南昌一中、南昌十中高三联考数学(理)

南昌市二校联考（南昌一中、南昌十中）高三试卷

数 学（理）

命题：南昌一中高三数学备课组 审题：南昌一中高三数学备课组

考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、选择题（50分） 1.已知集合M{x|32xx20},N{x|xa}，若MN，则实数a的取值范围

是( )

A．[3,) B．(3,) C．(,1] D． (,1) 2、若f(cosx)＝cos2x，则f(sinA．

326) 的值( )

12 B．lg|x|

32 C． D．

12

3．函数y＝

x的图象大致是 ( )

4．由a1＝1，an＋1＝给出的数列{an}的第34项( )

3an＋1

3411A. B．100 C. D. 103100104

5．已知集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( )

A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)} C．{(－2，－2)} D．∅ 6．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )

1

A.2 B．4 C．2 D.

2

7．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )

A．(－3,0)∪(3，＋∞) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

anB．(－3,0)∪(0,3) D．(－∞，－3)∪(0,3)

1

8．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )

A.33 B. 36

6

D. 6

26C. 3

9．已知函数f(x)的定义域是{x|xR且xkf(x)x(f(x，当)，函数f(x)(kZ}满足

2,2)时，f(x)2xsinx．设af(1)，bf(2)，

cf(3)，则（ ）

A．acb B．bca C．cba D．cab

10. 已知定义在[0,)上的函数f(x)满足f(x)2f(x2)，当x[0,2)时，

*2，且{an}f(x)2x4x．设f(x)在[2n2,2n)上的最大值为an（nN）

的前n项和为Sn，则Sn（ ） A．2二、填空题

11．已知数列{an}为等差数列，若a1a5a9，则cos(a2a8)的值为 ． 12．已知一正整数的数阵如下

1 3 2 4 5 6 10 9 8 7

…

则第7行中的第5个数是 ．

n＋1*

13. 已知曲线f(x)＝x(n∈N)与直线x＝1交于点P，若设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为的值为 ．

12n1 B．412n2 C．212n D．412n1

xn，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010

14． 2(1cosx)dx＝________.

215．设函数f(x)xxbxc，给出下列四个命题： ① 当c0时，yf(x)是奇函数；

② 当b0，c0时，方程f(x)0只有一个实根； ③ 函数yf(x)的图象关于点(0,c)对称；

2

④ 方程f(x)0至多有两个实根

其中正确命题为 ．

三、解答题（75分）

16．(12分)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

17．（12分）在ABC中，AB2 , BC1 , cosC （1）求 sinA 的值；

（2）求CBCA的值。

18．（12分）已知等比数列{an}满足2a1a33a2，且a32是a2与a4的等差中项；

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bnanlog2an，Snb1b2bn，求使不等式Sn2n1470成立的n 的最小值；

19．（12分）已知△ABC的面积S满足3≤S≤3，且→AB·→BC＝6，设→AB与→BC的夹角

为θ.

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos2θ的最小值．

11120．（13分）将函数f(x)＝sin x·sin (x＋2π)·sin (x＋3π)在区间

442

(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；

n(2)设bn＝2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

21. （14分）已知函数f(x)(2a)(x1)2lnx,g(x)xe1x.(aR) （1）当a1时,求f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在(0,)上无零点,求a的最小值；

2134 .

（3）若对任意给定的x00,e,在0,e上总存在两个不同的xi(i1,2)，使得 f(xi)g(x0)成立,求a的取值范围。

3

高三联考数学（理）答案

一、选择题（50分） 1.已知集合M是(C)

A．[3,) B．(3,) C．(,1] D． (,1) 2、若f(cosx)＝cos2x，则f(sinA．

32{x|32xx20},N{x|xa}，若MN，则实数a的取值范围

6) 的值( C )

12

lg|x|

B．32 C． D．

12

3．函数y＝

x的图象大致是 ( D)

4．由a1＝1，an＋1＝给出的数列{an}的第34项( C )

3an＋1

3411A. B．100 C. D. 103100104

5．已知集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N等于( C )

A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)} C．{(－2，－2)} D．∅

6．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( c )

A.2 B．4

1

C．2 D. 2

7．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( D )

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)

8．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为( D )

A.

an3 3

B.

3 6

4

C.6 3

D.

6 6

29．已知函数f(x)的定义域是{x|xR且xkf(x)x(f(x，当)，函数f(x)(kZ}满足

2,2)时，f(x)2xsinx．设af(1)，bf(2)，

cf(3)，则（ B ）

A．acb B．bca C．cba D．cab 10. 已知定义在[0,)上的函数f(x)满足f(x)2f(x2)，当x[0,2)时，

f(x)2x4x．设f(x)在[2n2,2n)2上的最大值为an（nN*），且{an}的前

n项和为Sn，则Sn（ B ）

A．2二、填空题

12n1 B．412n2 C．212n D．412n1

11． 已知数列{an}为等差数列，若a1a5a9，则cos(a2a8)的值为 ．答案：-12

12．已知一正整数的数阵如下

1 3 2 4 5 6 10 9 8 7

…

则第7行中的第5个数是 ．答案：26

13. 已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，若设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010的值为 ．答案－1



14． 2(1cosx)dx＝________.答案．π＋2

215．设函数f(x)xxbxc，给出下列四个命题： ① 当c0时，yf(x)是奇函数；

② 当b0，c0时，方程f(x)0只有一个实根； ③ 函数yf(x)的图象关于点(0,c)对称；

5

④ 方程f(x)0至多有两个实根

其中正确命题为 ．答案_①②③ 三、解答题（75分）

16．(12分)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解： 设A＝{x|(4x－3)2≤1}，

B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，

1

易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}．

2

(6分)

由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，

a≤1，∴2a＋1≥1.

(10分)

1

故所求实数a的取值范围是[0，]．(12分)

217、（12分）在ABC中，AB2 , BC1 , cosC （1）求 sinA 的值； （2）求CBCA的值。 17、解：（1）在ABC中，由cosC=

ABsinCBCsinA234 .

34,得sinC=

14874

又由正弦定理

,得sinA=

2

(2)由余弦定理：ABACBC22ACBCcosC即AC=b得：2b212b1234

解得b=2或b=(舍去)，所以AC=2

所以，CBCACBCAcosCB,CACBCAcosC =12

18（12分）.已知等比数列{an}满足2a1a33a2，且a32是a2与a4的等差中

3432 ，即CBCA32

6

项；

（1）求数列{an}的通项公式； （2）若bnanlog2an，Snb1b2bn， 求使不等式Sn2n1470成立的n 的最小值；

18.解：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q， 则有a1(2q2)3a1q ① a1(qq3)2a1q24 ②

由①得：q23q20，解得 q2或 q1（不合题意舍去） 当q2时，代入②得：a12； 所以an22n12n …6分 （2）bnanlog2an2nn，所以

Sn2122232n23n(2222)(123n)23n2(12)12nn(n1)22n1212n12n …9分

2因为Sn2n1470 代入得n2n900， 解得n9或n10（舍去）

所以所求n的最小值为10 …12分

19（12分）、已知△ABC的面积S满足3≤S≤3，且→AB·→BC＝6，设→AB与→BC的夹角为θ.

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f(θ)＝sin2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos2θ的最小值．

6→→→→→→

19 解：(1)∵AB·BC＝6，∴|AB|·|BC|·cos θ＝6.∴|AB|·|BC|＝.

cos θ

1→

又∵S＝|AB|·|→BC|·sin(π－θ)＝3tan θ，

23

≤tan θ≤1. 3ππ

又∵θ∈(0，π)，∴≤θ≤.

64

(2)f(θ)＝1＋2cos2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2

π

＝2sin2θ＋＋2，

4

πππππ73

由θ∈，，得2θ∈，，∴2θ＋∈π，π.

42412463∴3≤3tan θ≤3，即

7

∴当2θ＋

π3π

＝π即θ＝时，f(θ)min＝3. 444

111

20．（13分）将函数f(x)＝sin x·sin (x＋2π)·sin (x＋3π)在区间(0，

442

＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

1111

20（13分）、解：(1)f(x)＝sin x·sin (x＋2π)·sin (x＋3π)＝－sin x．其

4424

π

极值点为x＝kπ＋(k∈Z)．

2

π

它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以为首项，π为公差的等差数列，

2

π2n－1∴an＝＋(n－1)·π＝π(n∈N*)．

22

π

(2)∵bn＝2nan＝(2n－1)·2n，

2

π2n－1n∴Tn＝[1·2＋3·2＋…＋(2n－3)·2＋(2n－1)·2]，

2π23nn＋1

2Tn＝[1·2＋3·2＋…＋(2n－3)·2＋(2n－1)·2]，

2

两式相减，得

π

－Tn＝[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1]，

2

∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3]． 21. （14分）已知函数f(x)(2a)(x1)2lnx,g(x)xe1x.(aR) （1）当a1时,求f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在(0,)上无零点,求a的最小值；

21 （3）若对任意给定的x00,e,在0,e上总存在两个不同的xi(i1,2)，使得 f(xi)g(x0)成立,求a的取值范围。

21.解：（1）当a1时,f(x)x12lnx,则f(x)1由f(x)0,得x2;由f(x)0,得0x2.

2x,

故f(x)的单调减区间为0,2,单调增区间为2,. （2）因为f(x)0在区间(0,)上恒成立不可能，

2

8

1

故要使函数f(x)在(0,12)上无零点，

只要对任意的x(0,12),f(x)0恒成立，

即对x(0,12lnx2),a2x1恒成立。

令l(x)22lnx1x1,x(0,2),

2(x1)2lnx2lnx22则l(x)x(x1)2x(x1)2,

再令m(x)2lnx2x2,x(0,12),则m(x)22(1x)

x22xx20,故m(x)在(0,12)上为减函数,于是m(x)m(12)22ln20,从而,l(x)0,于是l(x)在(0,1

2)上为增函数,所以l(x)l(12)24ln2,

故要使a22lnxx1恒成立,只要a24ln2,,综上，若函数f(x)在(0,12)上无零点, 则a的最小值为24ln2.3）g(x)e1xxe1x(1x)e1x,

当x(0,1)时,g(x)0,函数g(x)单调递增;当x1,e时,g(x)0,函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=ee1e0,所以，函数g(x)在0,e上的值域为0,1.

当a2时,不合题意;

(2a)(x2当a2时,f(x)2a2)x2x(2ax2a)x,x0,e当x2

2a时,f(x)0.由题意得,f(x)在0,e上不单调,9

（

故022ae,即a22e ①

此时，当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下：

f(x) f(x) (0,22a) 22a 2,e 2a— 0 最小值 + 又因为,当x0时,f(x),f(22a)a2ln22a,f(e)(2a)(e1)2,

所以,对任意给定的x00,e,在0,e上总存在两个不同的xi(i1,2),使得f(xi)g(x0)成立,当且仅当a满足下列条件:22)0,a2ln0,f( ②即2a2a③ f(e)1,(2a)(e1)21.令h(a)a2ln22a,a(,22e),2aa2,令h(a)0,则h(a)12[ln2ln(2a)]1得a0或a2,2a故当a(,0)时,h(a)0,函数h(a)单调递增;当a(0,22e)时,h(a)0,函数h(a)单调递减.2e2e

所以,对任意a(,2),有h(a)h(0)0,即②对任意a(,2)恒成立。 由③式解得：a23e1. ④

综合①④可知，当a,23 时,对任意给定的x00,e,e1在0,e上总存在两个不同的xi(i1,2), 使f(xi)g(x0)成立。

10