回归：一种重要的数学教学策略

《教学与管理》　２００８年１月１日　一、什么是回归　ｉ直观的几何图形或图像的性质，这样就能使学生的认　回归，汉语大辞典的解释是，“回还，返回”。而在ｆ识从一个较低的层次上升到一个更高的层次。　西方，回归最早来自拉丁文Ｆｅｅｕ￣ｅｒｅ（跑回来），它由ｉ　再次发生（Ｆｅｅｕｒ）的词义而来。　　一２．回归是为了更好地把握数学对象的本质　之所以要从当前的知识回到该知识所由产生的　布鲁纳指出：“如果没有回归性，任何关于思想的ｉ知识点——知识的生长点（它通常是一种原始的知　理论都是无用的”，“一门课程在它的教学进展中，应ｆ识）上去是因为。　反复地回到这些基本观念，以这些观念为基础，直到Ｉ　一方面，它可以加强与已有知识之间的内在联　学生掌握了与这些观念相适应的完全形式的体系为ｆ系。杜威指出，“有时思想的纷繁的相续，常常会使思　止。”　ｌ考者离开出发点十分遥远，以致不能回溯到那出发　Ｉ，回归是为了更好地抽象　点，但细细根究起来，总是有一个直接经验的情境在　抽象是为了使学生的认识从一个较低的层次提：背后，是你所施的、所受的、所享的、所忍的，而决不单　高到一个较高的层次，但是抽象既不能凭空进行，也ｊ是所想的。思维即为此情境而起。”这里的情境就是知　不能单纯以抽象为目的。抽象必须有一个赖以产生的１识的生长点，让思维回归到知识的生长点上去不仅可　基础，否则抽象就只能是空中楼阁。这样，在进行教学『以使这一知识更好地固定在已经熟悉的知识点上，加　时就应该准确把握学生认识的起点，然后再从起点开：强与已有知识之间的内在联系，缩短与已有知识点之　始进行抽象：事实上，数学学习的过程就是通过不断『间的联系路径，减少信息提取的时间，有助于知识更　回归而达到不断抽象的过程，认识向前发展的过程中ｌ好地被保持。同时，它还可以丰富由知识生长点所构　需要时时回首返颐，为了认识新知识需要首先复习巩Ｊ成的概念网络，建立更为丰富的意义家族相似网络，　固旧知识，为了同化新知识需要首先整理旧知识，为ｌ从而达到深化理解之目的。它可以避免由于思维序列　了顺应新知识需要首先改造旧知识，数学学习就是这Ｉ过长或思维层次比较复杂而导致的思维困难。　样以核心概念或大观点为核心不断回归、不断扩大并Ｉ　另一方面，它可以促进对数学对象本质的更好把　最终形成丰富概念网络的过程。“这就好比搞建设，从　握。著名哲学家胡塞尔明确指出，“为了获得比较可靠　基础上建设一层，就会发现基础需要加固一层。加固ｌ的知识，显然需要进一步的还原，在自明的直观所给　后再往上建设一层，又需要重新回过头来加固基ｉ予的东西中区别出某种东西，这种东西的存在是绝对　础……，如此循环往复，不断上升，而由于顶端总是Ｉ可靠的、无可置疑的。在这意义上，只有一种自明的、　开发的、发展的，因此基础的加固也是无限扩大的，这　具有必然性真理的东西才能满足更为确定的知识的　样的循环往复不断，以至无穷。”　Ｉ需要。”事实上，知识的生长点不仅是一切知识得以产　比如函数的单调性、奇偶性虽然属于代数问题，１生的起点以及建构其他知识的知识基础，而且知识的　但如果仅仅局限于代数领域，学生可能虽有抽象感　生长点本身又内涵着事物的本质以及揭开事物本质　（感到抽象），但却未必能实现抽象化。但是我们在进ｌ的钥匙。因此，只有尽量回归到知识产生的生长点才　行教学时如果能将其看作是几何问题的代数化，即首』能真正认识由它所构成的知识的本质。　先将其还原为几何问题——对图形和图像的研究，把ｌ　二、怎么回归　单调性看作是对图像上升（或下降）趋势的研究，而把。　通过反思！反思是立足于一个较高的层次或从一　＿千偶性看作是对图形对称性的研究，然后再通过抽象ｆ个较高的观点出发来对研究对象、研究过程甚至是研　化从几何问题上升为代数问题，即用代数语言来描述ｌ究者自己的思维过程进行思维的一种活动。　・４９・　维普资讯 http://www.cqvip.com

钟志华：回归：一种重要的数学教学策略　回归之所以需要反思，这是因为反思在回归性概Ｉ　分析：观察题中的已知条件　＝。ＩＮＮ　ＡＩ＝１，如果　念中是决定性的。小威廉姆Ｅ・多尔认为，“在回归中，ｌ　反思发挥积极作用；因为思想要返回到自身，如杜威｝　联想到抛物线的定义，则可以发现点Ｍ、Ｎ在某一抛　的间接经验返回到直接经验，或者皮亚杰的内省智力‘　物线上，而Ｍ、Ｎ同时又在以ＡＢ为直径的半圆上，故　返回到实用智力，或者如布鲁纳所言的‘从自已所做ｌ　点Ｍ、Ｎ就是抛物线与半圆的交点。这样原来的问题　的事中退后一步’，那么以某种方式区分自己与自己｛　就可以通过建立坐标系表示出ＩＡＭＩ、ＩＡＮＩ并通过计算　的思想——是必要的。”事实上，回归本身不是目的，Ｉ　来解决。（点评：这里通过回归定义发现了解题的思　回归的目的是为了更好地抽象化，如果不能实现抽象ｌ　路）接着再考察要证的结论ＩＡＭＩ＋ＩＡＮＩ＝ＩＡＢＩ，发现这三　化，那么回归只是一种消极的回归，只能在原地徘徊，１　条线段都有一个公共端点Ａ，故联想到极坐标的定　只能在低水平上重复。而要实现回归则需要立足于一｛　义，即它们可以看作是从焦点出发的三条线段，这样　个较高的层次或从一个较高的观点　发来对研究对：　就可以通过建立极坐标系来证明结论　（点评：这里再　象、研究过程甚至是研究者自己的思维过程进行思Ｉ　次回归定义，它为我们选择合适的坐标系提供了很好　维，即通过反思才能实现。可以说没有反思，回归将失｝　的定向作用）　去灵魂，将失去其价值，回归就会变得肤浅并将最终ｌ　解：如图１，设圆的半径为ｒ，抛物线的焦距为ｐ，则　退化为重复。为了更好地说明这一点，下面介绍几个　ＡＴ＝　ｐ，由题意点Ｍ、Ｎ在抛物线上，利用抛物线定　例子。　　ｌ１．回到定义　１　义得ｐ＝　一，再根据点Ｍ、Ｎ在半圆上可得ｐ－－　Ｉ—ＣＯＳ仃　回到定义去是一种重要的教学策略。一些著名数ｌ　２ｒｃｏｓｆ￣，代入化简得：ｐ２＿２ｒｐ＋２ｒｐ－Ｏ，最后再根据韦达　学家，如帕斯卡（Ｐａｓｃａ１），阿达玛（Ｈａｄａｍａｒｄ）、波利亚ｌ　定理得ｐ．＋ｐ２＝２ｒ　ｆＰｏｌｙａ１，都曾注意到并对它的意义给予了高度的评ｆ　价。波利亚在其所著的《怎样解题》中指出，“回到定义ｆ　上去是一项重要的思维活动，这是因为数学学习的本一　质不仅仅在于文字和符号的掌握，更重要的在于文字　符号告诉我们的思想，以及这些思想所依据的生成思ｉ　想的事实。通过回到定义上去，我们就可以寻求掌握ｌ　隐藏在专业术语后面的数学对象间的真正联系。……：　而不至于轻易为文字所愚弄。”帕斯卡认为，“回到定｝　义上去对于检验一个论证的有效性是重要的”，他提ｊ　出了这样一条规则：“在心里用定义中的事实来代替！　被定义的术语”。阿达玛也强调，“回到定义上去对于ｉ　在备课中我们常常发现，在进行某些知识的教学　思索出一个论证很重要。”　Ｉ　时，有些教师往往有自己偏好的原型或实例。如用“幸　回到定义去也是一些有经验的教师经常采用的ｉ　运５２”游戏来引入二分法，用“多米诺骨牌”游戏来理　一种教学策略，这一策略的运用往往可以在Ｉ　ＪＩ重水复　解数学归纳法，用对号入座来理解映射概念，用寄信　之时突现柳暗花明。尽管使用这一教学策略的人未必】　来理解函数概念，……。不仅如此，在教学过程中他们　知道其所以然，但如果能认识到这一策略的本质却可ｉ　还经常嗣绕这些原型或实例来展开教学，他们往往会　以更加理性地运用它　事实上，从前面的研究不难发｛　自觉或不自觉地回归到这些原型或实例上来，这实质　现，“回到定义去”这一策略的实质就是首先回归定Ｉ　上是回归性策略的不自觉地运用。　义——知识的生长点，然后再从定义出发顺藤摸瓜去Ｉ　比如有一位教师在进行映射这一概念的教学时　探索所要解决问题的答案。为了更好地理解这一策　首先就提出了这样一个问题：“到教室去上课，学生与　略，我们来看一个具体例子　教室之间能不能建立对应关系呢？”，在解释“对集合　例１：Ｔ是半圆Ｏ的直径ＢＡ延长线上一Ｉ　．　ｆ　Ａ中的任何一个元素都有唯一的一个元素和它对应”　点，｝ＡＴＩ＜￣一ＩＡＢＩ，直线Ｌ过Ｔ目．垂直于直线ＡＢ，又１　这句话时，他义举了到教室去上课这一例子．他说：　斗　Ｍ、Ｎ是半圆上的不同两点．ＭＰ上Ｌ于Ｐ，ＮＱ上Ｌ于，　“这句话在我们的生活当中是什么意思呢？对，就是每　一Ｑ，且　＝　－ｌ，求证：ｌＡ　Ｍｌ＋ｌＡ　Ｎｌ　ＡＲ　　ｌ　Ｉ个人都要有教室而且是唯一的教室上课，而不能在　太阳底下晒着”。而在解释“任何一个元素都要有唯一　・５０・　维普资讯 http://www.cqvip.com 钟志华：回归：一种重要的数学教学策略　的像”这句话时，他再次举了去教室上课的例子，他ｌ　进知识的发生和生长　事实卜，之所以要回归到核心　说：“所谓唯一的像就是说在同一时间一个人只能在ｌ　观点和核心概念还　为：　一个教室上课，而不能既在这个教室又在别的教室上ｌ　其一，核心概念或大观点具有更大的包摄性。其　所包含的结构（尤其是下位概念）通常比较丰富，以核　课，除非这个人是孙悟空，有分身术…”。在讲到“集合’　心概念或大观点作为认知根源可以使所建立的认知　Ｂ中的元素的原像可能不止一个”这句话时，他仍然ｌ　采用上课的例子，他说：“还以到教室上课来比喻，大｝　结构更加丰富，这将大大增强这一知识结构在解决问　家都知道，一般来说，同时在同一个教室上课的学生ｉ　题过程中的迁移能力。　往往不止一个，如果果真是那样的话，效率就太低了，Ｉ　其二，知识之中蕴含着方法，而越是核心的概念，　这种情况在过去的私塾学堂可能会出现。”在讲到“集ｌ　往往所蕴含的方法越具普适性。比如方程和函数作为　代数中的最核心的概念，它们蕴含了统摄性极高的方　合Ｂ中每个元素都有原像”这句话时，这位教师依然ｌ　采用上课的例子，他说，“这就好比在一个学校里每一　程思想和函数思想。再比如极限概念是微积分的最基　本概念（同时也是最核心概念），其中蕴含了极其重要　个教室都有人在上课，而没有教室空着，这样，教室就ｌ　的极限思想方法。这样，以核心概念或大观点作为认　可以被充分利用了。”而在说明什么是一一映射时，这｝　位老师依然采用的上课的例子，他说：“这个一一映射｛　知根源就可以使所构建的认知结构具有更强大的功　能。可以说，以核心概念或大观点为认知根源来构建　呢？就好比是满勤，即在一个教室里每个人都有唯一：　座位可坐，同时教室里也没有空位置，这时学生和座ｌ　概念网络可以达到“一览众山小”的效果。　位之间就建立了一一对应的关系。”像这样的教学，白ｌ　其三，以核心概念或大观点作为认知起点又是人　始至终都围绕坐位子这一认知原型，既贴近学生生Ｉ　类探索本能的充分体现。人类具有探究事物奥秘的天　活，又可以很好说明映射的有关概念，而且语言风趣ｌ　性，总喜欢追根究底，弄清事物的本质，而事物的本质　幽默，可以收到很好的教学效果．　　ｌ往往要通过核心概念或大观点表现出来。　事实上，很多数学概念都有其得以产生的原型，ｌ　比如代数学的许多问题最终都可以追溯到对函　数学概念通常是在这些原型基础　通过不断的抽象－　数这一核心概念的研究上来。可以说，代数学中的许　多问题都可以统一在函数这一核心概念之下，换句话　而提炼　来的。［天Ｊ此，在数学教学【｝ｌ，我们应该善于利ｌ　说，代数学中许多概念的学习都可以将函数概念作为　用原型、从原型出发来设计教学活动过程以便让学生ｌ　通过抽象产生数学概念。　３．回到核心概念、大观点　认知根源。反之，如果仪仅局限于单个的数学概念的’　ｌ　：　把握则往往很容易使人产生“不识庐山真面目，只缘　参考文献　『１１汉语大辞典（三）．上海辞书出版社，６１８．　知识的产生决不是凭空而来的，它需要一定的认ｌ　身在此１．ｈ中”的尴尬。　知基础或生长点：奥苏贝尔有句名言：“假如让我把全ｆ　部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么，我将！　一言以蔽之口：影响学习的唯一最重要的因素，就是ｌ　『２ｌｌ美¨、威廉姆Ｅ・多尔．后现代课程观．北京：教　『美１布鲁纳．教育过程．邵瑞珍译．北京：文化教　学习者已经知道了，什么。要探明这一点，并应据此进ｌ　育科学出版社，钟启泉译．２００３，１．２５２．　行教学。”　ｊ　约翰・布兰斯福特研究发现，“专家的知识　仅仅。　育出版社，１９８２，１１．３３．　是对相关领域的事实和公式的简单罗列，相反它是同；　他们去思考自己的领域。”根据这一研究他提出，“教】　『４】张奠宙等．数学教育学．南昌：江西教育出版　『５１杜威．思维与教学．孟宪承，俞庆棠译．北京：商　『６『美１Ｇ・波利亚．怎样解题．涂泓，冯承天译．上海：　社，１９９１，１１．１１５．　绕核心概念或‘大观点’来组织的，这概念和观点引导Ｉ　学要围绕‘大概念’或‘大观点’来联系和组织，……有｛　务印书馆，１９３６．８８．　效的学习要求教师必须了解他们所教学科的结构（贯｝　的作业，来评价学生的进步。”这一研究结果与上面所：　上海科技教育出版社，２００４，３．９３．　穿于其中的思想），并以此作为认知路标来指导学生ｊ　ｆ７１奥苏贝尔．教育心理学——认知观点．余南星，　提到的回归性策略不谋而合，回归的目的是回到知识ｌ　宋钧译．北京：人民教育出版社，１９９４，７．　所产生的生长点，并从此出发产生和发现新的知识。ｉ　『８１『美１约翰・布兰斯福特等．人是如何学习的．程　可拉等译．上海：华东师大出版社，２００３．　而核心概念和“大观点”正是知识得以产生的重要生Ｉ　长点，回０　｛到核心概念或“大观点”正是为了更好地促：　（责任编辑刘永庆）　・５ｌ・