2010【考研数学一】真题及答案解析

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x2(1)极限lim= x(xa)(xb)x(A)1 (B)e (C)eab (D)eba

(2)设函数zz(x,y)由方程F(,)0确定,其中F为可微函数,且

F20,则xyzxxzzy= xy(A)x (B)z (C)x (D)z (3)设m,n为正整数,则反常积分01mln2(1x)nxdx的收敛性

(A)仅与m取值有关 (B)仅与n取值有关

(C)与m,n取值都有关 (D)与m,n取值都无关 (4)limxi1nn= 22(ni)(nj)j1n(A)0dx011x1dy 2(1x)(1y) (B)0dx0 (D)0dx0精品文档

111x1dy

(1x)(1y)1dy (C)0dx0(1x)(1y)11dy

(1x)(1y2)1

(5)设A为mn型矩阵,B为nm型矩阵,若ABE,则

(A)秩(A)m,秩(B)m (B)秩(A)m,秩(B)n

(C)秩(A)n,秩(B)m (D)秩(A)n,秩(B)n (6)设A为4阶对称矩阵,且A2A0,若A的秩为3,则A相似于

11 (A)1011 (B)10

11 (C)1011 (D)100 x0121ex x2

(7)设随机变量X的分布函数F(x) 0x1,则P{X1}=

(A)0 (B)1 (C)e1 (D)1e1

(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[1,3]上均匀分布的概率密度,

f(x)

12x0 (a0,b0)

bf2(x)x0af1(x)

为概率密度,则a,b应满足

(A)2a3b4 (B)3a2b4

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2

(C)ab1 (D)ab2

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

d2y(9)设xe,y0ln(1u)du,求2= .

dxt0tt2(10)02xcosxdy= .

(11)已知曲线L的方程为y1x{x[1,1]},起点是(1,0),终点是

(1,0),

则曲线积分Lxydxx2dy= .

(12)设{(x,y,z)|x2y2z1},则的形心的竖坐标

z= . (13)设α1(1,2,1,0)T,α2(1,1,0,2)T,α3(2,1,1,)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则= . (14)设随机变量X概率分布为P{Xk}EX2= . C(k0,1,2,),则k!

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求微分方程y3y2y2xex的通解.

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(16)(本题满分10分)

求函数f(x)x1(x2t)et2dt的单调区间与极值.

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4

(17)(本题满分10分)

(1)比较0lnt[ln(1t)]ndt与0tnlntdt(n1,2,)的大小,说明理由 11记unlnt[ln(1t)]ndt(n1,2,),求极限limun.1(1) 0(18)(本题满分10分)

x

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5

(1)n12nx的收敛域及和函数. 求幂级数2n1n1

(19)(本题满分10分)

设P为椭球面S:x2y2z2yz1上的动点,若S在点P的切平面与

xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面积分I(x3)y2z4yz4yz22dS,其中是椭球面S位于曲线C上方的部分.

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(20)(本题满分11分)

11a010,b设A1,已知线性方程组Axb存在两个不同111的解.

(1)求,a.

(2)求方程组Axb的通解.

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7

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(21)(本题满分11分)

设二次型f(x1,x2,x3)xTAx在正交变换xQy下的标准形为

y2y212,且Q的第三列为(222,0,2)T. (1)求A.

(2)证明AE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

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(22)(本题满分11分) 设二维随机变量

22(XY)的概率密度为

f(x,y)Ae2x2xyy,x,y,求常数及A条件概率密度

fY|X(y|x).

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(23)(本题满分11 分) 设总体X的概率分布为

X P 1 1 2 2 3 2 其中(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i1,2,3),试求常数a1,a2,a3,使TaiNi为的无

i13偏估计量,并求T的方差.

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2010年考研数学一真题及答案

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