请求出这个多项式．

【解析】xxx．