……－ＳＤＦｎ＿＾ＲＩⅡ咖加Ｐ■Ｅ＿Ｔ＆＾ＰＰＵＣ硼０＿…………………………………………………………………… － 基于高级语言编程利用差分法解边值问题 张哲珲，赵洪伟，顾永铮 （中国矿业大学（北京）理学院，北京１０００ＯＯ） 摘要：很多物理化学等方面的科学研究都需要解微分方程，所以需要利用数学知识探究相应的解。数学的特点 在于严密的逻辑推理与抽象的思维描述，而高级语言编程更加强调思路的总结与归纳还有算法的具体设计。在数 学中使用的更多是公式语言，把一整个复杂的计算过程简化成几个计算公式，更加注重过程的推导而往往忽略了 实践。以差分法解边值问题为例，把数学思想与Ｍａｔｌａｂ代码以及Ｃ语言相结合。通过编写Ｍａｔｌａｂ代码锻炼学生的 提炼能力与逻辑思维，之后再进一步引入ｃ语言，通过学生的编程实践，把数学与ｃ语言结合起来，以达到融会贯 通的目的。 关键词：边值问题；Ｍａｆｌａｂ语言；Ｃ语言；案例教学 微分方程的很多问题归结到最后很多都是固定的计算方 法．所以理论上所有的算法都可以对应着数学问题。数学方 以下三对角矩阵： ＣＩ 廿２ ０Ｃ２ ・・ 。 Ｏ ０ ０ Ｏ Ｏ Ｏ 法是解决很多问题最根本最有效的途径，也是计算科学中的 根本。这就体现出编程与数学结合之后实用性是非常大的。 而且两者在根本思路上是相通的，数学解题的过程实际上也 是算法的逐步实施的过程。 有限差分法在实际使用中应用广泛，需要能熟练地掌握 使用的方法。通常更加注重算法思想的学习，但是就忽视了 Ａ ０ ： ● 也 一 ： ● Ｏ Ｏ Ｏ ： ● ０ ０ ０Ｏ ・・ ａ，卜Ｉ ｂｎｔ ｃ”ｌ 一Ｏ Ｏ －． ０ 设矩阵Ａ非奇异．Ａ有Ｃｒｏｕｔ分解Ａ＝ＬＵ．其中Ｌ为下三 角矩阵．Ｕ为单位上三角矩阵，记 ０ ｏ ．．口： ０ ａ３ ０ …０ ０ ０ ｏ ０ ０ １ ０ １ Ｏ ０ ０ Ｏ 学习的目的。以至于一直着重于讲述其数学原理，而忽视了 让学生动手实践的重要性。在数值代数的教学中，很多教师 都是主要从事数学工作的，所以更加注重整个数学框架的培 养，说起实践方面则还有提升的余地。 Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ １解边值问题的理论推导 １．１问题的提出 使用有限差分法解决二阶常微分方程边值问题： ０ ０ ０… １ ０ ０ ０ ０ Ｏ ０ ０ ・０ Ｙ ｌ ０ ０ ０…ａ ｐ ．．… ｌ 可先依次求出Ｌ，Ｕ中的元素后，令Ｕｘ＝ｙ，先求解下三 角方程组Ｌｙ＝ｆ得出Ｙ，再求解上三角方程组Ｕｘ＝ｙ。 事实上，求解三对角方程组的２追赶法将矩阵三角分解 ｊ厦 ｌ一 十‘ （ Ｈ：０．一１＜ｘ＜１ ＋２）‘ ｌ ”（＿１）＝１，Ｈ（１）＝ ，、 的计算与求解两个三角方程组的计算放在一起．使算法更为 紧凑。在具体计算中：右侧项ｆ（１）一１，ｆ（ｎ）＝一ｌ／３。具体方 １ （该问题真解为：） 求出近似解。 １．２有限差分法的使用 Ｊ 步长ｈ待定，利用差分法 法为： Ｃ ＿Ｌｔ ｌ Ｌ ｘ，ｌ。ｉ＝２，３．…，＂ 。ｃ．有限差分法在实际使用中应用广泛，其主要作用是解决 ＝口 ： ｐｉ＝ｂ 一ｎ ． 微分方程的定解问题。在有限差分法中把一个连续的定义域 分割成一系列的有限个离散点，一般将这些离散点称为图像 的节点。确定好节点之后即可以用节点上的离散变量函数逼 近原来的定解区域上定义的连续的函数。用差商去近似原方 ｘ ｙ 对ｉ＝ 一ｌ，”一２，．一，１ ｘ ｙ 一ｙ Ｍ 程和定界条件中的微商，用积分和去近似原来所求的积分。 最终将原微分方程和定解条件以代数方程组，即有限差分方 １．３数学解法特点归纳 （１）抽象陛 收稿日期：２０１５—０３—２４ 程组来近似。在解出这个方程组之后就得出了原问题在离散 点上的近似解。在具体使用过程中，ａ（ｉ），Ｃ（ｉ）都为１，ｂ（ｉ） 一（２＋（２ （ｈ＾２））／（（ｊｉｅ（ｉ）＋２） ２）），把计算都解出的矩阵代入 。 。 。 实用第一 智慧密集 ． ．．．． ．…。。 。．…．。。。。 。．． 。。 … … … … … 表２步长取０．０１ 数值解 精确解 Ｉ数值解一精确解Ｉ１０ －０＿８ ０．８３３３３８０ｌＯ６２４４９２ ０．８３３３３３３３３３３３３３３ ０．４６７７２９１１５８１６１６２ －０．６ ０．７１４２９１８５９０３９７８９ ０．７１４２８５７１４２８５７１４ ０．６１４４７５４０７４６７７２９ —０－４ Ｏ．６２５０ｏ６２９３５８９ｌ９ｏ ０．６２５Ｏ０ｃ００（）０００ｏｏｏ ０．６２９３５８９１８９７９８６１ －０．２ ０．５５５５６ｌ４０ｌ３４２３９８ ０．５５５５５５５５５５５５５５６ ０．５８４５７８６８４２４８４３８ ０ ０．５００００５ １０６４６３５４７ Ｏ．５０Ｄｃ００Ｄ００ｏ０００００ ０．５１０６４６３５４７０１ １０５ ０．２ Ｏ．４５４５４９６６８２６９６７３ ０－４５４５４５４５４５４５４５５ ０．４２ｌ３７２４２ｌ８８２６７ｌ Ｏ．４ ０．４１６６６９８９９４５９０３４ ０．４１６６６６６６６６６６６６７ ０－３２３２７９２３６７３５８Ｏ７ ０．６ ０．３８４６１７５７９６２４３４４ ０．３８４６ｌ５３８４６１５３８５ ０－２１９５００８９５９１４９３７ ０．８ ０＿３５７１４３９７２３６５０ｏ１ ０．３５７ １４２８５７１４２８５７ ０．１ｌ １５２２２ｌ４４０７６８９ 表３步长取０．００２ 数值解 精确解 Ｉ数值解一精确解［１０ －０．８ ０．８３３３３３５２Ｏ４４３５８５ ０．８３３３３３３３３３３３３３３ ０．１８７ｌ １０２５１６２５９８８ －０．６ ０．７ ｌ４２８５９６０Ｄ９７２２２ ０．７１４２８５７１４２８５７１４ ０．２４５８ｌ１５０７９２６２４１ —０．４ ０．６２５０００２５１７６３４７１ ０．６２５０【）ｏ０ｏＯ００００００ ０．２５１７６３４７０６２６７２０ －０．２ ０．５５５５５５７８９４０４２４８ ０．５５５５５５５５５５５５５５６ ０－２３３８４８６９２８５４３６６ ０ ０．５ｏ（）Ｏｏ０２Ｏ４２７２７７８ ０．５ＯＯ００Ｃ０【）∞０ＯＯ００ ０．２Ｏ４２７２７７８３５９１０５ ０．２ ０．４５４５４５６２３１０５６９０ ０．４５４５４５４５４５４５４５５ ０．１６８５６ｏ２３５３８Ｏ６９９ Ｏ－４ ０．４１６６６６７９５９８６７１ ｌ ０．４１６６６６６６６６６６６６７ ０．１２９３２００４４７２８３２０ Ｏ．６ Ｏ＿３８４６１５４７２４２１２６６ ０．３８４６１５３８４６ｌ５３８５ ０．０８７８０５８８１５１０１３９ ０．８ ０．３５７１４２９０ｌ７５４５Ｏ１ ０．３５７１４２８５７１４２８５７ ０．０４４６１ ｌ６４３８７９０３３ 图３不同步长时的误差曲线 ２．５．３分析与结论 （１）表１表２和表３给出了取步长０．０２，０．Ｏ１，０．００２时 计算得到的部分数值结果，数值解很好地逼近精确解．而且 随着计算步长的减小，误差越来越小，数值结果越来越精确． 而且误差都是成十倍缩小。若是在实际应用中，把步长充分 减小，那么就能够达到与精确解的误差取到极小的效果，这 对实际应用有很重要的作用。 （２）从图３中可以看出，此方程存在误差值的极大点， 所以在没有确定精确解的时候，或许可以通过相关的计算． 得到误差的分布规律。同时可以看出误差的数量级均符合要 求，数值解很好地逼近了精确解。从而说明差分格式解是存 在的、稳定的。 （３）误差的大小还和方程有关系，当方程光滑性质比较 好时，用差分格式得出的数值解会更精确．因为从图３中可 以看出，在图像斜率大时，误差也随之变大，最左边误差小 是因为靠近已知点。由上面误差图可以看出数值解基本与精 确解符合，误差在所能允许的范围内，所以建立的差分方程 是正确的 ３ Ｃ语言的引入与应用 ３．１定义 Ｃ语言是一门通用计算机编程语言，应用广泛。Ｃ语言的 设计目标是提供一种能以简易的方式编译、处理低级存储器、 产生少量的机器码以及不需要任何运行环境支持便能运行的 编程语言。作为信息与计算科学的必学知识，Ｃ语言可以应用 在很多的领域，而且可以利用它进行数值代数中的计算。 ３．１．１ Ｃ语言的教学方向 Ｃ语言是高等院校的计算机专业学生的必修科目，甚至很 多非计算机专业的学生都要学习。Ｃ语言特别强调逻辑性，需 要考虑问题周密，同时注重动手实践。更加着重于培养学生 的逻辑思维以及算法设计理念。因此在学习中要尤其重视实 践课程，所以相关的课时也在教学中占很大比重。所以应该 在不影响理论教学的基础上．让学生更多地去自己实践所学 的算法，从而激发学生的学习兴趣，提高学生的动手能力， 真正实现综合素质的提升。 谈到编程，很多教师都没有对Ｃ语言有过很多的研究。 而且考虑到学生的Ｃ语言基础参差不齐。在教学中更多的是 拿使用简便的Ｍａｔｌａｂ来编程，而学生在上机时间课上也是用 Ｍａｔｌａｂ。但是应该考虑到其中存在的几个问题： （１）学生在学习数值线性代数时往往要同时学习，或者是 已经学过Ｃ语言甚至Ｃ＋＋。而在Ｍａｔｌａｂ中，数组的计数，循 环的写法，变量以及矩阵的定义方式和表示方法都与Ｃ语言各 不相同。如果与Ｃ语言结合教学，可以进一步强化学生对相关 命令的理解，为今后Ｊａｖａ，ｐｈｐ等语言的学习铺平道路。 （２）Ｍａｔｌａｂ是收费使用的。而且软件本身体积臃肿．安 装困难，无异于增加了别的不必要的时间成本。而Ｃ语言具 有多平台通用，免费开源的特点。而且利用了已经学习过的 知识，充分利用已有软件。 （３）Ｃ语言在其专业课的学习中更加注意基础语法的学 习而往往不涉及其高阶的应用，如果能在数学计算方面充 分利用Ｃ语言。则能极大程度上提高学生对编程学习的积 极性。 （４）数学的学习往往是于其他学科的，也就是说学 生所学的数值计算技巧在当下很少能在物理学等学科上用到。 ｃ语言的应用可以缓解这样的感觉，真正实现学以致用。 ３．１．２ Ｃ语言教学中问题 （１）学生普遍认为Ｃ语言的学习及其单调无趣。要知道 兴趣才是学习进步最根本的方法，这样的现状让很多学生都 不去静下心来持续地钻研编程，更不用说实现学以致用了。
