福师大点集拓扑学练习题(第二章)答案

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分)

1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )

3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1T 2不一定是集合X的拓扑( 9.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ √ ）10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则dA （ √ ）

11.设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则dA （12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则dAX （ 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中

Zn={n,n+1,n+2,…},

则包含3的所有开集为Z1,Z2,Z3 包含3的所有闭集为Z//1,Z4,Z5,Z/6,... 包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1}Z3 设A={1,2,3,4,5}

× ) × ） ） √

则A的导集为{1,2,3,4} A的闭包为{1,2,3,4,5} 2、设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=

3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是____ R ____.

4、xd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 ;

答案： U(A{x})

5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ; A= ;

答案：X；X

6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ; A= ;

答案：X；X

7、设X{1,2,3},X的拓扑T{X,,{2},{2,3},则X的子集A{1,2} 的内部为 ; 答案：{2}

三、单项选择题（每题2分）

1、已知X{a,b,c,d,e},下列集族中，（ ）是X上的拓扑. ① T{X,,{a},{a,b},{a,c,e}} ② T{X,,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③ T{X,,{a},{a,b}}

④ T{X,,{a},{b},{c},{d},{e}}

答案：③ 2、已知X{a,b,c,d}，拓扑T{X,,{a}},则{b}=（ ）

①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d}

答案：④ 3、已知X{a,b,c,d}，拓扑T{X,,{a}},则{a}=（ ）

①φ ② X ③ {a,b} ④ {b,c,d}

答案：② 4、设X{a,b,c,d}，拓扑T{X,,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

答案：②

ab,}，5、设X{拓扑T{X,,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3

答案：③ 6、在实数空间中，有理数集Q的内部Q 是（ ） ①  ② Q ③ R -Q ④ R

答案：①

7、在实数空间中，有理数集Q的边界(Q)是（ ） ①  ② Q ③ R -Q ④ R

答案：④

8、在实数空间中，整数集Z的内部Z 是（ ） ①  ② Z ③ R-Z ④ R

答案：①

9、在实数空间中，整数集Z的边界(Z)是（ ） ①  ② Z ③ R-Z ④ R

答案：②

10、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ） ①  ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)

答案：③

11、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① d(AB)d(A)d(B) ② ABAB ③ d(AB)d(A)d(B) ④ AA

答案: ③

12、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ）

① d(A) ② d(A)XA ③ d(A)A ④ d(A)X

答案：①

13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是

（ ）

① 若A,则d(A) ② 若A{x0},则d(A)XA

③ 若A={x1,x2},则d(A)X ④ 若AX, 则d(A)X 答案：④ 14、设X{,abcd,,}，令B{,abc,}{},{},}cd,则由B产生的X上的拓扑是（ ）

① { X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,,{c},{d},{c,d}} ③ { X,,{c},{a,b,c}}

④ { X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}

答案：①

15、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

答案：③

16、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭

答案：④

17、实数空间R中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭

答案：②

18、实数空间R的子集A ={1,, ,,……},则A＝（ ）

①φ ② R ③ A∪{0} ④ A

答案：③ 19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② a,b ③ 有理数集 ④ 无理数集

121314

答案：① 20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）

① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z

答案：④

21、已知X{1,2,3}上的拓扑T{X,,{1}},则点1的邻域个数是（ ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

答案：④ 22、已知X{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个

答案：④ 23、在实数下限拓扑空间R中，区间[a,b)是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭

答案：③

24、设X是一个拓扑空间，A,BX,且满足d(A)BA,则B是（ ① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭

答案：②

.证明题(52分):

1. 设X有拓扑T1,TTn2,...n,i1Ti也是拓扑. 证:

））

四

(1)X,Ti,i1,2,...n,X,in1Ti(2)A,Bin1Ti,A,BTi,i1...n.ABTi,i1...n,ABin1Ti~~ (3)Tin1Ti,TTi,i1...n,AT~ATi,i1...n,AT~Ain1Tin所以i1Ti也是拓扑.

2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 证:设{xi}iZ→x, {xi}iZ→y, 则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=. 对于B(x,ρ(x,y)/3),存在N1>0,当i>N1时 有xi B(x,ρ(x,y)/3)

对于B(y,ρ(x,y)/3),存在N2>0,当i>N2时 有xi B(y,ρ(x,y)/3) 取N=max{N1,N2},则当i>N时 有xi B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3) 与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=.矛盾

3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则Bx={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基.

见P.82 定理2.6.7

4.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)

证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.