2015新人教版六下第五单元数学广角鸽巢原理 教案

第五单元 数学广角

鸽巢原理

【教学内容】 人教课标版教材六年级下册第五单元(68-71页)《数学广角》、

【教材分析】

1．例1及“做一做”。

例1借助把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔的情境，介绍了一类较简单的“抽屉问题”。为解释这一现象，教材呈现了两种思考方法：“枚举法“与“反证法”或“假设法”。

教学时，教师可适时引导学生对枚举法和假设法进行比较，并通过逐步类推，使学生逐步理解“抽屉问题”的“一般化模型”。 “做一做”中安排了一个“鸽巢问题”，学生可利用例题中的方法迁移类推。

2．例2及“做一做”。

本例介绍了另一种类型的“抽屉问题”，即“把多于kn个的物体任意分放进k个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k +1）个物体。”教材提供了把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书的情境。仍用枚举法及假设法探究该问题，并用有余数除法的形式7÷3=2……1表达出假设法的思路，并在此基础上，让学生类推解决“把8本书、10本书放进3个抽屉的问题”。

教学时，引导学生理解假设法最核心的思路是把书尽量多地“平均分”给各个抽屉。

“做一做”中“抽屉数”变成了4，要求学生在例2思考方法的基础上进行迁移类推。

3．例3。

例3是“抽屉原理”的具体应用，也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子。

教学时，先引导学生思考这个问题与“抽屉原理”有怎样的联系，可先让学生自由猜测、再验证。逐步将“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来，找出这里的“抽屉”是什么，“抽屉”有几个，再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。

【教学目标】

1. 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2. 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。 。

【教学重点】 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

【教学难点】 理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

【教学建议】

1． 应让学生初步经历“数学证明”的过程。

在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及到“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式进行“就事论事”式的解释。教学时可以鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。

2． 应有意识地培养学生[此文转于斐斐课件园 FFKJ.Net]的“模型”思想。

“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。但能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到问题中的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在关系是影响能否解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。

3． 要适当把握教学要求。

“抽屉原理”的应用广泛且灵活多变，因此，用“抽屉原理”来解决实际问题时，有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易。因此，教学时，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。

【课时安排】

1 抽屉原理例1—例3 2课时

第1课时

教学目标：

1.经历将一些实际问题抽象为代数问题的过程，并能运用所学知识解决有关实际问题。

2.能与他人交流思维过程和结果，并学会有条理地、清晰地阐述自己的观点。

3.进一步体会到数学与日常生活密切相关。

教学重点：分配问题。

教学难点：正确说明分配的结果。

教学准备：多媒体课件、扑克牌、盒子、铅笔、书、练习纸。

教学过程：

一、游戏激趣，初步体验。

师：我给大家表演一个魔术，一副牌取出大小王，还剩52张牌，你们5人每人随意抽一张，老师知道至少有2张是同花色的。相信吗？试一试

其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，想不想研究啊？

二、操作探究，发现规律。

（一）经历“抽屉原理”的探究过程，理解原理。

1、数学活动

把4枝铅笔放进3个笔筒中，可以怎么放？有几种情况？

学生思考各种放法。与同学交流思维的过程和结果。汇报交流情况。

学生口答说明，教师利用课件演示。

第一种放法： 第二种放法：

第三种放法： 第四种放法：

2、提出问题

不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么？ “总有”和“至少”是什么意思？

3、不用一一列举，想一想还有其它的方法来证明这个结论吗？

学生汇报了自己的方法后，教师围绕假设法，组织学生展开讨论：为什么每个笔筒里都要放1根小棒呢？请相互之间讨论一下。

小结：如果每个文具盒只放1枝铅笔，最多放3枝，剩下1枝还要放进其中的一个文具盒，无论放在哪个笔筒里，一定能找到一个笔筒里至少有2支铅笔。平均分才能将铅笔尽可能的分散，保证“至少”的情况，所以至少有2枝铅笔放进同一个文具盒。

4、初步观察规律。

师：现在我们不放铅笔了，放苹果。如果把5个苹果，放进4个抽屉里，不管怎么放，总有一

个抽屉里至少有（ ）个苹果？还用摆吗？结果是否一样？怎样解释这一现象？

如果把 6个苹果放进5个抽屉里呢？

把7个苹果放进6个抽屉里呢？……

100个苹果放进99个抽屉里呢？

教师引导学生进行比较：你发现什么？（苹果的个数比抽屉数多1，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个苹果。）

师： 你的发现和他一样吗？（一样）你们太了不起了！同桌互相说一遍。

5、看有关抽屉原理资料，让学生感受古代数学文化。

刚才我们发现的规律就是数学中一个很重要的原理叫做抽屉原理（板书课题）

“抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。 揭示课题

（二）进一步认识和理解“抽屉原理”。

1．数量积累，发现方法。

出示第68页做一做，5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？

让学生运用简单的抽屉原理解决问题。学生说出想法。

如果每个鸽笼只飞进1只鸽子，最多飞回3只鸽子，剩下2只鸽子还要飞进其中的一个鸽笼或分别飞进其中的两个鸽笼。所以至少有2只鸽子飞进同一个鸽笼。

在说理的过程中重点关注“余下的2只鸽子”如何分配？教师结合课件进行演示

2．深入探究，寻找规律。

刚才是苹果数比抽屉数多1的情况，现在鸽子数比鸽笼要多2，为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里”？

3．发现规律，初步建模。

我们将铅笔、鸽子看做苹果，笔筒、鸽笼看做抽屉，观察苹果数和抽屉数，你发现了什么规律？（学生用自己的语言描述，只要大概意思正确即可）

小结：只要物体数量是抽屉数量的1倍多（没有两倍），总有一个抽屉里至少放进2个的物体。

三、抽屉原理的应用

1、教学例2

（1）出示69页的例2：把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。如果一共有8本书会怎样呢？10本书呢？

（2）让学生思考、再小组内讨论：

A、该如何解决这个问题呢？

B、如何用一个式子表示呢？

C、你又发现了什么规律？

（3）汇报讨论结果，同时教师进行板书：

7÷3=2……1 2＋1=3（本）

8÷3=2……2 2＋1=3（本）

10÷3=3……1 3＋1=4（本）

（4）思考、讨论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”还是“商＋余数”呢？为什么？学生讨论得出正确的结论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”。

2．巩固应用

“做一做”

（1）11只鸽子飞回4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进3只鸽子。为什么？

在这道题中，可以把什么当作苹果？什么当作抽屉？ 学生完成解答。

想：每个鸽舍飞进2只鸽子，共飞进8只鸽子。剩下3只鸽子还要飞进其中的1个或2个、3个、4个鸽舍，所以，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。

（2）5个人坐4把椅子，总有一把椅子上坐2个人。为什么？

四、全课小结。

说一说：今天这节课，我们又学习了什么新知识？

（师生共同对本节课的内容进行小结）

第2课时 数学广角——鸽巢原理应用

教学内容：人教版小学数学六年级下册70页例3。

教学目标：

1、学会利用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

2、通过具体应用，加深学生对“抽屉原理”的理解。

3、进一步发展学生的推理能力，同时培养学生的“模型”思想。

教学重点：会用抽屉原理解决简单的实际问题。

教学难点：能找出问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”。

教法要素：

1.已有的知识和经验：通过例1、例2的学习，理解了抽屉原理。

2.原型：从4个红球和4个蓝球中摸出2个同色的球

3.探究的问题：

（1）从4个红球和4个蓝球中摸出2个同色的球，最少需要摸出几个球，才能保证有两个球是同色的？

（2）解决属于“抽屉原理”范畴的一系列简单问题的关键是什么？

教学过程：

（一）唤起与生成

师：“在上几节课的学习中同学们认识了抽屉原理，抽屉原理的应用千变万化，今天我们就利用抽屉原理解决生活中的简单问题。”

（二）探究与解决

1、探究一：出示问题：

从4个红球和4个蓝球中摸出2个同色的球，最少需要摸出几个球，才能保证有两个球是同色的？

（1）学生猜测。

（2）摸球验证。

使学生明确：球的颜色一共有两种，如果只摸两个球，会出现三种情况：两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球。如果再摸一个球，不管是红球还是蓝球，都能保证三个球中一定有两个同色的。

（3）引导学生利用抽屉原理来解释。“如何把“摸球问题”转化成“抽屉问题”？”

“把谁看做抽屉？”“把谁看做待分的物体？”

交流后师生小结：把两种颜色的球看作两个抽屉，把要摸出的球看作待分的物体，只要摸出的球（待分的物体）比两种颜色种数（抽屉数）多1，就能保证有两个球同色。

（4）继续延伸：

“如果球的颜色有三种，至少要摸出几个球，才能保证摸出的球里有两个同色？为什么？”

学生思考后交流。

得出结论：要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。

2、探究二：解决属于“抽屉原理”范畴的一系列简单问题的关键是什么？

当学生解决了例3后，教师要引导学生总结归纳解决这一类“抽屉问题”的一般方法。

师提出问题：“解决属于“抽屉原理”范畴的一系列简单问题的关键是什么？”

学生思考，小组交流、补充、讨论。

师小结：能否找出该问题中什么是“待分的物体”，什么是“抽屉”，是解决该类问题的关键。

(三)训练与应用

在知识形成的基础上，要通过一定数量的练习，进行训练，从而巩固内化知识，形成技能，提高能力。在这个环节中可安排了一下练习：

1、P70的做一做的第1、2题。

引导学生用抽屉原理来解释。例如“49名学生中一定有5人的出生月份相同”这个问题要把一年12个月看作12个抽屉，把49个学生放进12个抽屉，49÷12=4……1，因此，总有一个抽屉里至少有5（即4＋1）个人，也就是他们的生日在同一个月。

2、做练习十三的2—4题。

第2题，相当于把41环分到5个抽屉（代表5镖）中，根据41÷5＝8……1，必有一个抽屉至少有9（即8＋1）环。

第3题，把两种颜色当作两个抽屉，把正方体6个面当作物体，要把6个面分配给两个抽屉，6÷2=3，至少有3个面要涂上相同的颜色。

第4题中的第一个问题与例3的类型相同，只要想一共有3种颜色，至少拿出4根小棒就能保

证一定有2根同色的小棒。

(四)小结与提高

引导学生对知识、学习体会等方面进行回顾与小结。