苏教版高中数学选修2-2《最大值与最小值》导学案

学习目标：

1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间

a,b上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充

分条件；

2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 学习重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

学习难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 学习过程： 【复习引入】 一、函数极值的定义

一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个 ，记作y极大值=f(x0)， .如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个 .记作y极小值=f(x0)， .极大值与极小值统称为 . 注意：

1.在定义中，取得极值的点称为极值点， 是 的值， 指的是 .

2.极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它 的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. 3.函数的极值不是 的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.

4.极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点，而 .

二、求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x);

(2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点) .

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值. 【讲解新课】

一、最值的概念(最大值与最小值)

如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.

观察图中一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象．图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值．函数f(x)在a,b上的最大值是f(b)，最小值是f(x3).

y一般地，在闭区间a,b上连续的函数f(x)在

ax1Ox2x3bxa,b上必有最大值与最小值．

说明：

1. ； 2. . 二.如何求函数的最值?

(1)利用函数的单调性.如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.

(2)利用函数的图象.如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值. (3)利用函数的导数. 设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：

(1) (2) . 【讲解范例】

例1 求函数yx24x3在区间1,4上的最大值与最小值. 解:

141312xxx，在［－1，1］上的最小值为( ) 43213A.0 B.－2 C.－1 D.

12跟踪练习1：函数y例2 求函数yx42x25在区间[-2,2]上的最大值与最小值.

跟踪练习2：求f(x)

1xsinx在区间0,2上的最大值与最小值 2 32f(x)axbx2xc在x2时有极大值6，在x1时有极小值，例3 已知

求a,b,c的值；并求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值.

【达标练习】

1．下列说法正确的是( )

A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.如果函数f(x)有最小值f(a)，最大值f(b)，那么f(a)一定小于f(b)吗？ 3．求下列函数在所给区间上的最大值和最小值 （1）f(x)3x2 x1,3 （2）f(x)x11 x,3 x3（3）yxx3 x0,2 【课堂小结】

1.最值的概念(最大值与最小值)

如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值；

如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.

2.求函数最值的常用方法：

(1)利用函数的单调性.如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值. (2)利用函数的图象.如:求y=(x－2)2+3在区间 [1,3]上的最值. (3)利用函数的导数.

设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值)

(2)将y=f(x)的各极值与f (a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 【作业】

1．设函数f(x)在区间［a,b］上满 足f′(x)＜0,则f(x)在［a,b］上的最小值为______, 最大值为 .

2．函数y=x3－3x2－8x+5在区间[－4, 4]上的最大值是（ ） A.－22 B.－71 C.－15 D.10

3．求下列函数在所给区间上的最大值和最小值: （1）yx22x x[0, 3] （2）y

（3）y

4．把长度为Lcm的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大.

1xcosx x[, ]222x1 x[0, 2]x2