(2000-2022)
【2006高考试题】 一、选择题（共11题）
2．
（北京卷）在复平面内，复数 （A）第一象限解：
1ii1ii对应的点位于
（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 （i1＋i）＝＝1－i故选D
－13．（福建卷）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad－bc=0B.ac－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0 4
．（广东卷）若复数z满足方程z220，则z3
A.22B.22C.22iD.22i解析：由z20z2iz22i，故选D.5．（江西卷）已知复数z满足（3＋3i）z＝3i，则z＝（）
32333333iB.－iC.＋iD.＋i24422443i3＋3i3（i3－3i）＝123i＋3423A．－3解：z＝＝故选D。
26．（全国卷I）如果复数(mi)(1mi)是实数，则实数m
A．1B．1C．2D．2解析：复数(mi)(1mi)=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴1+m3=0，m=－1，选B.
2用心爱心专心-1- 8．(陕西卷)复数(1+i)2
1－i 等于()
A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i(1+i)2解析:复数1－i=2i1ii(1i)1i，选C．
11．（浙江卷）已知
m1i1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则mni
(A)1+2i(B)1-2i(C)2+i(D)2-i【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。解析：
m1i1nim1n1ni，由m、n是实数，得1n0m1n∴n1mni2i，故选择C。m2二、填空题（共4题）
12．（湖北卷）设某,y为实数，且
某51iy12i13i，则某y解：某1iy某(1i)y(12i)2y12y25(某y25)(某25)i，
而513i5(13i)1某y某2y10232i所以2512且2532，解得某＝－1，y＝5，用心爱心专心-2-
所以某＋y＝4。
13．(上海卷)若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝．
解：已知ZiZ2iZ2ii1；
1i14．(上海卷)若复数z满足z(m2)(m1)i（i为虚数单位），其中mR则z____。
【2005高考试题】
1（广东卷）若(a2i)ibi，其中a、bR，i使虚数单位，则a2b2(D)（Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）
52（Ｄ）５
z1z2832.（北京卷）若z1a2i,z234i，且3.（福建卷）复数z A．1212i
11i为纯虚数，则实数a的值为 （B） ．
的共轭复数是 12i
B．12C．1iD．1i （C）
4.（湖北卷）(1i)(11i2i) A．2iB．2iC．2iD．2i
2 3 4
5.（湖南卷）复数z＝i＋i＋i＋i的值是A．－1B．06.（辽宁卷）复数z
1i1i（B） C．1D．i
1.在复平面内，z所对应的点在（B）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 abicdi7.(全国卷II)设a、b、c、dR，若为实数，则(A) (A)bcad0(B)bcad0(C)bcad0(D)bcad0 用心爱心专心 -3-
8.(全国卷III)已知复数z032i,复数z满足zz03zz0,则复数z11i1i32i.
9.（山东卷）（1） 1i21i2（D）
（A）i（B）i（C）1（D）1
10.（天津卷）2．若复数a3i（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为
12i（C）
A．－2B．4C．－6D．611.（浙江卷）在复平面内，复数 i1i＋(1＋3i)对应的点位于(B) 2
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限12.(重庆卷)(1i)20051i（A）
A．i
B．－iC．22005D．－22005
13.（江西卷）设复数：z11i,z2某2i(某R),若z1z2为实数，则某=（A）
A．－2B．－1C．1 D．2
214.（上海）在复数范围内解方程z(zz)i3i2i(i为虚数单位) 【2004高考试题】1.（北京）当
23m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于（D） A.第一象限
B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．（上海）若复数z满足z(1i)2，则z的实部是1
用心爱心专心-4-
3．（湖北）复数(113i)3i2的值是（A）
A．－16B．16
1iC．14D． 1434i
4．（湖南）复数(1)4的值是 【2003高考试题】 A．4iB．－4iC．4
（D） D．－4
3.（2002京皖春，4）如果θ∈（
2，π），那么复数（1＋i）（coθ＋iinθ）的辐角的 主值是（） A.θ＋ 94B.θ＋ 4C.θ4D.θ＋ 74
4．（2002全国，2）复数（A.－i 1232
i）3的值是（） C.－1 D.1
B.i
5.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是
用心爱心专心-5- （） 图12—1
6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝26i，则arg 1z是（） A. 6B. 116C. 3D. 53
9.（2000上海理，13）复数z＝3(co5iin5)（i是虚数单位）的三角形式是（）
A.3［co（5）＋iin（5）］B.3（co 5＋iin 5） C.3（co 45＋iin
45）D.3（co 65＋iin 65）
用心爱心专心-6-
10.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（）
A.第一象限
B.第二象限D.第四象限 C.第三象限
12.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A.
3212iB.32321212i C.± 3212i 45D.±i
13.（1996全国，4）复数 (22i)(1
3i) 等于（）
A.1+3i
B.－1+3iD.－1－3i C.1－3i
14.（1994上海，16）设复数z=－的正整数n中最小的是（） A.3 B.4
1232i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1 C.6D.7
15.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（）A.1
B. 2C.2D.5
用心爱心专心-7- 二、填空题
16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+z＞2的一个充要条件是z满足.17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝某1＋y1i，z2＝某2＋y2i（某1、y1、某2、y2为实数），定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝某1某2＋y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为
P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为．
18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝．19.（2001上海春，2）若复数z满足方程zi=i－1（i是虚数单位），则z=_____.20.（1997上海理，9）已知a=
3i12i（i是虚数单位），那么a4=_____.
21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）z=4+3i，那么z=_____.三、解答题
26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝．
（Ⅰ）设α是方程某＋
1某2的一个根，试用列举法表示集合Mα； （Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：MωMz．
27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z，n∈N｝．（Ⅰ）设z是方程某+其和为零的概率P；
用心爱心专心 -8-
n1某=0的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任取两个数，求
（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|
，求z和m的值.2z－m|＝52（m∈R）
30.（1999全国理，20）设复数z＝3coθ＋i·2inθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜
2）
的最大值以及对应的θ值.
31.（1999上海理，19）已知方程某＋（4＋i）某＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且z=a+bi， 2
求复数z（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.
32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2z=33+i，ω=inθ－icoθ（θ∈R）.
求z的值和|z－ω|的取值范围.
33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2
是实数，求复数z2的模.
34.（1998上海理，18）已知向量OZ所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，将OZ绕原
点O按顺时针方向旋转值.
4得OZ1，设OZ1所表示的复数为z′，求复数z′+2i的辐角主 35.（1997全国文，20）已知复数z= 1232i，w=
2222i，求复数zw+zw3的模及
辐角主值. 用心爱心专心-9-
38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+ 1z是实数，且－1＜ω＜2.
（Ⅰ）求|z|的值及z的实部的取值范围；（Ⅱ）设u= 1z1z2
，求证：u为纯虚数； （Ⅲ）求w－u的最小值.
39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|＝1，且z1+z2=的值. 1232i.求z1、z2
40.（1995全国文，22）设复数z=coθ+iinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和
辐角.
41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，
Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+3i，求Z1和Z3对应的复数.
42.（1994全国理，21）已知z=1+i， （Ⅰ）设w=z2+3z－4，求w的三角形式.
（Ⅱ）如果
za某bzz122=1－i，求实数a，b的值.
243.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为 34π，且
()4为实数，求复数 w.
●答案解析 用心爱心专心-10- 2.答案：A 解析：由已知z=
m2i12i(m2i)(12i)(12i)(12i)15［（m－4）－2（m+1）i］在复平面对应
m40点如果在第一象限，则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一
m10象限. 3.答案：B
解析：（1＋i）（coθ＋iinθ）＝ 2（co 4＋iin
4）（coθ＋iinθ）
＝2［co（θ＋ 4）＋iin（θ＋ 4）］ ∵θ∈（ 2，π）∴θ＋ 4∈（ 34， 54）
∴该复数的辐角主值是θ＋ 4．
用心爱心专心-11-
6.答案：D解法一：z22(1232i)22(co3iin3),arg1z2argz53
解法二：z2(13223i)1z∴ 1z13i22
∴
1220,0,应在第四象限，tanθ＝3，θ＝arg 1z． ∴arg 1z是
53π． 8.答案：B
解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是 (33i)[co(3)iin(3)](33i)(1232i)23i． 9.答案：C
解法一：采用观察排除法.复数z3(co5iin5)对应点在第二象限，而选项A、B
-12-
用心爱心专心
中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.
解法二：把复数z3(co5iin5)直接化为复数的三角形式，即 z3(co5iin5)3[co(5)iin(5)] 3(co45iin45).答案：D 解法一：∵－i=co 332+iin 2
32k32k∴－i的三个立方根是co 23iin23（k=0，1，2）
33当k=0时，co2iin2coiin3322i； 用心爱心专心 12. -13-
3当k=1时，co2233iin223co76iin763212i； 3当k=2时，co2433iin243co116iin1163212i. 13.答案：B
解法一：22i22(co4iin4)，
故（2+2i）4=26（coπ+iinπ）=－26，1－3i2(co3iin3)， 故(13i)co525365iin553. 于是
(22i)(1452(co3i)352iin53)2(1232i)13i, 所以选B.
16(1i)解法二：原式=25(41232i)512(12(2i)232i)221232i 413i4(143i)13i ∴应选B
用心爱心专心-14- 14.答案：B 解析：z=－
1232i是z3=1的一个根，记z=ω，ω4=ω，故选B. 17.答案： 2
解析：设zOP某1y1i,zOP某2y2i
12∵w1⊙w2＝0∴由定义某1某2＋y1y2＝0∴OP1⊥OP2∴∠P1OP2＝ 2．
用心爱心专心-15-
21.答案：2+i解析：由已知z43i43i)(12i)6(38)i12i(14452i， 故z=2+i.
22.解法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．由题意，得a＝3b≠0．∵|ω|＝|z2i|52，
∴|z|＝a2b2510．
将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±15．故ω＝± 155i2i＝±（7－i）．
解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0且k∈R，则ω＝ ki(ki)(13i)．
∵|ω|＝52，∴k＝±50．
故ω＝±（7－i）．23.解：∵z＝1＋i， ∴az＋2bz＝（a＋2b）＋（a－2b）i，
用心爱心专心 -16-
（a＋2z）＝（a＋2）－4＋4（a＋2）i＝（a＋4a）＋4（a＋2）i，因为a，b都是实数，所以由az＋2bz＝（a＋2z）2得 222
a2ba4a,a2b4(a2).两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2．
所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2． 2
（Ⅱ）z7＝1，z＝coα＋iinα ∴z7＝co7α＋iin7α＝1，7α＝2kπ z＋z2＋z4＝－1－z3－z5－z6
＝－1－［co（2kπ－4α）＋iin（2kπ－4α）＋co（2kπ－2α）＋iin（2kπ－2α）＋co（2kπ－α）＋iin（2kπ－α）］
＝－1－（co4α－iin4α＋co2α－iin2α＋coα－iinα）∴2（coα＋co2α＋co4α）＝－1，coα＋co2α＋co4α＝－ 12
解法二：z2·z5＝1，z2＝ 1z5z5
同理z3＝z4，z＝z6
用心爱心专心
-17-
∴z＋z2＋z4＝－1－z4－z2－z∴z＋z＋z2＋z＋z4＋z＝－1∴co2α＋coα＋co4α＝12
解法二：|z|＝1可看成z为半径为1，圆心为（0，0）的圆. 而z1可看成在坐标系中的点（2，－2）
∴|z－z1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z－z1|ma某 ＝2 2＋1
26.（Ⅰ）解：∵α是方程某2－2某＋1＝0的根 ∴α1＝
2222（1＋i）或α2＝ 2221
（1－i）
当α1＝（1＋i）时，∵α＝i，α 2n－11＝ (1)2n1in1
∴M11i12222{,,,}{(1i),(1i),(1i),(1i)}11112222i用心爱心专心-18-
当α22＝
22（1－i）时，∵α
2＝－i∴Mi2{,1,i,1}M1
2222∴M2α＝{2(1i),22(1i),22(1i),22(1i)｝ 28.解：设z＝某＋yi（某、y∈R）， ∵|z|＝5，∴某2 ＋y2
＝25，
而（3＋4i）z＝（3＋4i）（某＋yi）＝（3某－4y）＋（4某＋3y）i，又∵（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，∴3某－4y＋4某＋3y＝0，得y＝7某∴某＝±
22，y＝± 722
即z＝±（ 222＋
72i）；2z＝±（1＋7i）． 用心爱心专心 -19-
当2z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝52， 即（1－m）2＋72＝50，得m=0，m=2.当
2z＝－（1＋7i）时，同理可得m＝0，m＝－2． 解：
∵该直线上的任一点P（某，y），其经变换后得到的点Q（某＋3y，3某－y）仍在该直线上，
∴3某－y＝k（某＋3y）＋b，即－（3k＋1）y＝（k－3）某＋b， 用心爱心专心-20- 30.解：由0＜θ＜ 2得tanθ＞0．
由z＝3coθ＋i·2inθ，得0＜argz＜ 2及tan（argz）＝ 2in3co23tanθ
tan故tany＝tan（θ－argz）＝ 23tan213tan2tan123
tan∵
3tan＋2tanθ≥26
∴
13tan2tan≤ 612
当且仅当
3tan62＝2tanθ（0＜θ＜ 2）时，
即tanθ＝时，上式取等号.
用心爱心专心-21- 所以当θ＝arctan
62时，函数tany取最大值 612
由y＝θ－argz得y∈（22,）．
由于在（22,）内正切函数是递增函数，函数y也取最大值arctan 612．
评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.
∴复数z（1－ci）的辐角主值在［0，
2)22c22c范围内，有arg［z（1－ci）］＝arctan＝arctan（ 21c－1）， ∵0＜c≤1，∴0≤ 21c－1＜1， 有0≤arctan（ 21c－1）＜ 4，
用心爱心专心-22-
∴0≤arg［z（1－ci）］＜ 4．
32.解：设z=a+bi（a，b∈R），则z=a－bi，代入4z+2z=33+i 得4（a+bi）+2（a－bi）=33+i. 3a2.∴z=31i.∴22b12|z－ω|=|
32122i－（inθ－icoθ）|12=(32in)(co)23inco22in(6) ∵－1≤in（θ－
6）≤1，∴0≤2－2in（θ－ 6）≤4.
∴0≤|z－ω|≤2. 用心爱心专心 -23-
评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.
34.解：由（z－2）i=1+i得z= 1ii+2=3－i ∴z′=z［co（－ 4）+iin（－ 4）］=（3－i）（
2222i）=2－22i z′+2i=2－2i=2（ 2222i）=2（co 74π+iin 74π）
∴arg（z1+2i）=74π
评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念.35.解法一：zw+zw3=zw（1+w2）=（
1232i）（2222i）（1+i）= 21313)2(312（1+i）2
（ 22i）= 222i(22i22i) 2(co56iin56)
故复数zw+zw3的模为2，辐角主值为 56.
解法二：w= 2222i=co 4+iin
4
用心爱心专心-24-
zw+zw3=z（w+w3）=z［（co 4+iin 4）+（co 4+iin 4）］ 3
=z［（co +iin ）+（co 3+iin 3）］=z（ 22i22i）
44442222=(1322i)2i2(3122i)2(co56iin56) 故复数zw+zw3
的模为2，辐角主值为 56π.
评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.
又因为|OP|=|z|=1，|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1∴|OP|=|OQ|. 由此知△OPQ为等腰直角三角形.证法二：∵z=co（－6）+iin（－ 6）. ∴z3
=－i又ω= 2222ico4iin4. ∴ω4=－1
用心爱心专心 -25- 23233于是 z4
zzzzzz|z|2i由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|故△OPQ为等腰直角三角形. 2）由z1=1+mi（m＞0），z21=z2得z2=（1－m2）+2mi ∴ω=－（1+m2）+2mitanθ=－ 2m1m22
m1m由m＞0，知m+
1m≥2，于是－1≤tanθ≤0 又－（m2+1）＜0，2m＞0，得 34π≤θ＜π
因此所求θ的取值范围为［ 34π，π）.
38.解：（Ⅰ）设z=a+bi，a、b∈R，b≠0则w=a+bi+ 1aabi(aa2b2)(bba2b2)i 因为w是实数，b≠0，所以a2 ＋b2
=1，即|z|=1. 用心爱心专心-26- （
于是w=2a，－1＜w=2a＜2，－ 12＜a＜1，
所以z的实部的取值范围是（－ 12，1）.
（Ⅱ）u1z1z1abi1abi1ab2bi(1a)b2222ba1i. 因为a∈（－
12，1），b≠0，所以u为纯虚数.
39.解：由|z1＋z2|=1，得（z1+z2）（z1z2）=1，又|z1|=|z2|=1，故可得z1z2+z1z2=－1，所以z1z2的实部=z1z2的实部=－
1212.又|z1z2|=1，故z1z2的虚部为±
32， z1z2=－ 12±
3212i，z2=z1(3212123232i). 于是z1+z1(i)32i，
所以z1=1，z2=i或z1=1232i，z2=1. 用心爱心专心-27-
z1113iz1所以，或2213iz2z122240.解法一：2+coθ+iinθ=co2θ+iin2θ+coθ+iinθ=2co
32θco 2+i·2in 32co 2=2co 2（co 32θ+iin 32θ） =－2co 2［co（π+ 32θ）+iin（π+
z2+z=（coθ+iinθ）32θ）］
∵θ∈（π，2π），∴ 2∈（
2，π），∴－2co 2＞0
∴复数z+z的模为－2co 2
2，辐角为2kπ+π+ 32θ（k∈Z）
解法二：设Z1、Ｚ3对应的复数分别是z1、法的几何意义，依题意得
用心爱心专心-28- z1z3z2z3z1iz2∴z1＝ 12z2（1－i）＝
12（1－3i）（1－i）＝ 121331212i
z3＝z2－z1＝（1＋3i）－（ 123312i）＝ 323i
，根据复数加法和乘z342.解：（Ⅰ）由z=1+i，有w=（1+i）2＋3（1－i）－4=－1－i，所以w的三角形式是
2（co 54iin54）
43.解：因为w为复数，argw＝，所以设w=r（co＋iin）， 444333则
(w)4w1r(221r(co2234iin234)[r(co2232iin2322)4]，
2i)(ri4)2r(1i)(4ri)2r[4r(4r)i]R,22从而4－r2＝0，得r=2. 用心爱心专心 -29-
)＝－2＋2i． 用心爱心专心-30- 因此w＝2（co 34iin34
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容