一、选择题
1. 已知 中，求作一点 ，使 到 的两边的距离相等，且 ，则下列确定 点的方法正确的是
A. 是 与 两角平分线的交点 B. 是 ， 两边上中垂线的交点 C. 是 的角平分线与 的中垂线的交点 D. 是 的角平分线与 的中垂线的交点
2. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形 的交点．
A. 三个内角平分线 C. 三条中线
B. 三边垂直平分线 D. 三条高
16. 如图，三条公路把 ， ， 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，
要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在
A. 在 ， 两边高线的交点处 B. 在 ， 两边中线的交点处 C. 在 ， 两内角平分线的交点处 D. 在 ， 两边垂直平分线的交点处 5. 等腰三角形两边长分别为 和 ，则这个等腰三角形的周长为
A.
B.
C.
D. 或
7. 如图，在 中， 是 的垂直平分线， ，且 的周长为 ，则 的周长为
A. B. C. D.
33. 如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，点 为 的中点，连接 ，则
的周长为
A.
B. C.
1
D.
12. 已知等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个等腰三角形的周长为
三角形的证明 常考题
A. B. C. D. 或
34. 如图， 是 的角平分线， ，垂足为 ， ， 和 的面积分别为 和 ，
则 的面积为
A. B. C. D.
6. 如图所示，在 中，已知点 ， ， 分别为边 ， ， 的中点，且 ，则 阴影 等于
A.
B.
C.
B. 每个内角都小于 D. 每个内角都大于 B. 有一个内角小于 D. 每一个内角都小于
D.
9. 反证法证明“三角形中至少有一个角不小于 ”先应假设这个三角形中
A. 有一个内角小于 C. 有一个内角大于 A. 有一个内角大于 C. 每一个内角都大于
29. 下列命题的逆命题是真命题的是
28. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 ”时，首先应假设这个三角形中
A. 如果 ， ，则 C. 两直线平行，同位角相等
B. 直角都相等
D. 若 ，则
10. 在 中，已知 ， ， 是 的平分线， ，则 的值为
A. A. 或
B. B.
C. C. 或
D. D.
27. 等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是
13. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 ，则顶角的度数为
A. A. 或
B. B.
C. C. 或
D. 或 D.
18. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 ，则这个等腰三角形顶角的度数为 14. 如图，在 中， ，点 是 上的点，且 ， 垂直平分
，垂足是 ，如果 ，则 等于
A. C.
B. D.
15. 已知：如图，点 ， 分别在 的边 和 上， 与 相交于点 ，给出下面四个条件：
2
三角形的证明 常考题
① ；② ；③ ；④ ，从这四个条件中选取两个，不能判定 是等腰三角形的是
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
11. 如图， 中， ，点 在 边上，且 ，则图中等腰三角
形的个数有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
17. 如图，在四边形 中， ， ，若连接 ， 相交于点 ，则图中全等三角形共有
A. 对 B. 对
C. 对 D. 对
4. 将一把直尺与一把三角板如图那样放置，若 ， 的度数是
A. B. C. D.
19. 如图，在等边三角形 中， 是 边上的中点，延长 到点 ，使 ，则 的度数为
A.
B.
C.
D.
36. 如图，在 中， ， 是 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ．已知 ，
则 的度数为
A. B. C. D.
3
三角形的证明 常考题
21. 设计一张折叠型方桌子如图，若 ， ，将桌子放平后，要使 距离地面的
高为 ，则两条桌腿需要叉开的 应为
A.
B. C.
D.
3. 下列说法中，正确的有
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
20. 下列说法中，正确的是
A. 直角三角形中，已知两边长为 和 ，则第三边长为
B. 三角形是直角三角形，三角形的三边为 ， ， ，则满足 C. 以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形
D. 中，若 ，则 是直角三角形 22. 下列说法中不正确的是
A. 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 B. 有两边对应相等的两个直角三角形全等 C. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等 D. 有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
23. 如图， 中， ， 是 中点，下列结论中不正确的是
A. C. 平分
B. D.
24. 如图，点 是 内一点，且点 到 ， 的距离 ，则 的依据是
A. B. C. D.
37. 如图，已知 ， ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是
A. B. C. D.
4
三角形的证明 常考题
26. 如图， ， 平分 ， 于点 ，点 是射线 的一个动点，若 ，则 的
最小值为
A. B. C. D.
31. 如图， ， 内有一定点 ，且 ．在 上有一点 ， 上有一点 ．若 周长
最小，则最小周长是
A. B. C. D.
32. 如图，在第 个 中， ， ；在边 上任取一点 ，延长 到 ，使 ，
得到第 个 ；在边 上任取一点 ，延长 到 ，使 ，得到第 个 ， ，按此做法继续下去，则第 个三角形中以 为顶点的内角度数是
A.
C.
B.
D.
35. 如图， ，点 ， ， 在射线 上，点 ， ， 在射线 上， ， ，
均为等边三角形，若 ，则 的边长为
A. B. C.
5
D.
三角形的证明 常考题
30. 如图， 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，那么
下列结论：
① 和 都是等腰三角形； ② ；
③ 的周长等于 与 的和； ④ ． 其中正确的有 A. ①②③
B. ①②③④
C. ①②
D. ①
38. 如图， 是等边 内一点， ， ， ，以 为旋转中心，
将线段 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．则下列结论：① 可以由 绕点 逆时针方向旋转 得到；②连接 ，则 ； ③ ；④ 四边形 ．其中正确的有
A. ①②
B. ①②③
C. ①②④
D. ①②③④
二、填空题
39. 如图， 中， ，点 为斜边 的中点， ，则 的长为 ．
40. 如图， 中， ， 是 的平分线， ， ，则 ．
41. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于 ．
42. 在直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 ，在 轴的正半轴上确定点 ，使 为等腰三角形，则点
的坐标为 ．
43. 如图，已知 ， ，要使 ，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）．
6
三角形的证明 常考题
44. 如图，点 ， 分别在线段 ， 上， ，不添加新的线段和字母，要使 ，需添加的
一个条件是 （只写一个条件即可）．
45. 如图， ，要使 ，应添加的条件是 （添加一个条件即可）.
46. 如图，在等腰 中， ， ， 于点 ，则 ．
47. 如图， ， 垂直且平分 于点 ， 的平分线 交 于点 ，连接 ，则 的度
数是 度．
51. 如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，垂足为点 ，连接 ，则
的度数为 ．
48. 如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ，则 的周长等
于 ．
7
三角形的证明 常考题
53. 如图所示，在 中， ， ， 分别是 和 的平分线，且 ， ，则
的周长是 ．
第53题
第50题
50. 已知 是边长为 的等边三角形，以 为边作等腰三角形 ，使得 ，且 ，
点 是 边上的一个动点，作 交 边于点 ，且满足 ，则 的周长为 ．
52.如图，在平面直角坐标系中，将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 ， 分别落在点 ， 处，
点 在 轴上，再将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在 轴上，将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点 在 轴上，依次进行下去 ，若点 ， ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
49. 如图，已知 中， ， ， ，过直角顶点 作 ，垂足为 ，再过
作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，再过 作 ，垂足为 ， ，这样一直做下去，得到了一组线段 ， ， ，则 ；则 ；则 ．
54. 如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 上的动点， 是 边上一点．若 ，
的最小值为 ．
第54题
第56题
56. 如图，在 中， ， ，点 是 边上的点， ，将 沿直线 折叠，
使点 落在 边上的点 处，若点 是直线 上的动点，则 的周长的最小值是 ．
8
三角形的证明 常考题
三、解答题
58. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ， 为 边上一点．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
59. 如图，在 中， 平分 ，点 是 的中点， 于点 ， 于点 ．
求证： 是等腰三角形．
60. 如图①点 ， ， ， 在同一直线上， ，作 ， ，且 ．
（1）证明： 平分线段 ；
（2）若 沿 方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立?请说明理由．
9
三角形的证明 常考题
61. 如图，已知 ， ， 与 交于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： 是等腰三角形．
62. 如图，在 中， ， ， ， 的垂直平分线分
， 于点 ， ．
（1）求证： ； （2）求证： ．
63. 如图， 是边长为 的等边三角形，将 沿直线 向右平移，使 点与 点重合，得到 ，
连接 ，交 于 ．
（1）猜想 与 的位置关系，并证明你的结论； （2）求线段 的长．
66. 如图，在 中， ， 于点 ， ， 平分 ，点 是 边的中点，连接 ，
交 于点 ，连接 ． （1）求证： ； （2）求证： ；
别交
（3）判断 的形状，并证明你的结论； （4）猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
10
三角形的证明 常考题
67. 如图， ， ．
（1）如图 ，若 的平分线与 的平分线交于点 ，试问：点 是线段 的中点吗?为什么?
（2）如图 ，如果 是 的中点， 平分 ， ，求 的度数为多少?
68. 如图，已知， ， ， ；求证： ．
69. 如图， 中， ， 平分 ， 于 ，若 ， ， ．
（1）求 的长； （2）求 的面积．
70. 如图，在 中， ， 是 延长线上的一点，线段 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点 ．
（1）当 时， 和 有什么关系?请说明理由；
（2）当点 在 延长线上 运动时，点 是否在线段 的垂直平分线上?
11
三角形的证明 常考题
72. 如图，在 中， ， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 平分 且分别交 ， 于点 ， ，求证： ．
73. 如图，在 中， ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形； （2）若 ，求 的度数；
（3）若 ， 的周长为 ，求 的周长．
75. 已知， 中， ， ， 为 的中点，若 是直线 上任意一点， ，交直线
于 点． 为 的中点，延长 交 于点 ． （1）若 点 在边 上．
12
①试说明 ； ②试说明 ；
（2）若 ， ．求边 的长．
三角形的证明 常考题
71. 如图，在等腰 中， 是底边上的高线，点 是线段 上不与端点重合的任意一点，连接 并延长
交 于点 ，连接 并延长交 于点 ． （1）证明： ； （2）证明： ；
（3）以线段 ， 和 为边构成一个新的三角形 （点 与点 重合于
点 ），记 和 的面积分别为 和 ，如果存在点 ，能使得 ，求 的取值范围．
76. 在 中， ， ，点 是 的中点， ，垂足为点 ，连接 ．
（1）如图 ， 与 的数量关系是 ；
（2）如图 ，若 是线段 上一动点（点 不与点 ， 重合），连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转
，得到线段 ，连接 ，请猜想 ， ， 三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点 是线段 延长线上一动点，按照（ ）中的作法，请在图 中补全图形，并直接写出 ， ，
三者之间的数量关系．
13
三角形的证明 常考题
74. 已知在 中，满足 ．
（1）如图，当 ， 为 的角平分线时，在 上取一点 使得 ，连接 ，求证：
．
（2）如图，当 ， 为 的角平 分线时，1中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，
请说明理由．
（3）如图，当 为 的外角平分线时，线段 ， ， 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并
对你的猜想给予证明．
14
三角形的证明 常考题
65. 如图，在 中，已知 ， ， ，直线 ，动点 从点 开始沿射线
方向以每秒 厘米的速度运动，动点 也同时从点 开始在直线 上以每秒 厘米的速度运动，连接 ， ，设运动时间为 秒．
（1）求 的长；
（2）当 为多少时， 的面积为 ?
（3）当 为多少时， ，并简要说明理由．（可在备用图中画出具体图形）
57. 如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点．
（1）如果点 在线段 上以 厘米 / 秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点
运动．
①若点 、点 的运动速度相等，经过 秒后， 与 是否全等，请说明理由； ② 若点 、点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使 与 全等? 运动，求经过多长时间，点 与点 第一次在 的哪条边上相遇?
（2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，都逆时针沿 三边
15
三角形的证明 常考题
答案
第一部分 1. C 2. B
【解析】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 3. D 4. A 5. C 6. B 7. B 8. D 9. B 10. C 11. C 12. D 13. B 14. C 15. C 16. C
17. C 【解析】 在 和 中，
，
， ， 在 和 中，
， 在 和 中，
． 18. C 19. C 20. D 21. C 22. C 23. D 24. D 25. B 26. C 27. A
16
三角形的证明 常考题
28. C 29. C 30. A 31. A
32. C 【解析】 ， ， ． 又 ，
．
也就是说：自 以后，这样得来的每一个角都等于前一个角的 ．
．
33. C 【解析】 是等腰三角形， 平分 ， ． 又点 为 的中点， .
是 的中位线. .
的周长 ．
34. B 【解析】作 交 于 ，作 于点 .
， .
是 的角平分线， ， .
在 和 中， ＝ ＝
.
和 的面积分别为 和 ， ， ． 35. D
36. B 【解析】 是 的垂直平分线， ． ．
17
三角形的证明 常考题
又 ， ， ．
又 ， ．
37. B 【解析】 ， ， ，
A、 在 和 中，
，
，正确，故本选项错误；
B、根据 ， ， 不能推出 ，错误，故本选项正确； C、 在 和 中，
，
，正确，故本选项错误； D、 ， ，
在 和 中，
，
，正确，故本选项错误．
38. B 【解析】由题意可知， ， ．
又 ， ，
和 中
． 又 ，
可以由 绕点 逆时针旋转 得到． 故结论①正确； 如图所示：连接 ．
，且 ， 是等边三角形，
18
三角形的证明 常考题
． 故结论②正确； ， ．
在 中，三边长为 ， ， ，这是一组勾股数， 是直角三角形， ， ， 故结论③正确；
四边形
故结论④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③． 第二部分 39. 40. 41. 或
42. ， ，
43.
44. （答案不唯一） 45. （答案不唯一） 46. 47. 48.
49. ，
，
50. 51.
【解析】 是 的垂直平分线， ，
， ，
，
． 52. ，
【解析】因为 ， ， 所以 ，
所以 ， 所以 的横坐标为： ，且 ， 所以 的横坐标为： ，
19
三角形的证明 常考题
所以点 的横坐标为： ． 所以点 的纵坐标为： ．
点 的横坐标为： ， 点 的纵坐标为： ， 所以点 的坐标为 ， 故答案为： ； ． 53.
【解析】因为 ， 分别是 和 的平分线，所以 ， ． 因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，所以 的周长为 ． 54.
【解析】
过 作 ，连接 ．则点 为 的中点， ， ． 根据等边三角形的性质， ． 在 中，根据勾股定理可得， ． 55.
56. 第三部分
57. （1） ① （秒）， （厘米） ， 为 中点， （厘米）
又 （厘米） ， ，
在 与 中，
． ② ， ， 又 ，
要使 与 全等，只能 ， ．
20
三角形的证明 常考题
点 的运动时间 此时
（秒），
（厘米 / 秒）．
（2） ，只能是点 追上点 ，即点 比点 多走 的路程， 设经过 秒后 与 第一次相遇，依题意得 ， 解得 （秒）
此时 运动了 （厘米）
又 的周长为 厘米， ，
点 、 在 边上相遇，即经过了 秒，点 与点 第一次在 边上相遇． 58. （1） 和 都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中
； （2） ， ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ． 59. 平分 ， 于点 ， 于点 ， ，
在 和 中，
， ，
为等腰三角形． 60. （1） ， ， ，
，即 ， 在 和 中，
，
在 和 中，
21
三角形的证明 常考题
，即 平分线段 ． （2） （1）中结论成立，理由为： ， ， ， ，
，即 ， 在 和 中，
， ，
在 和 中，
，
，即 平分线段 ． 61. （1） ， ， ， 在 和 中，
， ．
（2） ， ， ，
是等腰三角形． 62. （1） 连接 .
在 中， ， ， ， 是 的垂直平分线， ，
22
三角形的证明 常考题
，
， 在 中， ， ；
（2） 由（1）可知 ． ， ， ． ， . 63. （1） ．
因为 由 平移而成，
所以 ， ， ， 所以 ， 所以 ，
又因为 ， 所以 ， 所以 ，
（2） 因为由（1）知， ， ， 所以 是直角三角形， 因为 ， ，
所以 ． 64. （1） ① ， ， ，点 为 的中点， ．
又 ， ， ， ． 又 ， ，
在 和 中，
． ② ， ，
若 ， ， 则 ， ， 点 ，点 运动的时间
，
23
三角形的证明 常考题
．
（2） 设经过 秒后点 与点 第一次相遇， 由题意，得 ， 解得
．
点 共运动了 ．
周长为： ， 若是运动了三圈即为： ， 的长度， 点 、点 在 边上相遇，
经过 点 与点 第一次在边 上相遇． 65. （1） 在 中， ， ， ，
；
（2） 过 作 交 于点 ，如图，
则 ，
， ， ．
若 在 点右侧，则 ， ； 若 在 点左侧，则 ， ．
（3） 动点 从点 沿射线 方向运动 秒或当动点 从点 沿射线 的反向延长线方向运动 秒时， .
理由如下：（说明过程简要说明即可）
①如图，当 在射线 上时， 必在 上，则需 ．
24
三角形的证明 常考题
， ， ， ．
证明： ， ， ， ．
②如图，当 在 的反向延长线上时， 必在 延长线上，则需 ．
， ， ， ．
证明： ， ， ， ．
66. （1） ， 平分 ， ， ， ， ， 在 和 中，
．
25
三角形的证明 常考题
（2） ， ， 又 ， ．
（3） 点 是 的中点， 垂直平分 ， ，
，得 ，
又 ，
为等腰直角三角形． （4） ； 为等腰直角三角形， ， ， ．
67. （1） 点 是线段 的中点，理由如下： 过点 作 于 ，
， ，
，即 ， 的平分线与 的平分线交于点 ， ， ， ，
点 是线段 的中点． （2） 过点 作 于 ，
， ，
，即 ． 在 与 中，
26
三角形的证明 常考题
，
， ， ， ，
在 与 中，
， ，
， ，
． 68. ，
，即 ， 在 和 中，
，
（ ）， ．
69. （1） 在 中， ， ．
又 平分 ， ， . 又 ， .
（2） 在 中， ， ， ， ， ．
70. （1） ， 理由是：
因为线段 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，
因为在 中， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 是等边三角形， 所以 ．
27
三角形的证明 常考题
（2） 点 是在线段 的垂直平分线上， 理由是：
因为 ， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，
所以点 是在线段 的垂直平分线上．
71. （1） 因为 是等腰三角形， 是底边上的高线， 所以 ， ． 在 和 中
所以 .
所以 ，即 ． （2） 因为在 与 中，
所以 ． 所以 ．
（3） 由（2）知 是以 为底边的等腰三角形， 因为 ， 所以 ．
①当 为直角或钝角时，在 中，不论点 在 何处，均有 ，所以结论不成立； ②当 为锐角时，如图，
， ， ， ， 而 ，
， 解得： ．
72. （1） ， 于点 ，
28
三角形的证明 常考题
， ， ．
（2） 在 中， ， 同理，在 中， ． 又 平分 ， ， ． 又 ， ．
73. （1） 垂直平分线 ， ，即 是等腰三角形； （2） ， ，
.
， .
． ．
（3） ， ， . .
的周长为 ． 74. （1） 为 的角平分线， ， 在 与 中，
，
， ， 又 ， ， ， ， ， ， ，
； （2） 结论：还成立．
理由：如图，在 上截取 ，连接 ，
29
三角形的证明 常考题
为 的角平分线时， ， 在 与 中，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
． （3） 猜想： ．
证明：如图，在 的延长线上截取 ，连接 ．
设在 延长线上 点右侧有一点 ． 平分 ， ， 在 与 中，
， ， ， ， 又 ， ，
又 ，
30
三角形的证明 常考题
， ，
， ．
75. （1） ①连接 ，如图所示，
， 为 的中点， ， ， 又 ， ，
， ， ，
， ， 在 和 中，
， ．
②连接 ，如图所示，
， 为 的中点， ，
， 为 的中点， ， ， ， 又 ， ，
， ，
31
三角形的证明 常考题
， ， ．
（2） 如图，当点 在线段 上时，
， ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ， ； 如图，当 点 在线段 延长线上时，
， 综合上述 或 ． 76. （1）
（2）
．理由如下： 线段 绕点 逆时针旋转
，得到线段 ， ， ， 而 ，
， ， 在 和 中，
， ，
32
三角形的证明 常考题
而 ， ，
，
，
． （3） 补全的图形如图 ，
， ， 三者之间的关系为
．
33
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