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2014年中考数学压轴题精编--浙江篇(试题及答案)

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2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

x＋1，点C的坐标为（－4，0），4平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．

y （1）写出点M的坐标；

（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时． Q ①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； ②当梯形CMQP的两底的长度之比为1 :2时，求t的值． M B A

x P C O 1

1．（浙江省杭州市）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y＝

1．解：

（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB＝OC＝4

∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴A，B的横坐标分别是2和－2 12

x＋1，得A（2，2），B（－2，2） 4∴M（0，2） ····························································· 2分

代入y＝

y Q （2）①过点Q作QH⊥x轴于H，连接CM 则QH＝y，PH＝x－t

yxt，即t＝x－2y ＝

2412

∵Q（x，y）在抛物线y＝x＋1上

412

∴t＝－x＋x－2 ······················································ 4分

2由△PHQ∽△COM，得：

B 1 M A H x P C O 1 当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t＝－4，解得x＝1±5 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝±2

∴x的取值范围是x≠1±5且x≠±2的所有实数 ···················································· 6分 ②分两种情况讨论：

ⅰ）当CM＞PQ时，则点P在线段OC上

∵CM∥PQ，CM＝2PQ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍即2＝2(∴t＝－

x＋1)，解得x＝0 4

×0＋0－2＝－2 ····························································································· 8分 21PQ，∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍 2ⅱ）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上 ∵CM∥PQ，CM＝即

x＋1＝2×2，解得：x＝±23 ········································································· 10分 4

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2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

当x＝－23时，得t＝－当x＝23时，得t＝－

21×(－23)－23－2＝－8－23 221×(23)＋23－2＝23－8 ········································· 12分 2 2．（浙江省台州市）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段．．AC于点M，K．（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK_______MK（填“＞”，“＜”或“＝”）．②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK_______MK（只填“＞”或“＜”）．

（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK_______MK，证明你所得到的结论．（3）如果MK2

MK ＋CK ＝AM ，请直接写出∠CDF的度数和AM的值． E E F K C C (F,K)

M B M A D

A D

图1

图2

F C E F C K K E A (M)

M A

2．解：

图3

图4

（1）①＝ ②＞ ······································································································· 4分（2）＞ ·························································································································· 6分证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK、GM、GD 则GD＝CD，GK＝CK，∠GDK＝∠CDK E ∵D是AB的中点，∴AD＝CD＝GD G F C ∵∠A＝30°，∴∠CDA＝120°

K ∵∠EDF＝60°，∴∠GDM＋∠GDK＝60° M B

∠ADM＋∠CDK＝60°

∴∠ADM＝∠GDM． ···································································································· 9分又∵DM＝DM，∴△ADM≌△GDM，∴GM＝AM

∵GM＋GK＞MK，∴AM＋CK＞MK． ······································································ 10分（3）∠CDF＝15°，

MK3AM＝2． ············································································ 12分 2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

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3．（浙江省台州市）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

B （1）求证：△DHQ∽△ABC；

P （2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

E （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

Q 3．解：

（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB， ∴∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA

∴∠HDQ＝∠A． ·········································································································· 3分 ∴△DHQ∽△ABC． ····································································································· 4分（2）①如图1，当0＜x≤2.5时

C H A ED＝10－4x，QH＝AQ²tan∠A＝此时y＝当x＝

3x 4133215(10－4x)²x＝－x＋x ····································································· 6分

B 2424575时，y最大＝ ····························································· 7分 432

P E D Q C H （图1）

②如图2，当2.5＜x≤5时

3ED＝4x－10，QH＝AQ²tan∠A＝x

4133215此时y＝(4x－10)²x＝x－x ······································ 9分

2424

A 当x＝5时，y最大＝

75 4

32152x4x（0＜x≤2.5）

∴y与x之间的函数解析式为y＝

3215xx（2.5＜x≤5）

42

B P D E Q C H （图2）

75y的最大值是． ··································································· 10分

4（3）①如图1，当0＜x≤2.5时

QA5若DE＝DH，∵DH＝AH＝＝x，DE＝10－4x

cosA4

A ∴10－4x＝

0x，∴x＝ 421显然ED＝EH，HD＝HE不可能； ············································································· 11分 ②如图2，当2.5＜x≤5时

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0x，∴x＝； ······························································· 12分 411若HD＝HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x＝5； ········································ 13分

若DE＝DH，则4x－10＝

若ED＝EH，则△EDH∽△HDA

5x4x10EDDH3204∴，即，∴x＝ ························································ 14分＝＝52xDHAD103x4∴当x的值为

4040320，，5，时，△HDE是等腰三角形． 2111103

4．（浙江省温州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD＝AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；

（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后

B1 F B 的图形为A′C′． ①当t＞

3时，连结C′C，设四边形ACC′A′的面积为S， 5

H G

D E

求S关于t的函数关系式；

②当线段A′C′与射线BB1有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）． 4．解：

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4

∴AB＝32＋42＝5 ······································································································ 1分

∵AD＝5t，CE＝3t，∴当AD＝AB时，5t＝5

∴t＝1 ····························································································································· 2分 ∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6···························································································· 3分 ∴DE＝6－5＝1 ·············································································································· 4分（2）∵EF＝BC＝4，G是EF中点，∴GE＝2 当AD＜AE（即t＜

3）时，DE＝AE－AD＝3＋3t－5t＝3－2t 2若△DEG与△ACB相似，则∴

32t332t4＝或＝ 2423DEACDEBC或＝＝

EGBCEGAC∴t＝

31或t＝ ············································································································· 6分 463）时，DE＝AD－AE＝5t－(3＋3t)＝2t－3 22014年中考数学压轴题精编—浙江篇

当AD＞AE（即t＞

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若△DEG与△ACB相似，则∴

2t332t34＝或＝ 2423DEACDEBC或＝＝

EGBCEGAC∴t＝

917或t＝ ············································································································ 8分 4631917或或或时，△DEG与△ACB相似 46（3）①由轴对称变换得AA′⊥DH，CC′⊥DH

综上所述，当t＝

∴AA′∥CC′

易知OC≠AH，故AA′≠CC′

∴四边形ACC′A′是梯形 ················································· 9分

A′ B H F B1 C′ G O C

D E

∵∠A＝∠A，∠AHD＝∠ACB＝90° ∴△AHD∽△ACB，∴AH＝3t，DH＝4t ∵sin∠ADH＝sin∠CDO，∴即

AHCO ＝

ADCDAHDHAD ＝＝

ACBCABA

3CO9，∴CO＝3t－＝

55t35B (A′) F H A

C D E

（图甲）

B1 18∴AA′＝2AH＝6t，CC′＝2CO＝6t－ ························· 10分

12∵OD＝CD²cos∠CDO＝(5t－3)×＝4t－

55∴OH＝DH－OD＝∴S＝②

12 ································································································· 11分 511181272108(AA′＋CC′ )²OH＝(6t＋6t－)×＝t－ ································ 12分 2255525

3≤t≤ ·································································· 14分 630略解：当点A′落在射线BB1上时（如图甲），AA′＝AB＝5

∴6t＝5，∴t＝

5 6B H O C′ F G D E

（图乙）

B1 当点C′落在射线BB1上时（如图乙），易得CC′∥AB 故四边形ACC′B是平行四边形 ∴6t－故

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1843＝5，∴t＝ 530

A C

3≤t≤ 6305

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5．（浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端

点A，D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E．

（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；

若不存在，请说明理由；

（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

P A D

B C

5．解：

（1）假设存在这样的点Q

∵PE⊥PC，∴∠APE＋∠DPC＝90° ∵∠D＝90°，∴∠DPC＋∠DCP＝90° ∴∠APE＝∠DCP，又∵∠A＝∠D＝90° ∴△APE∽△DCP，∴

A E

APAE，∴AP²DP＝AE²DC ＝

DCDPB

同理可得AQ²DQ＝AE²DC

∴AQ²DQ＝AP²DP，即AQ²(3－AQ)＝AP²(3－AP)

∴AP －AQ ＝3AP－3AQ，∴(AP＋AQ)(AP－AQ)＝3(AP－AQ)

∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3 ············································································ 2分 ∵AP≠AQ，∴AP≠

3，即P不能是AD的中点 2∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在

所以，当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件

此时AP＋AQ＝3 ···························································································· 3分（2）设AP＝x，AE＝y，由AP²DP＝AE²DC可得x(3－x)＝2y

∴y＝

11231329x(3－x)＝－x＋x＝－(x－)＋ 222228

∴当x＝

39（在0＜x＜3范围内）时，y最大值＝ 287≤BE＜2 ······································································ 5分 8∴BE的取值范围为

6．（浙江省湖州市）如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

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（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值． y E A B

O F C x

6．解：

（1）由题意得A（0，2），B（2，2），C（3，0）设所求抛物线的解析式为y＝ax＋bx＋c

2a＝－

3c＝2



4则4a＋2b＋c＝2 解得

b＝

39a＋3b＋c＝0

∴抛物线的解析式为y＝－



c＝2

·········································································· 3分

y E A D O F M C x G H B 224x＋x＋2 ····································· 4分 338（2）设抛物线的顶点为G，则G（1，），过点G作GH⊥AB于H 382则AH＝BH＝1，GH＝－2＝

33∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH ∴GH是△BEA的中位线，∴EA＝2GH＝

4 ······························································· 6分 3过点B作BM⊥OC于M，则BM＝OA＝AB

∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF ∴Rt△EBA≌Rt△FBM，∴FM＝EA＝

4 37 ···················································· 8分 3∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝（3）设CF＝a，则FM＝a－1或1－a ∴BF ＝FM ＋BM ＝(a－1)＋2＝a－2a＋5

222222

∵△EBA≌△FBM，∴BE＝BF 则S△BEF＝

11122

BE²BF＝BF ＝(a－2a＋5) ···························································· 9分 222

又∵S△BFC＝∴S＝

11FC²BM＝×a×2＝a ········································································ 10分 22

12125(a－2a＋5)－a＝a－2a＋ 222112

(a－2)＋··································································································· 11分 222014年中考数学压轴题精编—浙江篇

即S＝

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∴当a＝2（在0＜a＜3范围内）时， S最小值＝

1 ··················································································································· 12分 2

7．（浙江省衢州市、丽水市、舟山市）△ABC中，∠A＝∠B＝30°，AB＝23．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转． 6时，求点B的横坐标； 22

（2）如果抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：

（1）当点B在第一象限，纵坐标是

5351，b＝－，c＝－时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； 452②设b＝－2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出

y m的值；若不存在，请说明理由．

C -1 1 O x

-1

①当a＝

7．解：

（1）∵点O是AB的中点，∴OB＝

1AB＝3 ······················································· 1分 2622)＝(3)··········································· 2分 2设点B的横坐标是x（x＞0），则x＋(

解得x1＝

66，x2＝－（舍去） 22y A -1 1 ∴点B的横坐标是（2）①当a＝得y＝即y＝

6 ························································ 4分 2C 5351，b＝－，c＝－时， 452O -1 1 x B 52135x－x－ 452552135( x－)－ ············································· 5分 4520以下分两种情况讨论

（甲）

情况1：设点C在第一象限（如图甲），则点C的横坐标为

5 5y 1 3OC＝OB²tan30°＝3×＝1 ········································ 6分

3525由此，可求得点C的坐标为（，） ···················· 7分

55-1 A 1 O -1 x 8

B 2014年中考数学压轴题精编—浙江篇 C （乙）

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点A的坐标为（－

21515，） 5521515，－) 55∵A，B两点关于原点对称，∴点B的坐标为（将x＝－将x＝

2155213515代入y＝x－x－，得y＝，即等于点A的纵坐标； 552

2155213515代入y＝x－x－，得y＝－，即等于点B的纵坐标． 552525，－） 55∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． ······································································· 9分情况2：设点C在第四象限（如图乙），则点C的坐标为（点A的坐标为（∵当x＝

2151521515，），点B的坐标为（－，－） 55552151521515时，y＝－；当x＝－时，y＝ 5555∴A，B两点都不在这条抛物线上． ···················································································· 10分

（情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上）

②存在．m的值是1或－1． ································································································ 12分（y＝a(x－m)－am＋c，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以－1≤m≤1．

当m＝±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m＝±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上）

8．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数；

（2）当点F的坐标为（－4，0）时，求点G的坐标；

（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′，记直线EF′与射线DC的

交点为H．

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE； ②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标．

y D E F A O （图1）

l G C y l H G D F′ E F A O （图2）

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y C E x A O （备用图）

D C B x B B x 2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

8．解：

23DO（1）在Rt△AOD中，∵tan∠DAO＝

AO＝2＝3

∴∠DAB＝60° ································································································ 2分

∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠DCB＝∠DAB＝60°················································································· 3分（2）∵四边形ABCD是平行四边形

∴CD∥AB，∴∠DGE＝∠AFE 又∵∠DEG＝∠AEF，DE＝AE

∴△DEG≌△AEF， ························································································ 4分 ∴DG＝AF，∴AF＝OF－OA＝4－2＝2

∴点G的坐标为（2，23） ········································································· 6分（3）①∵CD∥AB，∴∠DGE＝∠OFE

∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF′

∴∠OFE＝∠OF′E，∴∠DGE＝∠OF′E ························································ 7分在Rt△AOD中，∵E是AD的中点，∴OE＝12AD＝AE 又∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝∠AEO＝60° 而∠EOF′＝∠EOA＝60°，∴∠EOF′＝∠AEO

∴AD∥OF′·

······································································································· 8分 ∴∠OF′E＝∠DEH，∴∠DEH＝∠DGE 又∵∠HDE＝∠EDG

∴△DEG∽△DHE ··························································································· 9分 ②点F的坐标为F1（－13＋1，0），F2（－13－5，0） ························ 12分解答如下（原题不作要求，仅供参考）：

过点E作EM⊥直线CD于M，∵CD∥AB，∴∠EDM＝∠DAB＝60° ∴EM＝DE²sin60°＝2×

32＝3 y ∵S11△EHG＝2GH²EM＝M D G l H

C 2GH²3＝33

∴GH＝6

E F′ ∵△DEG∽△DHE，∴DEDHDG＝

DE F A O B x ∴DE2

＝DG²DH

当点H在点G的右侧时，设DG＝x，则DH＝x＋6

∴4＝x(x＋6)，解得x1＝－3＋13，x2＝－3－13（舍去） ∵△DEG≌△AEF，∴OF＝AO＋AF＝－3＋13＋2＝13－1 ∴F1（－13＋1，0）

当点H在点G的左侧时，设DG＝x，则DH＝x－6

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∴4＝x(x－6)，解得x1＝3＋13，x2＝3－13（舍去） ∵△DEG≌△AEF，∴AF＝DG＝3＋13 ∴OF＝AO＋AF＝3＋13＋2＝13＋5 ∴F2（－13－5，0）

综上所述，点F的坐标有两个，分别是F1（－13＋1，0），F2（－13－5，0）

9．（浙江省金华市）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－

2的图像上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，x符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限．．．

2（1）如图所示，若反比例函数解析式为y＝－，P点坐标为（1，0），图中已画出一符合条件的一个正方x形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标； M1的坐标是____________

Q P

-3 -2 -1 O 1 2 3 x

-1 N M

-2

-3

（2）请你通过改变P点坐标，对直线M1M的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝________，若点P的坐标为（m，0）时，则b＝________；（3）依据（2）的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标． 9．解：

（1）如图；M1的坐标为（－1，2） ········································································ 2分 y 2分）（2）k＝－1，b＝m ················································································6分（各（3）由（2）知，直线M1M的解析式为y＝－x＋6 则M（x，y）满足x(－x＋6)＝－2 解得x1＝3＋11，x2＝3－11 ∴y1＝3－11，y2＝3＋11 ∴M1，M的坐标分别为：

（3－11，3＋11），（3＋11，3－11） ·············································· 10分 2014年中考数学压轴题精编—浙江篇 -2 -3 11 -3 -2 3 M1 2 1 N1 Q1 -1 P O -1 1 2 Q 3 x N M 2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

10．（浙江省金华市）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（3，0）和（0，33）．动点P从A点开始沿折线AO－OB－BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速 3（长度单位/秒）的速度向3上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点．设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO－OB－BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：

（1）过A，B两点的直线解析式是___________________；

（2）当t＝4时，点P的坐标为____________；当t＝________，点P与点E重合；（3）①作点P关于直线EF的对称点P′，在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？

度分别为1，3，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以

②当t＝2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

E F l

x A O P 10．解：

（1）y＝－3x＋33； ·························································································· 4分（2）（0，3），t＝

9； ·······································································8分（各2分） 2（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）

∵OE＝FG，EP＝FP，∠EOP＝∠FGP＝90° ∴△EOP≌△FGP，∴OP＝PG 又∵OE＝FG＝

FG31t，∠A＝60°，∴AG＝＝t 33tan602t 3y B P′ E O P F G A x 而AP＝t，∴OP＝3－t，PG＝AP－AG＝

29由3－t＝t得 t＝ ····················································· 9分

35当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；

（图1）

当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

BE331∵OE＝t，∴BE＝33－t，∴EF＝＝3－t

333tan60y B P ∴MP＝EH＝

19tEF＝，又BP＝2(t－6) 26E H F P′ 在Rt△BMP中，BP²cos60°＝MP 即2(t－6)²

19t45＝，解得t＝ ····························· 10分 267O （图2）

A x ②存在．理由如下：

23∵t＝2，∴OE＝，AP＝2，OP＝1

3将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B′EC（如图3） y B ∵OB⊥EF，∴点B′ 在直线EF上， C点坐标为（

223，3－1） 33过F作FQ∥B′C，交EC于点Q，则△FEQ∽△B′EC 由

Q′ C1 D1 E P （图3）

F A CE3BEBE2＝＝＝3，可得Q点坐标为（－，） C Q QE3FE3FEO B′ x ································································· 11分

2根据对称性可得，Q点关于直线EF的对称点Q′（－，3）也符合条件．

3 ····································································································· 12分

11．（浙江省绍兴市）如图，设抛物线C1：y＝a(x＋1)－5，C2：y＝－a(x－1)＋5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是－2．（1）求a的值及点B的坐标；

（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．

①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标； ②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围． y y y

C1 C1 C1

A A A O O O x x x

B B B C2 C2 C2 备用图1 备用图2

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

．解：

（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，

∴把点A坐标代入y＝a(x＋1)2

－5得a＝1

∴抛物线C2

1的解析式为y＝x

＋2x－4 ···························································· 1分

设B（－2，b），则b＝－4

∴B（－2，－4） ······························································································ 2分

（2）①如图1

y ∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴 C1 M ∴点M在DH上，MH＝5 A 过点G作GE⊥DH，垂足为E

D 由△DHG是正三角形得EG＝3，EH＝1 E G ∴ME＝4

O H N x 设N（x，0），则NH＝x－1

l 由△MEG∽△MHN，得MEEGB MH＝

HN C2 ∴

45＝

3x1，∴x＝3＋1 图1 ∴点N的横坐标为3＋1 ·

··········································································· 7分

②当点D移到与点A重合时，如图2

直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大． ······································· 8分过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，设N（x，0） ∵ A（2，4），∴G（2＋23，2）

∴NQ＝x－2－23，NF＝x－1，GQ＝2，MF＝5

∵△NGQ∽△NMF，∴NQGQNF＝

MF ∴

x22321038x1＝5，∴x＝

3 ···························································· 10分当点D移到与点B重合时，如图3

直线l与DG交于点D，即点B，此时点N的横坐标最小． ······················ 11分 ∵B（－2，－4），∴H（－2，0），D（－2，－4），设N（x，0）

∵△BHN∽△MFN，∴NHBHFN＝

MF ∴x2421x＝5，∴x＝－3 ·

············································································· 12分又∵当点D与原点O重合时，△DHG不存在

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

1114

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

10382∴点N横坐标的取值范围为：－≤x≤且x≠0． ····················· 14分 33y y l M M C1 C1 A A (D)

G O F H Q N x D H N O F G B (D) C2 图3

l x B C2 图2

x＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． 2（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值． y y B B

12．（浙江省嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－

F Q O P E A x O （备用）

A x

12．解：

122

（1）令y＝0，得－x＋x＋4＝0，即x－2x－8＝0

2解得x1＝－2，x2＝4，∴A（4，0）

y B F Q O （图1）

D P C E A x 令x＝0，得y＝4，∴B（0，4）设直线AB的解析式为y＝kx＋b

4k＋b＝0k＝－1则解得 b＝4b＝4

∴直线AB的解析式为y＝－x＋4

·························································· 5分

（2）当点P（x，x）在直线AB上时，x＝－x＋4，解得x＝2

当点Q（

xxxx，）在直线AB上时，＝－＋4，解得x＝4 22222014年中考数学压轴题精编—浙江篇

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则2≤x≤4 ····························· 9分（3）当点E（x，

x）在直线AB上时，点F也在直线AB上 28x＝－x＋4，解得x＝ 238①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，如图1

3此时PC＝x－(－x＋4)＝2x－4 又PD＝PC，∴S△PCD＝

221PC＝2(x－2) 2

∴S＝

2127271628x－2(x－2)＝－x＋8x－8＝－(x－)＋ 44477

即S＝－∵2＜

71628(x－)＋ ··············································································· 10分 477168168＜，∴当x＝时，S最大＝ ···················································· 11分 77738②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，如图2

3y xx此时QN＝(－＋4)－＝－x＋4，又QM＝QN 22B 2211∴S△QMN＝QN＝(x－4)

F 22P N 21即S＝(x－4) ······································· 12分

2Q M E

88当x＝时，S最大＝ ····························· 13分

93168综合①②得：当x＝时，S最大＝

77O （图2）

A x ····································································································· 14分

13．（浙江省义乌市）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S＝36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不．．．存在，请说明理由．

y D C1 y D B1 B O M A 图1

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇 O1 x O M 图2

A1 x 16

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

13．解：

（1）对称轴：直线x＝1 ··························································································· 1分

212111解析式：y＝x－x或y＝(x－1)－ ···················································· 2分

4888

1顶点坐标：M（1，－） ················································································ 3分

8（2）由题意得y2－y1＝3

121121即x2－x2－x1＋x1＝3 ········································································· 4分

4488

11整理得：(x2－x1)[(x2＋x1)－]＝3 ① ··················································· 5分

∵S＝

1[2(x1－1＋x2－1)]²3＝3(x1＋x2)－6 2

∴x1＋x2＝

S＋2 ② ········································································· 6分 372（S＞0）（事实上，更确切为S＞66） S ······································································································· 7分

把②代入①并整理得：x2－x1＝

x2＋x1＝14x1＝6

当S＝36时， 解得： （注：S＞0或S＞66不写不扣分）

x－x＝2x＝8221

把x1＝6代入抛物线解析式得y1＝3 ∴点A1（6，3）······························· 8分

（3）存在 ··················································································································· 9分

解法一：易知直线AB的解析式为y＝

33x－ 423） 4可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，－∴BD＝5，DE＝当PQ∥AB时，∴

15，DP＝5－t，DQ＝t 4DQDP ＝

DEDBy D G Q O M A E F P C B t5t15，得t＝ ······························· 10分＝

157x 下面分两种情况讨论：设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ①当0＜t＜

15时 7DQDP ＝

DBDE∵△FQE∽△FAG，∴∠FGA＝∠FEQ ∴∠DPQ＝∠DEB，∴△DPQ∽△DEB，∴∴

5tt201520，得t＝＞，∴t＝舍去·············································· 11分＝15577742014年中考数学压轴题精编—浙江篇

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

151＜t＜3时 78∵△FQE∽△FAG，∴∠FAG＝∠FQE

②当

∵∠DQP＝∠FQE，∠FAG＝∠DBE ∴∠DQP＝∠DBE，∴△DPQ∽△DEB，∴∴

5tt20，得t＝＝15574DQDP ＝

DBDE20秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的7对称轴围成的三角形相似 ·············································································· 12分

故当t＝

（注：未求出t＝

15能得到正确答案不扣分） 7

121121解法二：可将y＝x－x向左平移一个单位得到y＝x－，再用解法一类似的方法可求

48887220得x2′－x1′＝，点A1′（5，3），t＝

∴x2－x1＝

7220，点A1（6，3），t＝ S7

14．（浙江省舟山市）（本题满分12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠BAD＝60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒23cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒．

（1）当点P在线段AO上运动时．

①请用含x的代数式表示OP的长度；

②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）显然，当x＝0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由．

Q E

A C O P

14．解：

（1）①由题意得∠BAO＝30°，AC⊥BD

∵AB＝2，∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝3

∴OP＝3－23x ·························································································· 2分

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

②如图1，过点E作EH⊥BD于H，则EH为△COD的中位线 ∴EH＝

31OC＝，∵DQ＝x，∴BQ＝2－x

D Q H A P O

E C

31∴y＝S△BPQ＋S△BEQ＝(2－x)(3－23x＋)

2211333＝3x－x＋ ········································ 5分

422

（2）能成为梯形，分三种情况：

ⅰ）如图2，当PQ∥BE时，∠PQO＝∠DBE＝30° ∴

OP3＝tan30°＝ OQ3B 图1 D Q H P O

E 323x32即＝，∴x＝

1x35A 2此时PB不平行QE，∴x＝时，四边形PBEQ为梯形

5 ···························································· 7分

ⅱ）如图3，当PE∥BQ时，P为OC中点

图2 33333∴AP＝，即23x＝，x＝

22453此时，BQ＝2－x＝≠PE，∴x＝时，四边形PEQB为梯形 ···················· 9分

44ⅲ）如图4，当QE∥BP时，△QEH∽△BPO

31xHQHE22，∴x＝1（x＝0舍去） ∴，∴＝＝OBOP123x3此时，BQ不平行于PE，∴x＝1时，四边形PEQB为梯形 ························ 11分综上所述，当x＝

23或或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形 A ································································································· 12分 D D E E H H Q Q C A C

O O P P B B 图3

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图4

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15．（浙江省东阳市）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，交DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒

y D 速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t．

（1）C的坐标为________________；

（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？

（3）求△HCR的面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及相应的S的值． 15．解：

（1）C（4，1） ········································································································ 2分

（2）∵P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），C（4，1）

∴P（2，2），D（3，4）

∵P为正方形ABCD的对称中心，∴∠AON＝45° ∵AB∥DC，∴∠ANO＝∠RMD

∴当∠RDM＝∠AON＝45°时，△ANO∽△RMD

此时点R与点P重合（如图1），∴R1（2，2），∴OR1＝22 ∴t1＝22÷2＝2（秒） ·········································· 4分当∠DRM＝∠AON＝45°时，△ANO∽△DMR 此时DR∥AO，∴R2（3，3），∴OR2＝32 ∴t2＝32÷2＝3（秒）

故当t＝2秒或3秒时，△ANO与△DMR相似 ········· 6分（3）∵OR＝2t，OH＝t，∠ROH＝45°，∴RH＝t

112

∴S＝t²(4－t)＝－t＋2t（0＜t≤4） ··················· 7分

A P N B M R C H x O y A D M R2 P (R1) O N B H 图1 C x y D A R1 O N B H1 图2 P R2 M 112

S＝t²(t－4)＝t－2t（t＞4） ····························· 8分

C H2 x 直线OM的解析式为y＝x ①

由 C（4，1），D（3，4）可得直线OM的解析式为y＝－3x＋13 ② 联立①②解得x＝同理可求得N（

131313，∴M（，） 4443399，），直线OM与直线AD的交点坐标为（，） 44221313÷1＝（秒） 44当CR∥AB时，t＝S＝－

11321339×()＋2×＝ ······································································· 9分 2443299÷1＝（秒） 222014年中考数学压轴题精编—浙江篇

当AR∥BC时，t＝

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

S＝

19299×()－2×＝ ·············································································· 10分 2228当BR∥AC时，△BNR∽△ANP

如图3，过N作NE⊥OB于E，则△NHB∽△AOB ∴

NB1010NBAB，即，∴NB＝＝＝

334NHAO43101，∴NB＝AN 435233，），∴PN＝

444y D A P R3 N O B 图3 R2 M (R1) ∴AN＝

C x ∵P（2，2），N（

52RNBN11由△BNR∽△ANP得＝＝，∴RN＝PN＝

12PNAN33∴OR＝ON－RN＝∴t＝

23252－＝

341221÷2＝（秒） ············································································ 11分 33112111S＝－×()＋2×＝ ········································································· 12分

23318

16．（浙江省东阳市调研测试卷）已知抛物线y＝－x＋bx＋c经过点A（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线的顶点为B，在抛物线上是否存在点C，使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）试问在抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与对称轴相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度；若不存在，请说明理由．

y y B B

16．解：

（1）由题意得：－

A A O x O x 备用图 b＝2，∴b＝4 2又∵A（0，4），∴c＝4

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

∴该抛物线的解析式为y＝－x＋4x＋4 ························································ 3分

（2）∵y＝－x＋4x＋4＝－(x－2)＋8，∴B（2，8）

由A（0，4），B（2，8）可得直线AB的解析式为y＝2x＋4 由O（0，0），B（2，8）可得直线OB的解析式为y＝4x

①当AB∥OC时，直线OC的解析式为y＝2x ············································· 4分

x1＝1＋5x2＝1－5y＝－x＋4x＋4

联立 解得  y2x＝y1＝2＋25y2＝2－25

y B ∴C1（1＋5，2＋25），C2（1－5，2－25）

·································································6分

②当AC∥OB时，直线AC的解析式为y＝4x＋4

x＝0y＝－x＋4x＋4联立 解得

y＝4y＝4x＋4

A P2 P1 2

O P4 P3 x 此时C（0，4）与点A重合，舍去 ·························7分（3）①当点P在x轴上方时，y＝－x＋4x＋4＝3

解得x1＝2＋5，x2＝2－5，∴P1（2＋5，3），P2（2－5，3）此时P点到对称轴直线x＝2的距离为5＜3，即⊙P与对称轴相交 ········ 9分对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度为：232－(5)2＝4 ························ 11分

②当点P在x轴下方时，y＝－x＋4x＋4＝－3

解得x1＝2＋11，x2＝2－11，∴P3（2＋11，－3），P4（2－11，－3）此时P点到对称轴直线x＝2的距离为11＞3，即⊙P与对称轴相离 ····· 12分

17．（浙江省嵊州市普通高中提前招生）如图1至图4，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2均表示⊙O与线段AB、BC或弧AB相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c，请阅读下列材料：

①如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周． ②如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转

n周． 360

O2 O1 O O2

D B n° A

A B

图1

图2 C 解答以下问题：

（1）在阅读材料的①中，若AB＝2c，则⊙O自转__________周；若AB＝l，则⊙O自转__________周．在阅读材料的②中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转__________周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转__________周．

（2）如图3，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．

O O A B D

A C P

图4 图3

（3）如图4，半径为2的⊙O从半径为18，圆心角为120°的弧的一个端点A（切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙O自转多少周？请说明理由． 17．解：（1）2，

l11，， ································································································· 4分 c63l＋1周 ························································································· 6分 cl周 c（2）⊙O自转了

理由：∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了

又∵三角形的外角和是360°，∴在三个顶点处，⊙O自转了∴O自转了

360＝1（周） 360l＋1周 ························································································· 8分 c（3）⊙O自转7周 ································································································· 10分

理由：∵弧AB的长为18×

212π＝12π，∴⊙O在弧AB上自转了2×＝6（周） 34360＝1（周） 360∴O自转了7周 ······························································································ 12分又∵在两个端点处，⊙O自转了

18．（浙江省嵊州市普通高中提前招生）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（－1，0），如图所示，抛物线y＝2ax＋ax－

3经过点B． 2（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；

（3）若三角板ABC从点C开始以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向平移，求点A落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程中扫过的面积；（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． y

A(0，2)

B O

C(-1,0) x 2014年中考数学压轴题精编—浙江篇 23

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

18．解：

（1）如图，过点B作BD⊥x轴于D

∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90° ∴∠BCD＝∠CAO

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，BC＝CA ∴Rt△BCD≌Rt△CAO

∴BD＝CO＝1，CD＝AO＝2 ································· 1分 ∴点B的坐标为（－3，1） ··································· 2分（2）把B（－3，1）代入y＝2ax＋ax－

y A(0，2) B D C P1 N O M P2 x 2

33，得1＝18a－3a－ 22解得a＝

1 ········································································································ 3分 6

1213∴抛物线的解析式为y＝x＋x－ ·························································· 4分

623（3）记平移后点A落在抛物线上的点为A′，点C落在x轴上的点为C′

12131213把y＝2代入y＝x＋x－，得x＋x－＝2

626233

解得x1＝－

7，x2＝3，∴A′（3，2） 2∴点A落在抛物线上时所用的时间为：3÷1＝3（秒） ································ 6分 BC＝CA＝12＋22＝5

三角板在平移过程中扫过的面积为： S＝S△ABC＋S□AC′CA′＝

117×5×5＋3×2＝ ············································· 8分 22（4）存在 ··················································································································· 9分

①延长BC至点P1，使CP1＝BC，则得到以点C为直角顶点的等腰直角三角形△ACP1．过点P1作P1M⊥x轴．

∵CP1＝BC，∠P1CM＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90° ∴Rt△P1CM≌Rt△BCD

∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1，可求得点P1(1，－1)； ········· 10分

1213把x＝1代入y＝x＋x－，得y＝－1．

623∴点P1(1，－1)在抛物线上 ······················································ 11分

②过点A作AP2⊥AC，且使AP2＝AC，则得到以点A为直角顶点的等腰直角三角形△ACP2 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证Rt△P2NA≌Rt△AOC

∴P2N＝AO＝2，AN＝CO＝1，可求得点P2(2，1) ····································· 12分

12131把x＝2代入y＝x＋x－，得y＝

6263∴点P2(2，1)不在抛物线上，舍去 ······························································ 14分

综上所述，在抛物线上还存在点P(1，－1)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形．

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

19．（浙江省慈溪中学保送生招生考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．将正方形OABC绕O点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设△BMN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN＝m，当m为何值时△MON的面积最小，最小值为多少？此时旋转角θ为多少度？并求出此时△BMN内切圆的半径． y y＝x A M θ B O x N 19．解：

（1）当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，则OA旋转了45°，OB也旋转了45°，故B点落y 在x轴上．

如图1，边AB在旋转过程中扫过的面积为图中阴影部分的面积S阴影． A S阴影＝S△AOB＋S扇形BOB′－S扇形AOA′－S△A′OB′

C B y＝x A′ B′ C′ 图1

x ＝S扇形BOB′－S扇形AOA′＝1/2×(√2)×π/4－1/2×1×π/4 ＝π/8． ······································································· 4分

O （2）p值无变化． ···································································· 5分

证明：如图2，延长BA交y轴于点D 在△AOD与△CON中

∠AOD＝∠CON＝90°．－∠AON，OA＝OC，∠OAD＝∠OCN＝90°∴△AOD≌△CON．

∴OD＝ON，AD＝CN． ·················································································· 6分在△MOD与△MON中

OD＝ON，∠MOD＝∠MON＝45°，OM＝OM． ∴△MOD≌△MON．

∴MN＝MD＝AM＋AD＝AM＋CN．

∴p＝BM＋MN＋BN＝BM＋AM＋CN＋BN＝AB＋BC＝2． ·························· 8分 ∴在正方形OABC旋转的过程中，p值无变化． ··········································· 9分（3）设AM＝n，则BM＝1－n，CN＝m－n，BN＝1－m＋n

∵△MOD≌△MON，∴S△MON＝S△MOD＝

11MD²OA＝m． ···················· 10分 22在Rt△BMN中，BM ＋BN ＝MN ． ∴(1－n)＋(1－m＋n)＝m

222

y D A θ y＝x 整理得n－mn＋2－m＝0

M B N C 25 2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

O x 2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

△＝m－4(2－m)≥0

解得m≤－23－2（舍去）或m≥23－2

故当m＝23－2时，△MON的面积最小 ················ 12分 S△MON最小＝

1(23－2)＝3－1 ······························ 13分 2此时n－(23－2)n＋2－(23－2)＝0

11解得n＝3－1＝m，即AM＝m

1m，∴AM＝CN 2此时由于AM＝CN，∠OAM＝∠OCN＝90°，OA＝OC，∴△AOM≌△CON ∴∠AOM＝∠CON＝∠AOD＝θ＝22.5° ······················································· 14分

∴CN＝m－n＝

∵BM＝1－n＝2－3，BN＝1－m＋n＝2－3，MN＝m＝23－2 ∴Rt△BMN的内切圆半径为

20．（浙江省奉化市保送生招生考试）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D在BC上，且BD＝4，以点D为顶点作∠EDF＝∠B，分别交边．AB于点E，交射线．．CA于点F．设BE＝x，CF＝y．（1）求y与x的函数关系式；

（2）当以点C为圆心，CF长为半径的⊙C和以点A为圆心，AE长为半径的⊙A相切时，求x的值；（3）若AC的中点O到直线．．DE的距离为5，求DE的长．

A A

B D

20．解：

（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B

1(BM＋BN－MN)＝3－23·························· 16分 2F

B C

备用图

∵∠CDF＋∠EDF＋∠BDE＝180°，∠BED＋∠B＋∠BDE＝180°，∠EDF＝∠B ∴∠CDF＝∠BED，∴△CDF∽△BED ∴

CFCDy124，即＝＝

BDBE4x32 ··········································································································· 2分 x∴y＝

（2）分外切和内切两种情况考虑：

①当⊙C和⊙A外切时，点F在线段CA上，且AF＝AE ∵AB＝AC，∴BE＝CF，∴x＝

32 x∴x＝42········································································································· 4分

2014年中考数学压轴题精编—浙江篇

②当⊙C和⊙A内切时，点F在线段CA延长线上，且AF＝AE ∴x＝AB－AE＝10－AE，y＝AC＋AF＝10＋AE ∴10＋AE＝

32，解得AE＝217，∴x＝10－217 ··························· 6分

10AE（3）如图1，当点F在线段CA上时，过A作AG⊥BC于G，过O作OH⊥DE1于H，OK⊥BC于

K，连结OD，则OH＝5

∵AB＝AC＝10，AG⊥BC，∴GC＝BG＝∴AG＝102－62＝8，KC＝

1BC＝6 2A E1 H O F

1GC＝3 2而DC＝BC－BD＝12－4＝8，∴DK＝DC－KC＝8－3＝5 ∴DK＝OH

又∵OK ＝OD －DK ，DH ＝OD －OH ，∴OK＝DH ∴四边形DKOH是矩形，∴DE1⊥BC ∴Rt△E1BD∽△RtABG，∴∴DE1＝

DE1DE1AG8，即＝＝

BD46BG2

B D G 图1

16 ······································································································· 9分 3如图2，当点F在线段CA延长线上时，作Rt△AGC的外接圆⊙O，则DH、DM分别是⊙O的切线

DG＝6－4＝2，由切割线定理得： DM ＝DG²DC＝2×8＝16，∴DM＝4 设OM与BC交于点N，易知△DNM≌△ONK ∴NM＝NK，∴DN＝5－NM

在Rt△DNM中，4＋NM＝(5－NM)

A E1 H E2 B G N D

P M 图2

K O 2

222

941，∴DN＝ 1010延长AG交EM于点P，则△DPG∽△DNM

C ∴NM＝

∴

DPPGDG2114119，PG＝NM＝＝＝＝＝，∴DP＝DN＝

DN4222NMDM2020∴AP＝8＋

9169＝ 202016DE2DE2DE13 由△E1E2G∽△AE2P得，即＝＝

16941DE2DPAPDE22020∴DE2＝

656 ··································································································· 14分 187

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