相似三角形--线三等角型

相似三角形（3）“一线三等角型”

教学目标：

1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题. 2、经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程，再次体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.

3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣. 重点：

相似三角形的判定性质及其应用. 难点：

与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法. 教学方法：

启发式教学方法，尝试指导教学法. 一、知识梳理：

（图1） （图2）

（1）如图1：已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、【例题解析】

【例1】如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D是BC边上任意一点，AB边上有一点E，AC边上有一点F，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=

1,求CF的长 3

【练】1、已知△ABC中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D是BC边上任意一点，AB边上有一点E，AC边上有一点F，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4，求:CF的长

.....

.

2、如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=

3，FC=1时，求BE 2

【例2】在ABC中，C90,AC4,BC3,O是AB上的一点，且

oAO2，点PAB5是AC上的一个动点，PQOP交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），已知AP=2，求CQ

o

【练】在直角三角形ABC中，C90,ABBC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），DFDE,DF与射线BC相交于点F. (1)、当点D是边AB的中点时，求证：DEDF (2)、当

ADDEm，求的值 DBDF

.....

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【例3】已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是BC的中点，∠EDF=∠B, 求证：△BDE∽△DFE.

【练】在边长为4的等边ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上（点D不与点C、点B重合），且保持EDFABC,连接EF. (1)已知BE=1,DF=2.求DE的值 (2)求∠BED=∠DEF

【例4】 如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N， （1）写出图中与BEF相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；

（3）设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

【练】 如图，在△ABC中，ABAC8，BC10，D是BC边上的一个动点，点E在

.....

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AC边上，且ADEC．

(1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

【例5】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足过点D作DG⊥EF于点G，∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

【练】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDBC6，AD3．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．

（1）求证：△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EFCD，求BE的长．

【家庭作业】

1、如图，在ABC中，C90，AC6，

AC3，D是BC边的中点，E为AB边BC4.....

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Ex，BED的面积为y．上的一个动点，作DEF90，EF交射线BC于点F．设B

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.

2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动

点，联结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F． （1）求证：△DBE∽△ECF；

（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；

（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直

线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，

并写出函数的定义域； ②当SDMF9SBEP时，求BP的长 4

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