第12章 全等三角形
一、选择题
1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论： ①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 二、填空题
4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2
，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，
CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．
1 / 29
5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是 ．
6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．
7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的序号）．
三、解答题
8．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D． （1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
2 / 29
9．如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB． （1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．
10．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．
11．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE． （1）求证：EC=DA；
（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．
12．（•营口）【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由． 【深入探究】
3 / 29
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长． （3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上． （1）探究DE与DF的关系，并给出证明；
（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）
14．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．
15．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
4 / 29
16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．
17．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．
18．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．
19．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
20．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．
5 / 29
6 / 29
第12章 全等三角形
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论： ①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题．
【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=
GE，
即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE， 由勾股定理得：BE=∵BG=BE，∠B=90°， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°， ∴∠GAE+∠AEG=45°， ∵AE⊥EF，
GE，∴①错误；
7 / 29
∴∠AEF=90°， ∵∠BEG=45°， ∴∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠GAE=∠FEC， 在△GAE和△CEF中
∴△GAE≌△CEF，∴②正确； ∴∠AGE=∠ECF=135°，
∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误； 即正确的有2个． 故选B．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．
2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°
8 / 29
求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan∠ABE=tan∠EAG=，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG=4EG，故②正确；根据AD∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正确； 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点， ∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， 在△BAE和△CDE中 ∵
，
∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE=∠DCE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠HAD=∠HCD， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD，
∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°﹣90°=90°， ∴AG⊥BE，故①正确； ∵tan∠ABE=tan∠EAG=， ∴AG=BG，GE=AG， ∴BG=4EG，故②正确； ∵AD∥BC， ∴S△BDE=S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，
9 / 29
即；S△BHE=S△CHD，故③正确； ∵△ADH≌△CDH， ∴∠AHD=∠CHD， ∴∠AHB=∠CHB， ∵∠BHC=∠DHE，
∴∠AHB=∠EHD，故④正确； 故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．
3．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE． 【解答】解：当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中 ∵
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
10 / 29
二、填空题
4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=
，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE， ．
【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形． 【专题】压轴题．
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2以AG=4﹣2
，根据勾股定理得AC=4，所
，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．
【解答】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图所示， 在△BCE和△GCF中，
，
∴△BCE≌△GCF（AAS）， ∴CG=BC=2∵AC=∴AG=4﹣2
， ，
=4，
∵△AGF∽△CBA ∴∴AF=FG=∴AE=2﹣∴AE+AF=故答案为：
==+．
11 / 29
， =
， ， =
．
，
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．
5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是 90° ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案． 【解答】解：由ABCD是正方形，得 AD=AB，∠DAB=∠B=90°． 在△ABE和△DAF中∴△ABE≌△DAF， ∴∠BAE=∠ADF． ∵∠BAE+∠EAD=90°， ∴∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠AOD=90°， 故答案为：90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．
，
12 / 29
6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4 cm．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4． 【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E， ∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB， ∴∠ABC=∠A=45°， ∵∠GMB=∠A， ∴∠GMB=∠A=22.5°， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90°，
∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°． ∵MD∥AC， ∴∠BMD=∠A=45°， ∴△BDM为等腰直角三角形 ∴BD=DM， 而∠GBH=22.5°， ∴GM平分∠BMD， 而BG⊥MG，
∴BG=EG，即BG=BE，
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°， ∴∠MHD=∠E，
∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，
13 / 29
∴∠GBD=∠HMD， ∴在△BED和△MHD中，
，
∴△BED≌△MHD（AAS）， ∴BE=MH， ∴BG=MH=4． 故答案是：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 ①② ．（请写出正确结论的序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定． 【专题】压轴题．
【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．
14 / 29
【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°， ∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE， 在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS）， ∴EF=AC，
又∵△ADC为等边三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC， ∴DF=AB=AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确； ∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF， 在△FEB和△CDF中，
．
∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；
若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误， 故答案为：①②．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 三、解答题
8．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D． （1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
15 / 29
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；
（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， 在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD，BE=CF， ∵AB=CF，∠B=30°， ∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形， ∴∠D=
．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
9．如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB． （1）求证：CF=AD；
（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．
16 / 29
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．
【分析】（1）根据中点的性质，可得AE与EF的关系，根据平行的性质，可得内错角相等，根据全等三角形的判定与性质，可得CF与DA的关系，根据等量代换，可得答案；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BFCD的形状，根据直角三角形的性质，可得BD=CD，根据菱形的判定，可得答案； 【解答】（1）证明∵AE是DC边上的中线， ∴AE=FE， ∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE． 在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF=DA．
（2）∵CD是△ABC的中线， ∴D是AB的中点， ∴AD=BD， ∵△ADE≌△FCE， ∴AD=CF， ∴BD=CF， ∵AB∥CF， ∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是平行四边形， ∵∠ACB=90°， ∴△ACB是直角三角形，
17 / 29
∴CD=AB， ∵BD=AB， ∴BD=CD，
∴四边形BFCD是菱形．
【点评】本题考查了四边形综合题，（1）利用了全等三角形的判定与性质，（2）利用了直角三角形的性质，菱形的判定分析．
10．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：BE=CD．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】利用SAS证得△ADC≌△AEB后即可证得结论． 【解答】解：在△ADC和△AEB中， ∵
，
∴△ADC≌△AEB， ∴BE=CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定的方法，难度不大．
11．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE． （1）求证：EC=DA；
（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．
18 / 29
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定． 【专题】证明题．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F是CD的中点，得出FD=CF，再利用AAS证明△FEC与△DBF全等，进一步证明即可；
（2）利用直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的，得出CD=DA，进一步得出结论即可． 【解答】（1）证明：∵EC∥AB， ∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF， ∵F是CD的中点， ∴FD=CF，
在△FEC与△DBF中，
∴△FEC≌△DBF， ∴EC=BD，
又∵CD是AB边上的中线， ∴BD=AD， ∴EC=AD．
（2）四边形AECD是菱形． 证明：∵EC=AD，EC∥AD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AC⊥CB，CD是AB边上的中线， ∴CD=AD=BD，
∴四边形AECD是菱形．
【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19 / 29
12．【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由． 【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长． （3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】压轴题．
【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；
（3）在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，即可求解． 【解答】解：（1）BD=CE． 理由是：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD=∠ADC=45°，
20 / 29
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE． ∵AE=AB=7， ∴BE=
=7
，∠ABE=∠AEB=45°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°， ∴EC=∴BD=CE=
=．
=
，
（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE． ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， 又∵∠ABC=45°， ∴∠E=∠ABC=45°， ∴AE=AB=7，BE=
=7
，
又∵∠ACD=∠ADC=45°， ∴∠BAE=∠DAC=90°，
∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE， ∵BC=3， ∴BD=CE=7
﹣3（cm）．
21 / 29
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三个题目之间的联系，构造（1）中的全等三角形是解决本题的关键．
13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上． （1）探究DE与DF的关系，并给出证明；
（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质．
【分析】（1）连接CD，首先根据△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点得到CD=AD，CD⊥AD，然后根据四边形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形，从而得到△DCE≌△DAF，证得DE=DF，DE⊥DF；
（2）根据DE=DF，DE⊥DF，得到EF=时点P与点D重合线段EF最短． 【解答】解：（1）DE=DF，DE⊥DF， 证明：连接CD，
22 / 29 DE=
DF，从而得到当DE和DF同时最短时，EF最短得到此
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点， ∴CD=AD，CD⊥AD， ∵四边形PECF是矩形， ∴CE=FP，FP∥CB，
∴△APF是等腰直角三角形， ∴AF=PF=EC， ∴∠DCE=∠A=45°， ∴△DCE≌△DAF， ∴DE=DF，∠ADF=∠CDE， ∵∠CDA=90°， ∴∠EDF=90°， ∴DE=DF，DE⊥DF；
（2）∵DE=DF，DE⊥DF， ∴EF=
DE=
DF，
∴当DE和DF同时最短时，EF最短， ∴当DF⊥AC，DE⊥AB时，二者最短， ∴此时点P与点D重合，
∴点P与点D重合时，线段EF最短．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形及矩形的性质，解题的关键是能够证得两个三角形全等，难度不大．
14．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．
23 / 29
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF． 【解答】证明：∵AB∥EF， ∴∠A=∠E， 在△ABC和△EFD中
∴△ABC≌△EFD（SAS） ∴BC=FD．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中．
15．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明； （2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】压轴题．
【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；
24 / 29
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°． 【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图， ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD与△DBC中，
，
∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC，
∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°，
25 / 29
∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45°， ∵AF∥CE，且AF=CE， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AE∥CF，
∴∠APD=∠FCD=45°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．
16．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， 在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF．
26 / 29
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可． 【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC， ∴AM=AN，
∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴∠MAD=∠NAD， 在△AMD与△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS）， ∴DM=DN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明．
18．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．
27 / 29
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【专题】证明题．
【分析】由在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可． 【解答】证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处， 可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C， ∴OB=OD，
在△AOB和△EOD中，
，
∴△AOB≌△EOD（AAS）， ∴OA=OE．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】根据等式的性质得出BD=CE，再利用SAS得出：△ABD与△FEC全等，进而得出∠ADB=∠FCE． 【解答】证明：∵BC=DE， ∴BC+CD=DE+CD， 即BD=CE，
在△ABD与△FEC中，
，
28 / 29
∴△ABD≌△FEC（SAS）， ∴∠ADB=∠FCE．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE，再利用全等三角形的判定和性质解答．
20．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵∠BCE=∠ACD， ∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AB=DE．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．
29 / 29
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容