考试时间:100分钟;总分:120分
一、单选题(每小题3分,共30分) 1.
11运算结果是( ) xyB .
A .
1 xy2 xyC .
xy xyD .yx
2.(2019·湖南初二期中)如果把分式A .扩大3倍
B .不变
xyxy3倍,那么分式的值( ) 2中的和都扩大了3xC .缩小3倍
D .缩小6倍
3.(2019·山东初三)关于x的方程A .±3
B .3
x1=2+x3k有增根,则k的值为( ) x3C .﹣3
D .2
4.(2019·温州外国语学校初三)某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务,原计划x天完成,实际平均每天多制作了5个,因此提前10天完成任务.根据题意,下列方程正确的是( ) A .
30030010 x5x30030010 xx5B .
3003005 x10x3003005 x10xC .D .
a2b25.(2019·临清市刘垓子中学初三)如果A +B =2,那么的值是 abbaA .2
B .4
C .-2
D .-4
6.(2019·福建厦门一中初三)若分式A .x1
B .x1
1有意义,则x的取值范围是( ) x1C .x1
D .x1
7.(2019·淄博市临淄区边河乡中学初二期中)下列分式中,最简分式是( )
6A . 15xx2B . 3x6x1C . 2x1a2b2D .
ab8.(2019·黑龙江初三)方程A .3
B .2
12的解为( ) x1x2C .1
D .0
9.(2017·北京初三)计算:
a21a12a1,其结果正确的是( ) aC .
A .
1 2B .
a1 a2a1 aD .
a a110.(2019·广东初三)解分式方程A .2+(x+2)=3(x﹣1) C .2﹣(x+2)=3
2x23时,去分母后变形正确的是( ) x11xB .2﹣x+2=3(x﹣1) D .2﹣(x+2)=3(x﹣1)
二、填空题(每小题4分,共24分)
x24
11.(2019·安徽初三)化简:=_____.
x2
12.(2019·海南省海口市海南白驹学校初三)方程
3x2的解是___________. x14m213.=___________. (2019·淄博市临淄区边河乡中学初二期中)化简:m22m14.(2019·黑龙江初三)如果ab3ab,那么15.(2019·北京初三)当x=__时,分式
11=_____. abx2的值为0. xaba24b216.(2018·北京初三)如果,那么2的结果是______.
23a2ab三、解答题一(每小题6分,共18分)
xx292x17.. (2019·湟中县第一中学初三)化简:x3x3xx2x22xx218. ,再从-3,-2,0,2中选择一个合适的数作为x的(2019·云南初三)先化简; 2x3x92x值代入求值.
19.(2019·云南初三)先化简,再求值:四、解答题二(每小题7分,共21分) 20.(2019·陕西初三)解方程:
a2a4÷1(﹣),其中A =2﹣2.
a24a4a24x132. 2xx221.2019中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举办,(2019·江西初三)预售期门票价然有“平日票”和“推定日票”两种,其中平日票的单价比指定日票的单价少40元1张:某学校
计划组织学生去参观,用9600元购买的平日票的票数与用12800元购买的旅定日票的票数相等. (1)求该学校购买的平日票、指定日票的单价分别是多少元?
(2)若两种票共购买了200张,且购买的总费用是28800元,求购买了多少张平日票?
2xx2x122.x(2019·河南郑州外国语中学初三)先化简,再求值:,其中x的值从不等式2x4x2组x2,的整数解中选取
3x181212,其中x=时出现错误,解答过程如下, x1x13五、解答题三(每小题9分,共27分) 23.(2019·吉林初三)某学生在化简求值:
原式=
12 (第一步)
(x1)(x1)(x1)(x1)=
12(第二步)
(x1)(x1)=
3
(第三步) x21
12是,原式=13133当x=
278 (第四步)
(1)该学生解答过程从第 步开始出错的,其错误原因是 . (2)写出此题的正确解答过程.
24.(2019·张家界市民族中学初二期中)老师所留的作业中有这样一个分式的计算题:乙两位同学完成的过程分别如下:
2x52,甲、x1x1
老师发现这两位同学的解答都有错误.
请你从甲、乙两位同学中,选择一位同学的解答过程,帮助他分析错因,并加以改正.
(1)我选择 同学的解答过程进行分析.(填“甲”或“乙”)该同学的解答从第 步开始出现错误,错误的原因是 ; (2)请重新写出完成此题的正确解答过程.
2x52. x1x125.(2019·湖北初二月考)观察下列式子,探索它们的规律并解决问题
11111111=1-,,… 12223233434(1)用正整数
1=_________, 表示这个规律:
n(n1)试着推论:
11=______,=_______
n(n2)n(n3)1_________,
n(nk)(2)用(1)中的结论计算:
111+...
n(n4)(n4)(n8)(n2016)(n2020)(3)用(1)中的结论解下列方程:
1111...
x(x1)(x1)(x2)(x2018)(x2019)2x4038参
一、单选题(每小题3分,共30分) 1.
1x1y运算结果是( ) A .
1B .
2xyxy xy C .
xy D .yx
[答案]C [解析] [分析]
利用分式的基本性质通分即可. [详解] 解:
1x1y =
yxyxxy =xyxy 故选C . [点睛]
此题考查的是分式的加法,利用分式的基本性质通分是解决此题的关键. 2.(2019·湖南初二期中)如果把分式xy3x2中的x和y都扩大了3倍,那么分式的值(A .扩大3倍 B .不变
C .缩小3倍
D .缩小6倍
[答案]C [解析] [分析]
根据分式的基本性质,将分子与分母中未知数分别乘以3,进而化简即可. [详解] 解:
3x3y33x23xy93x1xy233x2, ) 故选C . [点睛]
本题主要考查分式的基本性质,解决本题的关键是要熟练掌握分式的基本性质. 3.(2019·山东初三)关于x的方程A .±3 [答案]D [解析] [分析]
根据增根的定义可求出x的值,把方程去分母后,再把求得的x的值代入计算即可. [详解]
解:∵原方程有增根, ∴最简公分母x﹣3=0, 解得x=3,
方程两边都乘(x﹣3), 得:x﹣1=2(x﹣3)+k, 当x=3时,k=2,符合题意, 故选:D . [点睛]
本题考查的是分式方程的增根,在分式方程变形的过程中,产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根.增根使最简公分母等于0,不适合原分式方程,但是适合去分母后的整式方程.
4.(2019·温州外国语学校初三)某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务,原计划x天完成,实际平均每天多制作了5个,因此提前10天完成任务.根据题意,下列方程正确的是( ) A .
B .3
x1=2+x3k有增根,则k的值为( ) x3D .2
C .﹣3
30030010 x5x30030010 xx5B .
3003005 x10x3003005 x10xC .D .
[答案]B [解析] [分析]
根据实际每天制作的个数-原计划每天制作的个数=5为等量关系得出等式即可. [详解]
解:设原计划x天完成,根据题意得:
3003005 x10x故选:B . [点睛]
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程,正确找出等量关系是解题关键.
a2b25.(2019·临清市刘垓子中学初三)如果A +B =2,那么的值是 abbaA .2 [答案]A [解析] [分析]
原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值. [详解] ∵A +B =2,
22abab=A +B =2, a-b∴原式==ababB .4 C .-2 D .-4
故选A [点睛]
此题考查分式的化简求值,掌握运算法则是解题关键 6.(2019·福建厦门一中初三)若分式A .x1 [答案]D [解析] [分析]
根据分式的分母不为零,即x-1≠0求解即可. [详解]
B .x1
1有意义,则x的取值范围是( ) x1C .x1
D .x1
当分母x-1≠0,即x≠1时,分式故选D . [点睛]
1有意义; x1从以下三个方面透彻理解分式的概念: (1)分式无意义⇔分母为零; (2)分式有意义⇔分母不为零;
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.
7.(2019·淄博市临淄区边河乡中学初二期中)下列分式中,最简分式是( )
6A . 15x[答案]C [解析] [分析]
x2B . 3x6x1C . 2x1a2b2 D .
ab根据最简分式的概念(分式的分子分母没有公因式的分式)进行判断即可. [详解] A 选项:
6322,故不是最简分式,不符合题意; 15x35x5xB 选项:
x2x21,故不是最简分式,不符合题意;
3x63(x2)3x1的分子和分母没有公因式,故是最简分式,符合题意; 2x1C 选项:
a2b2(ab)(ab)D 选项:ab,故不是最简分式,不符合题意;
ab(ab)故选:C [点睛]
本题考查了最简分式:分式的分子分母没有公因式的分式是最简分式. 8.(2019·黑龙江初三)方程A .3 [答案]D [解析]
B .2
12的解为( ) x1x2C .1
D .0
[分析]
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. [详解]
去分母得:x−2=2x−2, 解得:x=0,
经检验x=0是分式方程的解, 故选:D . [点睛]
此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 9.(2017·北京初三)计算:
a21a12a1,其结果正确的是( ) aC .
A .
1 2B .
a1 a2a1 aD .
a a1[答案]D [解析] [分析]
第一个分式的分子先分解因式,第二个分式利用除法法则将分子、分母颠倒转化为分式的乘法,最后利用分式乘法进行计算即可. [详解] 原式a1a1a 2a1a1a a1故选:D . [点睛]
本题考查了分式的除法运算,解题的关键是熟练运用分式乘除法的运算法则. 10.(2019·广东初三)解分式方程A .2+(x+2)=3(x﹣1) C .2﹣(x+2)=3
2x23时,去分母后变形正确的是( ) x11xB .2﹣x+2=3(x﹣1) D .2﹣(x+2)=3(x﹣1)
[答案]D [解析] [分析]
把原方程变形后,两边都乘以x-1即可. [详解]
解:方程变形得:
2x23 x1x1去分母得:2﹣(x+2)=3(x﹣1), 故选:D . [点睛]
本题考查了分式方程的解法,其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母,化为整式方程求解,求出x的值后不要忘记检验.去分母时不要漏乘不含分母的项. 二、填空题(每小题4分,共24分)
x2411.(2019·安徽初三)化简:=_____.
x2
[答案]x+2. [解析] [分析]
分子利用平方差公式进行因式分解,然后约分即可. [详解] 原式(x2)(x2)x2.
x2故答案是:x+2. [点睛]
本题考查了分式的约分,分子利用平方差公式进行因式分解,再利用约分进行化简求解即可. 12.(2019·海南省海口市海南白驹学校初三)方程[答案]x2 [解析] [分析]
观察可得最简公分母是(x-1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
3x2的解是___________. x1[详解]
方程的两边同乘(x-1),得3x=2(x-1) 解得x=-2,
检验:把x=-2代入(x-1)=-3≠0 ∴原方程的解为:x=-2 故答案为x=-2 [点睛]
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.(2)解分式本题考查了解分式方程:方程一定注意要验根.
4m213.=___________. (2019·淄博市临淄区边河乡中学初二期中)化简:m22m[答案]-2-m [解析] [分析]
先将异分母分式化成同分母分式,再相减,最后化简即可. [详解]
4m24m24m2(m2)(m2)=(m2)2m.
m22mm2m2m2m2故答案是:-2-m. [点睛]
本题考查了分式的加减,解题关键是将异分母分式化成同分母分式,再利用分式的基本性质化简. 14.(2019·黑龙江初三)如果ab3ab,那么[答案]-3 [解析] [分析]
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算,将已知等式代入计算即可求出值. [详解]
∵A -B =3A B ,
11=_____. ab∴原式=-
ab=-3, ab故答案为:-3 [点睛]
此题考查了分式的加减法,分式加减法的关键是通分,通分的关键是找出各分母的最小公倍数. 15.(2019·北京初三)当x=__时,分式[答案]2 [解析] [分析]
根据分式的值为0的条件进行解答即可. [详解]
解:当x﹣2=0时,即x=2时,分式故答案为:2. [点睛]
本题考查的是分式的值为0的条件,即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
x2的值为0. xx2的值为0, xaba24b216.(2018·北京初三)如果,那么2的结果是______.
23a2ab[答案]4 [解析] [分析] 令
abk,则A =2k,B =3k,代入到原式化简的结果计算即可. 23[详解]
a2ba2ba2b2k6k8kab=4. 令k,则A =2k,B =3k,∴原式aa2b23a2k2k故答案为:4. [点睛]
本题考查了约分,解题的关键是掌握约分的定义:约去分式的分子与分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.
三、解答题一(每小题6分,共18分)
xx292x. 17.(2019·湟中县第一中学初三)化简:x3x3x[答案]x9 [解析] [分析]
先把括号内通分化简,再把分子分母分解因式约分即可. [详解]
2xx3xx3x29 原式=x3x3x3x3x2x26xx23xx29=
xx3x3xx9x3x3= xx3x3=x9. [点睛]
本题考查了分式的混合运算:分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的;最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.
x2x22xx218. ,再从-3,-2,0,2中选择一个合适的数作为x的(2019·云南初三)先化简; 2x3x92x值代入求值. [答案]化简得[解析] [分析]
根据分式的除法和加法法则化简题目中的式子,然后选一个使原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题. [详解]
3x3,x=-2代入原式=-. x22x2(x3)(x3)x2 •解:原式=
x3x(x2)2xx(x3)x2= x2x2=3x, x2∵要使分式有意义,x≠-3或0或2, ∴x=-2, ∴原式=-[点睛]
本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法. 19.(2019·云南初三)先化简,再求值:
3. 2a2a4÷1(﹣),其中A =2﹣2.
a24a4a24[答案][解析] [分析]
2 2先算小括号通分,然后进行除法运算,约分化简,最后将A =2﹣2代入计算即可. [详解] 解:原式=
a(a2)(a2)
(a2)2a(a2)=
1, a2当A =2﹣2时,
原式=[点睛]
112=. a22222本题考查了分式的化简求值,解答此题的关键是把分式化到最简,然后代值计算. 四、解答题二(每小题7分,共21分) 20.(2019·陕西初三)解方程:
x132. 2xx2[答案]x=[解析] [分析]
2. 3分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解. [详解]
去分母得:1-x-2x+4=3,
2, 32经检验x=是分式方程的解.
3解得:x=[点睛]
此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
21.2019中国北京世界园艺博览会于2019年4月29日至10月7日在北京市延庆区举办,(2019·江西初三)预售期门票价然有“平日票”和“推定日票”两种,其中平日票的单价比指定日票的单价少40元1张:某学校计划组织学生去参观,用9600元购买的平日票的票数与用12800元购买的旅定日票的票数相等. (1)求该学校购买的平日票、指定日票的单价分别是多少元?
(2)若两种票共购买了200张,且购买的总费用是28800元,求购买了多少张平日票?
[答案](1)该学校购买的平日票、指定日票的单价分别是120元,160元;(2)购买了80张平日票. [解析] [分析]
(1)设指定日票的单价为x元,表示出平日票的单价,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;(2)设购买平日票y张、指定日票(200﹣y)张,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果. [详解]
(1)设指定日票的单价为x元,则平日票的单价为(x﹣40)元, 根据题意得:
960012800=, x40x去分母得:9600x=12800x﹣512000, 解得:x=160,
经检验x=160是分式方程的解, ∴x﹣40=160﹣40=120,
则该学校购买的平日票、指定日票的单价分别是120元,160元;
(2)设购买平日票y张、指定日票(200﹣y)张, 根据题意得:120y+160(200﹣y)=28800, 解得:y=80,
则购买了80张平日票. [点睛]
本题考查了分式方程及一元一次方程的应用,正确确定题目中的等量关系是解决问题的关键.
2xx2x1x22.(2019·河南郑州外国语中学初三)先化简,再求值:,其中x的值从不等式2x4x2x2,组的整数解中选取
3x181x22x[答案], x0时值为0(x1时值为).
2x1[解析] [分析]
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再解不等式组求得x的范围,据此得出整数的x值,继而根据分式有意义的条件得出x的值,代入计算可得. [详解]
xx22x(x2)(x2)x(x1)(x2)(x2)x22x. 原式22x2(x1)x2(x1)x1x2解不等式x2得,x2,
7, 37∴不等式组的解集为2x,
3解不等式3x18得,x其整数解有2,1,0,1,2. ∵原分式必须有意义, ∴x1,2,2.
将x0代入得,原式0.(或将x1代入得,原式[点睛]
本题主要考查分式的化简求值和解不等式组的能力,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
1) 2五、解答题三(每小题9分,共27分) 23.(2019·吉林初三)某学生在化简求值:
1212,其中x=时出现错误,解答过程如下, x1x13原式=
12 (第一步)
(x1)(x1)(x1)(x1)=
12(第二步)
(x1)(x1)=
3
(第三步) x21
12是,原式=13133当x=
278 (第四步)
(1)该学生解答过程从第 步开始出错的,其错误原因是 . (2)写出此题的正确解答过程.
[答案](1)一,分式的基本性质用错;(2)见解析. [解析] [分析]
(1)根据题目中的式子和分式的基本性质可以解答本题;
(2)根据分式的加法可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题. [详解]
解:(1)由题目中的式子可知,该学生解答过程从第一步开始出错,其错误原因是分式的基本性质用错, 故答案为:一,分式的基本性质用错; (2)
122 x1x1=
x12
(x1)(x1)(x1)(x1)x1
(x1)(x1)1, x1=
=
131当x=时,原式=12.
133[点睛]
本题考查分式的化简求值,解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.
24.(2019·张家界市民族中学初二期中)老师所留的作业中有这样一个分式的计算题:乙两位同学完成的过程分别如下:
2x52,甲、x1x1
老师发现这两位同学的解答都有错误.
请你从甲、乙两位同学中,选择一位同学的解答过程,帮助他分析错因,并加以改正.
(1)我选择 同学的解答过程进行分析.(填“甲”或“乙”)该同学的解答从第 步开始出现错误,错误的原因是 ; (2)请重新写出完成此题的正确解答过程.
2x52. x1x1[答案](1)甲,一,在通分时,两个分式没有按分式的基本性质运算;(2)[解析] [分析]
(1)观察解答过程,找出出错步骤,并写出原因即可; (2)先通分,再合并同类项,最后约分化简即可. [详解]
(1)我选择甲同学的解答过程进行分析.该同学的解答从第一步开始出现错误,错误的原因是在通分时,两个分式没有按分式的基本性质运算;
3. x1(2)
2x52 x1x12x1x1x1x5
x1x12x2x5
x1x13. x1故答案为:甲,一,在通分时,两个分式没有按分式的基本性质运算. [点睛]
本题主要考查分式的加减,熟练掌握运算法则是关键.
25.(2019·湖北初二月考)观察下列式子,探索它们的规律并解决问题
11111111=1-,,… 12223233434(1)用正整数
表示这个规律:
1=_________,
n(n1)11=______,=_______ 试着推论:
n(n2)n(n3)1_________,
n(nk)(2)用(1)中的结论计算:
111+...
n(n4)(n4)(n8)(n2016)(n2020)(3)用(1)中的结论解下列方程:
1111...
x(x1)(x1)(x2)(x2018)(x2019)2x4038[答案](1)
11111111111; ;;; nn12nn23nn3knnk(2)
505;(3)4038
n(n2020)[解析] [分析]
(1)由已知等式知连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差,据此可得; (2)利用所得规律化简原分式方程,解之可得. [详解] 解:(1)
111=
n(n1)nn11111=
n(n2)2nn21111=
n(n3)3nn31111=
n(nk)knnk(2)
111+...===
n(n4)(n4)(n8)(n2016)(n2020)1111111+... 4n2016n2020nn4n4n8=
111 4nn2020=
1n2020n 4n(n2020)505
n(n2020)=
(3)
1111...
x(x1)(x1)(x2)(x2018)(x2019)2x4038利用(1)的结论,原方程变形为:
1111111... xx1x1x2x2018x20192x4038111 xx20192x403820191
x(x2019)2(x2019)解方程,得:x=4038
检验:当x=4038时,2x(x+2019)≠0 ∴x=4038是原分式方程的解.
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