2012北京怀柔高三二模数学理(word版+答案+免费免点数)

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2012年怀柔区高三年级调研考试

数 学（理科） 2012.4

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U={一l，0，1，2}，集合A={一l，2}，B={0，2}，则(CUA)B

A．{0}

B．{2}

C．{0，l，2} D．

D．－2i

2．已知i为虚数单位，

A．1i

z2，则复数z iB．1i

C．2i

3．“a=2”是“直线ax十2y=0与直线x+y=l平行”的

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是 A．

1 B．1 23 D．2 2主视图

1 左视图 1 C．

5．函数y(sinxcosx)21是

A．最小正周期为2的奇函数 B．最小正周期为2的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

俯视图

π6．过点A4,引圆4sin的一条切线，则切线长为

2A．33 B．63 C．22 D．42

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7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体ABCDA1BC11D1, 不 同的标字母方式共有

A．24种 C．72种

B．48种 D．144种

，

且x1,1时，fx1x2，

8．若函数yfx xR满足fx2fxlgx x0函数gx1，则函数hxfxgx在区间5,5内的零点的个

x x0数为

A．5 B．7 C．8 D．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

149．二项式x2的展开式中含x的项的系数

x是 （用数字作答）． 10．如图给出的是计算15开 始 111的值 352011i=1, s=0 否 是 输出S 结 束 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PA是圆的切线，

A为切点，PBC是圆 的割线，且PAC 3PB， ． 2B P

s=s+ i=i+2 1i

12． 当x(1,2)时，不等式(x1)logax恒成立，则实数a的取值范围为 ．

PB ． 则BCA xy213．已知不等式组xy2表示的平面区域为M,若直线ykx3k1与平面区域

y1M有公共点，则k的取值范围是 ．

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14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为

22的圆周上．从整点i到整点（i＋1）的向量记作titi1，则

t1t2t2t3t2t3t3t4t12t1t1t2＝ ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在ABC中，a、b、c分别为角A、、BC的对边，且满足b2c2a2bc． （Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若a3，设角B的大小为x，ABC的周长为y，求yf(x)的最大值．

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16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点． （Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：

SA∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC； （Ⅲ）当二面角EBDC的大小为45 时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．

S E D C A O B 4

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17．（本小题满分13分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产 品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为490,495，495,500，…，

510,515．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设为重量超过505克的产品数量，求的分布列；

（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．

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18．（本小题满分13分）

已知f(x)axlnx,x(0,e],g(x)（Ⅰ）讨论a1时，f(x)的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f(x)g(x)lnx，其中e是自然常数，aR． x1； 2（Ⅲ）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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19．（本小题满分14分）

x2y2已知：椭圆221（ab0），过点A(a,0)，B(0,b)的直线倾斜角

ab为

3，原点到该直线的距离为． 62（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）斜率大于零的直线过D(1,0)与椭圆交于E，F两点，若ED2DF，求直线

EF的方程；

（Ⅲ）是否存在实数k，直线ykx2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点

D(1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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20．（本小题满分13分 ）

定义：对于任意nN，满足条件的无穷数列an称为T数列．

（Ⅰ）若ann9n(nN)，证明：数列an是T数列；

2**anan2an1且anM（M是与n无关的常数）23（Ⅱ）设数列bn的通项为bn50n，且数列bn是T数列，求常数M的取值范

2围；

（Ⅲ）设数列cnnp1(nN*，p1)，问数列cn是否是T数列？请说明理由． n

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参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A C D B C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．10 10．i2011 11．

12 12．(1,2] 13．[13,0) 14．639 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

15．（本小题满分13分）

在ABC中，a、b、c分别为角A、、BC的对边，且满足b2c2a2bc． （Ⅰ）求角A的值；

（Ⅱ）若a3，设角B的大小为x，ABC的周长为y，求yf(x)的最大值．解：（Ⅰ）∵b2c2a2bc，

∴cosAb2c2a22bc12

又0A， ∴A3； -------------------------------------------------------------5分

（Ⅱ）∵

basinxsinA， ∴basinx3sin3sinx2sinx

32

同理casinAsinCsin(23x) 9

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∴y2sinx2sin(∵A2x)323sin(x)3 36

3,0x25)， ∴x(,3666时，ymax33.----------------------------13分

∴x62即x

3

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．

（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：

E S SA∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：平面BDE平面SAC； （Ⅲ）当二面角EBDC的大小为45 时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由． （Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE. 因为SAË平面BDE，OEÌ平面BDE，

所以SA∥平面BDE.-----------------------------------------4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO面ABCD，ACBD.

建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥SABCD的底面边长为2， 则O(0, 0, 0)，S(0, 0, 2)，AE z S A D O B C 2, 0, 0，

D O C B0, 2, 0，C2, 0, 0， D0, 2, 0.

所以AC22, 0, 0，BD0, 22, 0.

x A B y 设CEa（0a2），由已知可求得ECO45.

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2222所以E(2a, 0, a)，BE(2a, 2, a). 2222设平面BDE法向量为n(x, y, z)，

y0, nBD0,则 即 22a)x2yaz0.(2nBE022令z1，得n(a, 0, 1). 2a易知BD0, 22, 0是平面SAC的法向量.

a, 0, 1)(0, 22, 0)0， 因为nBD(2a所以nBD，所以平面BDE平面SAC.-------------------------------------9分

（Ⅲ）解：设CEa（0a2），由（Ⅱ）可知，

平面BDE法向量为n(a, 0, 1). 2a因为SO底面ABCD，

所以OS(0, 0, 2)是平面SAC的一个法向量.

由已知二面角EBDC的大小为45.

2所以cosOS, ncos45，

2所以2(a2)122a2，解得a1.[ 2所以点E是SC的中点.-----------------------------------------------------------------14分 17．（本小题满分13分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产

,495，495,500，…，品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为490510,515．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：

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（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件，设为重量超过505克的产品数量，求的分布列；

（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰 有2件产品的重量超过505克的概率．

解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40(0.0550.015)12件------------2分 （Ⅱ）的所有可能取值为0,1,2

2112C2863C12C2856C1211,P(1),, P(0)2P(2)22C40130C40130C40130的分布列为

 P 0 1 2 63 13056 13011 130-------------------------------------------------------9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，

其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为

0.3，令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则~B(5,0.3)，

2故所求的概率为p(2)C5(0.3)2(0.7)30.3087-----------------------13分

18．（本小题满分13分）

已知f(x)axlnx,x(0,e],g(x)（Ⅰ）讨论a1时, f(x)的单调性、极值；

lnx，其中e是自然常数，aR． x 12

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（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f(x)g(x)1; 2（Ⅲ）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）f(x)xlnx，f(x)11x1 xx∴当0x1时，f/(x)0，此时f(x)单调递减 当1xe时，f/(x)0，此时f(x)单调递增

∴f(x)的极小值为f(1)1-----------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1，

∴ f(x)0，f(x)min1……5分 令h(x)g(x)1lnx11lnx，h(x)， 2x2x当0xe时，h(x)0，h(x)在(0,e]上单调递增 ∴h(x)maxh(e)11111|f(x)|min e2221------------------------------------------------8分 2∴在（1）的条件下，f(x)g(x)（Ⅲ）假设存在实数

a，使f(x)axlnx（x(0,e]）有最小值3，

f/(x)a1ax1 xx① 当a0时，f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a去），所以，此时f(x)无最小值. ② 当04（舍e111

e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增 aaa

1f(x)minf()1lna3，ae2，满足条件.

a 13

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③ 当

14

e时，f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a（舍去），ae

所以，此时f(x)无最小值.

综上，存在实数ae2，使得当x(0,e]时f(x)有最小值3.---------------------13分 19．（本小题满分14分）

x2y2已知：椭圆221（ab0），过点A(a,0)，B(0,b)的直线倾斜角

ab为

3，原点到该直线的距离为． 62（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）斜率大于零的直线过D(1,的方程；

（Ⅲ）是否存在实数k，直线ykx2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过点

F两点，若ED2DF，求直线EF0)与椭圆交于E，

D(1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）由

13b31，aba2b2 ，得a3，b1， 222a3x2y21---------------------------------------------------------4分 所以椭圆方程是：3x2y21，得(m23)y22my20， （Ⅱ）设EF：xmy1（m0）代入3设E(x1,y1)，F(x2,y2)，由ED2DF，得y12y2．

由y1y2y2得(2m22yy2y，----------------------------6分 12222m3m32m21)，m1，m1（舍去），（没舍去扣1分）

m23m23直线EF的方程为：xy1即xy10----------------------------------------9分

x2y21，得(3k21)x212kx90（*） （Ⅲ）将ykx2代入3 14

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记P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ为直径的圆过D(1,0)，则PDQD，即

(x11,y1)(x21,y2)(x11)(x21)y1y20，又y1kx12，

12k140．

3k21y2kx22，得(k21)x1x2(2k1)(x1x2)5解得k7，此时（*）方程0， 67，满足题设条件．------------------------------------------------------14分 6anan2an1且anM（M是与n无关的常数）2存在k20．（本小题满分13分 ）

定义：对于任意nN，满足条件的无穷数列an称为T数列．

（Ⅰ）若ann9n(nN)，证明：数列an是T数列；

2**3（Ⅱ）设数列bn的通项为bn50n，且数列bn是T数列，求常数M的取值范

2围；

（Ⅲ）设数列cnnp1(nN*，p1)，问数列cn是否是T数列？请说明理由． n2解：（Ⅰ） 由ann9n，得

anan22an1n29n(n2)29(n2)2(n1)218(n1)2

所以数列an满足

2anan2an1. 2981又ann，当n=4或5时，an取得最大值20，即an≤20.

24综上，数列an是T数列.------------------------------------------------------------4分

3（Ⅱ）因为bn1bn50(n1)2n113350n50，

222nn 15

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n 16 /

13所以当500即n11时，bn1bn0，此时数列bn单调递增

22当n12时，bn1bn0，此时数列bn单调递减；故数列bn的最大项是b12，

12所以，M的取值范围是 M60032----------------------------------------9分

（Ⅲ）①当1p2时， 当n1时cpp1p1,c212,c313, 由c5p1c32c2320得p65，

即当1p6时符合cncn252cn1条件. 若n2，则

pn1,此时cpn1n 于是 cpppncn22cn1(1n)(1n2)2(12pn1)n(n1)(n2)0 又对于nN*有cpnn11，所以当1p65时数列cn是T数列；

②当2p3时， 取n1则：cp1p1,c221,cp313, 由cp1c32c2230，所以2p3时数列cn不是T数列 ③当p3时， 取n1则cp1p1,c221,cp331, 由c5p1c32c260，所以p3时数列cn不是T数列. 综上：当1p65时数列c是T数列；当p6n5时数列cn不是T数列

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