弦中点问题解法初探

弦中点问题解法初探

湖南省衡东县欧阳遇实验中学 刘开林

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

x2y21内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所例1、过椭圆

164在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

8(2k2k)x1x2，

4k21x1x24(2k2k)2， 又M为AB的中点，所以224k11解得k，

2故所求直线方程为x2y40。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1x24，y1y22，

又A、B两点在椭圆上，则x14y116，x24y216， 两式相减得(x1x2)4(y1y2)0，

22222222y1y2xx2111，即kAB，

2x1x24(y1y2)2故所求直线方程为x2y40。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M（2，1），

所以

则另一个交点为B(4-x,2y)，

x24y216因为A、B两点在椭圆上，所以有， 22(4x)4(2y)16两式相减得x2y40，

由于过A、B的直线只有一条，

故所求直线方程为x2y40。 二、求弦中点的轨迹方程问题

x2y21上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹例2、过椭圆

6436方程。

解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），

9x1216y12576则有， 229x216y2576两式相减得9(x1x2)16(y1y2)0，

又因为x1x22x，y1y22y，所以92x(x1x2)162y(y1y2)0， 所以

2222y1y29x， x1x216yy9xy0，故。

x(8)16yx822而kPQ化简可得9x72x16y0 （x8）。 解法二：设弦中点M（x,y），Q（x1,y1）， 由xx18y，y1可得x12x8，y12y， 2222xy又因为Q在椭圆上，所以111，

64364(x4)24y21， 即

6436(x4)2y21 （x8）。 所以PQ中点M的轨迹方程为

169例3、已知圆，直线l经过点A（1，2）并与圆C交于M、N两点，当

l的倾斜角变化时，求弦MN的中点轨迹方程。

解：设弦中点为P（x，y），则∴

为所求轨迹方程。

x2y21和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、变换：已知椭圆C：

169B两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。

解：设弦中点为M（x，y），交点为A、B、M、P四点共线。 ∴

①，

。当M与P不重合时，

2222x1y1x2y21,1,两式相减得 由169169，

又

，

∴

由①②可得：

②，

③，

当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2），适合方程③。 ∴弦中点的轨迹方程为： 三、弦中点的坐标问题

2例4、求直线yx1被抛物线y4x截得线段的中点坐标。

。

解：解法一：设直线yx1与抛物线y24x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点

yx1， P(x0,y0)，由题意得2y4x消去y得(x1)24x，即x6x10， 所以x02x1x23，y0x012，即中点坐标为(3,2)。 22解法二：设直线yx1与抛物线y4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点

y124x122，两式相减得y2y14(x2x1)， P(x0,y0)，由题意得2y24x2所以

(y2y1)(y2y1)4，

x2x1

所以y1y24，即y02，x0y013，即中点坐标为(3,2)。 例5、已知某椭圆的焦点是F1(4,0)，F2(4,0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且

F1BF2B10，椭圆上不同的两点A(x1,y1)，

C(x2,y2)满足条件F2A,F2B,F2C成等差数列。

（1） 求次椭圆的方程。 （2） 求弦AC中点的横坐标。

（3） 设弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m，求m

的取值范围。 解：（1）由已知

F1BF2B10，点B在椭圆上，

利用定义易知2a=10，所以a=5，又c=4，所以b=3，

x2y21。 故椭圆的方程为

259 （2）由条件，椭圆右准线方程为x254，离心率为e，点B(4,y0)， 45由椭圆第二定义知F2A425425(x1)，F2C(x2)。 5454因为

F2A,F2B,F2C成等差数列，所以4(25x1)+4(25x2)=29，

54545整理得x1x28。

设弦AC中点P(x0,y0)，则x0x1x24。 29x1225y12925（3） 因为点A(x1,y1)，C(x2,y2)在椭圆上，所以 ， 229x225y2925两式相减得：9(x1x2)25(y1y2)0 ， 即92222x1x2yy2y1y22510 (x1x2)， 22x1x2y1y21 (k0)，

x1x2k因为x1x22x0，y1y22y0，

所以9425y0()0，即k1k25y0 （当k0时也成立）。 36又点P(4,y0)在弦AC的中垂线上，所以所以my04km，

y04ky02516y0y0。 99因为P是弦AC的中点，所以点P在椭圆内部，故

99999y0，即m 5551651616m。 55解得2x2y2例6、椭圆221 （a>b>0）的离心率e=，A、B

3ab是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线

与x轴交于点P（1，0）。

（1）设AB的中点为C(x0,y0)，求x0的值； （2）若F是椭圆的右焦点，且

AFBF3，求椭圆的方程。

2252x29y22221 解：（1）由e=得c=a，baca，从而椭圆方程为22339a5a5x129y125a2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点C(x0,y0)，则，两式相减，2225x29y25a得

5(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0

因为A、B是关于x、y轴均不对称的两点，所以x1x2， y1y20。 所以

5x9yy1y25xx25x10，所以kAB0，kPC0，

x1x29y1y29y09y05x0即

y09y90，x0。

4x015x0

（2） 过A、B分别作右准线的垂线，垂足分别为A1、B1得

AFAA1BFBB1AFBF2 3AA1BB1999a293x0，a，a3。 所以AA1BB1。有

244c42x2y21。 故所求椭圆的方程为95上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们

看一个结论

22AxCyDxEyF0上的两点，P(x0,y0)为引理 设A、B是二次曲线C：

弦AB的中点，则

kAB2Ax0D(2Cy0E0)2Cy0E。

22(x,y)(x,y)AxCyDx1Ey1F0……（1） 112211设A、B则

22AxCy2Dx2Ey2F0 ……（2） 2(1)(2)得A(x1x2)(x1x2)C(y1y2)(y1y2)D(x1x2)E(y1y2)0

∴∴

2Ax0(x1x2)2Cy0(y1y2)D(x1x2)E(y1y2)0 (2Ax0D)(x1x2)(2Cy0E)(y1y2)0

2Ax0Dy1y22Ax0D即kAB。（说明：当A→Bx1x22Cy0E2Cy0E2Ax0D）

2Cy0E∵2Cy0E0∴x1x2 ∴

时，上面的结论就是过二次曲线C上的点Px0,y0的切线斜率公式，即k22 推论1 设圆xyDxEyF0，的弦AB的中点为Px0,y0y00，则

kAB2x0D2xD。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为k0）

2y0E2y0E

推论2 设椭圆

x2a2y2b21的弦AB的中点为Px0,y0y00，则kABb2x02（注：。ay0对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为kAB

b2x02） ay0推论3 设双曲线

x2a2y2b21的弦AB的中点为Px0,y0y00则kABb2x02。（假ay0b2x0设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为k2）

ay0p推论4 设抛物线y22px的弦AB的中点为Px0,y0y00（则kAB。（假设点

y0

P在抛物线上，则过点P的切线斜率为kp） y0我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。

x2y21斜率为3的弦的中点轨迹方程。 例1、求椭圆

2516解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有316x+75y=0 (16x，故所示的轨迹方程为25y75241＜x＜

75241)

2222xy1相交于A、xy2x0例2、已知直线l与圆相切于点T，且与双曲线

B两点，若T是线段AB的中点，求直线l的方程。

解：设Tx0,y0y00，则由弦AB的斜率与中点坐标之间的关系得kAB设已知圆圆心为E，则E（-1，0），kET2x0， y0y0y0y01 ，∵AB⊥ET，∴

x01x0x0111132∴x0，∵T在已知圆上，∴y020，∴y0

2222∴kAB当

31x01yx 即x3y10  ∴直线的方程为

22y03y00时 则x02或x00，这时kAB不存在，方程为x2也符合题设，

综上得所求直线l的方程为x3y10,x2。

例3、已知椭圆

x2a2y2b21(a>b>0)A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴

a2b2a2b2相交于px0,0，求证：＜x0＜。

aa证明：设AB的中点为T(x1,y1)，由题设可知AB与x轴不垂直，∴y10， ∴kABy1a2y1 ∵⊥AB ∴kl2

x1a2x1ba2b2y1a2y1xx1 令y=0 得0y12xx1 ∴的方程为：yy12x1xbb1∴x1a2ab22x0 ∵|x1|a ∴

a2a2b2x0＜a

a2b2a2b2∴＜x0＜

aa例4、已知抛物线C：y2x，直线

l:yk(x1)1,要使抛物线C上存

在关于对称的两点，的取值范围是什么？

解：设C上两点A、B两点关于对称，AB的 中点为Px0,y0y00

11p1∴kAB2 ∴y0k∵P∈∴y0k(x01)1，

2y0y0k∴kk(x01)1， ∴x0 ∴p,k 1211k32k4∵P在抛物线内 ，∴k＜ ∴＜0

2k44k12121k121k12(k2)(k22k2)∴＜0， ∴2＜k＜0

4k

 （此文2008年在衡阳市教育教学论文评比中获一等奖，在《学习周报》2009年

第18期第10版发表。）