向量基础知识及应用

基本知识：

1. 向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）； 2. 向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）；

3. 实数与向量的积λa. 向量共线的充要条件 ：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa。

4. 向量a和b的数量积：a·b=| a|·|b|cos，其中为a和b的夹角。 向量b在a上的投影：|b|cos，其中为a和b的夹角

a ⊥ b a·b=0

5. 向量的坐标表示: 0Axiyjx，y ; 若向量ax，y，则 |a|x2y2；

若P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则 Py2y1; 1P2x2x1， |P|=(x2x1)2(y2y1)2 1P2 6. 向量的坐标运算及重要结论： 若a =（x1，y1）, b=（x2，y2）, 则

abx1x2，y1y2 ② abx1x2，y1y2

ax1，y1 ④ abx1x2y1y

a//bx1y2x2y10 ⑥ abx1x2+y1y2=0

cos=

2x1x2y1y2x1y21 （为向量的夹角）

22xy22： P7. 点P分有向线段P1PPP2，或1P2所成的比的

P1PPP2 0; P外分线段P0. P内分线段P1P2时, 1P2时,

x8. 定比分点坐标公式： yx1x21 1 ， y1y21x1x2x2中点坐标公式： yy1y229. 三角形重心公式及推导（见课本例2）： 三角形重心公式：(x1x2x3y1y2y3,)

3310. 图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量a平移)，得到图形F`，我们把这一过程叫做图形的平移。

x`xh 或 xx`h 平移向量=

平移公式：aPP`=（h，k） y`ykyy`k应用：

1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题

例1已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1OP2OP30，OP1P2P3是正三角形 1OP2OP31，求证：P解：令O为坐标原点，可设P1,sin1,P2cos2,sin2,P3,sin3 1cos3cos由OP1OP2OP3，即cos1,sin1cos2,sin2cos3sin3 ① 3cos1cos2cos ②

sin1sin2sin3两式平方和为12cos1211，cos120010，由此可知12的最小正角为120，即OP1与OP2的20OP3的夹角为120，这说明P夹角为120，同理可得OP1与OP3的夹角为120，OP1,P2,P3三点均匀分部在一个单2与

位圆上，所以P1P2P3为等腰三角形.

例2 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角

的度数

解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y 轴建立直角坐标系，设A2a,0,B0,2a，则Da,0,C0,a， 从而可求：

AC2a,a,BDa,2a,cos4a244=. arccos.

55a25ACBDACBD2a,aa,2a

5a5a2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题

1BC例3已知ABC，AD为中线，求证ADAB2AC2

2222证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系，设Aa,b,Cc,0，D,0，则

2c2c2c2ADa0baca2b2，

422BC22. 1ABAC222221cc22222=abcababac， 24422从而AD22BC221BC1222ABAC. ，ADABAC22223．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量

例4 已知点O是ABC内的一点， AOB1500，BOC900，设OAa,OBb,OCc,且a2,b1,c3,试用a,和b表示c.

解：以O为原点，OC，OB所在的直线为x轴和y轴建立如图3所示的坐标系.

由OA=2，AOx1200，所以A2cos1200,2sin1200,即A-1-1，C3,0，设 ，,3，易求B0，-1321-3OA1OB2OC,即-1，310，-123,0，，1.

3-12-31a3bc.

3

例5 如图，

OAOB1,OA与OB的夹角为1200，OC与OA的夹角为300,OC5，用OA，OB表示OC.

解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A1,0，

535， 由COA30，所以C5cos30,5sin30,即C2，200013 同理可求B2,253513 OC1OA2OB,即，11，02-,2222531031-21123 2，.535322232OC10353OAOB. 334．利用向量的数量积解决两直线垂直问题

例6 求证：三角形的三条高交于同一点

[分析]如图，已知ABC中，由ADBC,BEAC，

ADBEH,要证明CHAB,利用向量法证明CHAB，只要证得CHAB0即可；证明中，要充分利用好

AHBC0，BHCA0这两个条件.

证明：ADBC,H在AD上，AHBC0而 AHCHCA，(CHCA)BC0，即

CHBCCABC0 ①

又BHAC,BHCHCB，BHAC0即(CHCB)AC0

CHACCBAC0 ②

①-②得： CHBCCHAC0， 即CHBCAC0 从而CHBA0，CHAB， CHAB.

5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的 距离，线到面的距离，面到面的距离.

例7 求平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式

[分析]已知点A(x1,y1),B(x2,y2)求A,B两点间的距离|AB|,这时，我们就可以构造出向量AB，那么

AB(x2x1,y2y1),而|AB||AB|，

根据向量模的公式得|AB|(x2x1)2(y2y1)2，从而求得平面内两点间的距离公式为

|AB|(x2x1)2(y2y1)2.

解：设点A(x1,y1),B(x2,y2) ，AB(x2x1,y2y1) |AB|(x2x1)2(y2y1)2 ,而|AB||AB|

点A与点B之间的距离为：|AB|(x2x1)2(y2y1)2 6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 例8 证明: cos()coscossinsin

分析：如图，单位圆上任取两点A,B,以Ox为始边，OA,OB为终边的角分别为,，设出A,B两点的坐标，即得到OA,OB的坐标，则为向量OA,OB的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证.

证明：在单位圆O上任取两点A,B，以Ox为始边，以OA,OB为终边的角分别为,，则A点坐标为

(cos,sin),B点坐标为(cos,sin)；

则向量OA(cos,sin),OB(cos,sin)，它们的夹角为，

|OA||OB|1,OAOBcoscossinsin,由向量夹角公式得：

cos()OAOB|OA||OB|coscossinsin,从而得证.

注：用同样的方法可证明cos()coscossinsin 7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.

例9 证明柯西不等式(x1y1)(x2y2)(x1x2y1y2)2

2222 证明：令a(x1,y1),b(x2,y2)

当a0或b0时，abx1x2y1y20，结论显然成立； 当a0且b0时，令为a,b的夹角，则[0,]

 abx1x2y1y2|a||b|cos. 又|cos|1  |ab||a||b|（当且仅当a//b时等号成立）

|x1x2y1y2| 22x1y1x2y2

222222 (x1y1)(x2y2)(x1x2y1y2)2.（当且仅当例10求ysin2x2sinxcosx3cos2x的最值

x1x2时等号成立） y1y2解：原函数可变为y2sin2xcos2x，所以只须求ysin2xcos2x的最值即可，构造

asin2x,cos2x,b1,1，那么 sin2xcos2xabab2.

故ymax22,ymin22.