课程编号 002201 课程中文名称 实变函数论 48学时 2学分

课程编号 002201 课程中文名称 实变函数论 48学时/ 2学分

英文译名：Real Variable Functions

适用领域：数学、力学、计算机、控制理论等 开课单位：理学院 任课教师：杨海欧

教学目的：把现代分析学中的要点测度论与积分学介绍给博士生，这些内容是现代分析数学的基础，是深入研究微分方程、泛

函分析、概率等内容不可或缺的工具。目的是让学生接受严格的数学思维训练，引导学生掌握这些知识并使他们可以阅读理解当代文献

预备知识或先修课程要求：微积分（数学分析）、线性代数、偏微分方程（数学物理方程）、概率论与数理统计 教学方式及学时分配：课堂授课40学时，讨论8学时 学时 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

教学内容 集合和集的运算（集合概念、关系、运算、上下限集、函数与集） 实数点集（实数、上确界存在定理、上下极限、上下确界函数） 集合的映射与势（集合映射、集合对等、势、可列集、不可列集、p进位小数） 直线上的开集和闭集（开集与闭集、开集构造、Cantor集） 习题讨论课一 勒贝格测度引言、直线上有界点集内测度 直线上有界点集外测度，可测集 可测集的性质 直线上无界可测集 习题讨论课二 勒贝格可测函数的概念和性质（Ⅰ） 勒贝格可测函数的概念和性质（Ⅱ） 可测函数列的收敛性 可测函数的构造 习题讨论课三 勒贝格积分的定义 教学方式 授课 授课 授课 授课 课堂讨论 授课 授课 授课 授课 课堂讨论 授课 授课 授课 授课 课堂讨论 授课

2 2 2 2 2 2 2 2

勒贝格积分的性质（Ⅰ） 勒贝格积分的性质（Ⅱ） 勒贝格积分的性质（Ⅲ） 积分序列的极限（Ⅰ） 积分序列的极限（Ⅱ） 黎曼积分与勒贝格积分的比较 习题讨论课四 总复习与答疑 授课 授课 授课 授课 授课 授课 课堂讨论 授课讨论 教学主要内容以及对学生的要求：

第一章 集合与势 1. 理解集合的概念 2. 会进行集合运算 3. 理解对等与基概念

4. 理解（不）可列集概念，了解常见（不）可列集 5. 掌握实数定理，了解开、闭集关系与康托集 第二章 勒贝格测度

1． 理解内外测度的概念，掌握其性质 2. 理解可测集概念，掌握可测集性质 3． 了解无界可测集 第三章 勒贝格可测函数

1. 理解可测函数的概念，掌握可测函数的性质 2. 理解叶果洛夫定理，并会运用它 3. 掌握函数列的收敛性 4． 了解可测集的构造

5. 理解鲁津定理，法都定理并会运用

6. 掌握几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的概念和相关结论 第四章 勒贝格积分

1. 了解黎曼积分的概念

2. 理解勒贝格积分的概念，了解性质与黎曼积分的关系 3 理解一般可积函数概念，了解它们的性质 4. 理解积分的极限定理，并会运用

5. 了解勒贝格积分的几何意义，理解Fubini定理 6. 了解有界变差函数的概念及性质 7. 了解斯蒂阶积分的概念 8. 了解勒贝格-斯蒂阶积分的概念 9. 掌握R积分与L积分的区别

内容摘要：自从20世纪初Lebesgue在Borel测度基础上建立了Lebesgue测度和Lebesgue积分以来，在数学的许多领域中，

如在实分析、复分析、调和分析、泛函分析、微分方程、及偏微分方程中，都产生了极大影响，它还有助于概率理论的建立，对于上世纪末才发展的分形几何也起着引导作用。正因为如此，我们说实变函数的研究内容、研究方法均为现代分析的基础，并渗透到数学各分支. 《实变函数论》把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域作更加细致的剖析。这使得实分析处理问题的思想方法更加活跃，可使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征．

课程编号 002202 课程中文名称 高级统计学 32学时/ 2学分

英文译名：Advanced Statistics

适用领域：自然科学、社会科学、工程技术等领域 开课单位：理学院 任课教师：王锋

教学目的：高级统计学主要介绍的是多元统计分析的内容。多元统计分析是统计学中内容十分丰富、应用性极强的一个重要分

支，它在自然科学、工程技术、社会科学和经济学等领域都得到了广泛的应用，是一种非常重要和实用的多元数据处理方法。开设这门课程的目的是使学生系统地了解多元统计分析的基本概念和基本原理，掌握一些常用的多元统计思想和统计方法，培养其分析自然科学、工程技术、社会科学及经济问题，构建相关统计模型，并运用相关统计软件（SPSS、Eviews、SAS）加以解决的实际能力。

预备知识或先修课程要求：高等数学，概率论与数理统计，线性代数

教学方式及学时分配：课堂授课24学时、课堂讨论8学时 学时 教学内容 4 4 4 4 和非负定阵，二次型的极值。 随机向量：随机变量及其分布，矩，随机向量的变换，多元特征函数简介。 向量u及协方差阵∑的极大似然估计，维希特分布与Hotlling分布。 多元正态总体的统计推断：均值的检验，均值分量间结构关系的检验，两总体均值的比授课 较检验，两总体均值分量间结构关系的检验，多元方差分析（多个总体均值的比较检验），总体相关系数的检验。 4 判别分析：距离判别，贝叶斯判别，典型判别。 授课及讨论 4 聚类分析：距离和相似系数，系统聚类法，系统聚类法的统一。 授课及讨论 4 主成分分析：总体主成分， 样本主成分。 授课及讨论 2 因子分析：因子模型及参数估计，因子得分，因子旋转。 授课及讨论 2 典型相关分析：总体典型相关，样本典型相关，典型相关系数的显著性检验。 授课及讨论 教学主要内容及对学生的要求：要求学生理解、掌握多元正态总体的参数估计和检验，判别分析，聚类分析，主成分分析，因

子分析，典型相关分析的基本原理和方法，并会用于实际问题。

内容摘要：该课程的主要内容有：多元正态分布、多元正态总体的统计推断、判别分析、聚类分析、主成分分析、因子分析、

典型相关分析。其各章要求如下： 第一章 绪论及矩阵代数

了解多元统计分析方法与传统分析方法的区别，以及能够适用的范围和解决的问题；掌握多元统计所需要的矩阵理论。

第二章 随机向量

掌握随机向量定义、密度函数、分布函数、随机向量的数字特征的概念及性质。

教学方式 矩阵代数：矩阵代数的基本概念，矩阵的行列式、逆、秩，特征值与特征向量，正定阵授课 授课 多元正态分布：多元正态分布的定义，多元正态分布的性质，条件分布与性，均值授课

第三章 多元正态分布

掌握多元正态分布的含义和基本性质。 第四章 多元正态总体的统计推断

了解单个、两个及多个总体的均值的检验，均值分量间结构关系的检验，两总体均值的比较检验，两总体均值分量

间结构关系的检验，多元方差分析（多个总体均值的比较检验），总体相关系数的检验的方法。 第五章 判别分析

掌握判别分析的原理，判别函数和新样品类别的判断。 第六章 聚类分析

掌握聚类分析的原理，模型以及判断方法。 第七章 主成分分析

了解主成份分析的原理，以及主成份分析法的用途。

第八章 因子分析

掌握因子分析的原理，因子的提取和分析，因子分析在实际问题的应用。 第九章 典型相关分析

: 掌握典型相关分析的原理、用途，了解典型相关分析在实践中的应用。 考核方式：闭卷笔试占40%，论文占20%，课堂讨论占20%，平时作业占20% 课程主要教材：应用多元统计，王学民，上海：上海财经大学出版社，2005 主要参考书目：

[1]多元统计分析．何晓群．中国人民大学出版社，2004 [2]实用多元统计分析．方开泰．华东师范大学出版社，19 [3]多元统计分析引论．张尧庭、方开泰．科学出版社，1997

[4]SPSS统计分析实例精选．蔡建琼、于惠芳、朱志洪．清华大学出版社2006年

课程编号：002203 课程中文名称：高等应用数学 48学时/ 2学分

英文译名： Altitude applied mathematics 适用领域：数学、自然科学各领域 开课单位：理学院 任课教师：罗跃生

教学目的：使学生掌握解决实际问题的一些有力的手段，并提高利用近代数学方法解决科学技术领域出现的问题的能力。 预备知识或先修课程要求：高等数学、常微分方程、线性代数、复变函数、实变函数等。 教学方式及学时分配：课堂授课，48学时。 学时 教学内容 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4

教学方式 授课 授课 授课 授课 授课 授课 授课 授课 授课 授课 授课 授课 授课 授课 第一、第二种Volterra积分方程 Abel积分方程 卷积型积分方程 Volterra积分方程组 非线性Volterra方程 具有退化核的Fredholm积分方程 核的分解豫解核的半纯性质 择一原理 弱奇性核的积分方程 K空间 广义函数的定义 广义函数的运算 广义函数的Fourier变换 广义函数的卷积

4 4 4 泛函的极值问题极其必要条件 泛函的条件极值问题 变分法的应用 授课 授课 授课 教学主要内容及对学生的要求：教学主要内容为积分方程、广义函数、特殊函数、变分法等。要求学生会求解最基本的积分方

程，掌握广义函数的基本理论，并会利用广义函数的基本理论解决简单的应用问题。会利用常见的特殊函数解决微分方程等数学问题。会利用变分法解决工程和科学技术中的一些问题。具体要求：了解空间与算子、积分方程的核；K空间、广义函数的定义；泛函的极值问题、变分等基本概念。掌握第一、第二种弱奇性积分方程、Abel积分方程、具有退化核的Fredholm积分方程求解方法。掌握广义函数的基本运算、广义函数的Fourier变换、广义函数的卷积的方法。熟悉函数与函数、勒让德多项式、贝塞尔函数等特殊函数。基本掌握泛函的极值问题极其必要条件、泛函的条件极值问题。

内容摘要：高等应用数学综合了积分方程、广义函数、特殊函数、变分法等多种近代应用数学理论和方法，是解决物理学、力

学、工程技术等领域中问题的有力数学手段。高等应用数学中讲授的各种方法可以更科学、更准确地描述自然界和科学技术领域中出现的很多现象，并为更精确地计算出相应的结果提供理论保证。（300-500字）、第一、第二种弱奇性积分方程、Abel积分方程、卷积型积分方程、Volterra积分方程组、非线性Volterra方程、具有退化核的Fredholm积分方程、核的分解豫解核的半纯性质、择一原理、弱奇性核的积分方程；K空间、广义函数的定义、广义函数的运算、广义函数的Fourier变换、广义函数的卷积；函数与函数、勒让德多项式、贝塞尔函数；泛函的极值问题极其必要条件、泛函的条件极值问题、变分法的应用。

考核方式：开卷，笔试。

课程主要教材：简明泛函分析.罗跃生，杜维华．哈尔滨工程大学出版社，2003 主要参考书目：

［1］泛函分析讲义．张恭庆等．北京大学出版社，2003

[2]数学物理方法．郭敦仁．人民教育出版社，1983

[3]积分方程．张石生．重庆出版社，2002

[4]实变函数论与泛函分析．夏道行等．人民教育出版社，2004

[5]变分法．哈尔滨工业大学数学教研室．哈尔滨工业大学出版社，1996

课程编号：002204 课程中文名称：现代工程数学 48学时/ 3学分

英文译名：Modern Engineering Mathematics 适用领域：自然科学各领域 开课单位：理学院 任课教师：林锰

教学目的：现代工程数学是工科各专业博士研究生的学位课程。主要采用极为有力的表述形式和高度抽象的观点、方法，理论

阐明空间的集合结构、性质等，其内容包括实变函数、拓扑学、抽象代数、线性空间理论，具有广泛联系各种实际事物的可能性。因此，现代工程数学的理论和方法可以广泛地应用到工程技术的各个分支上，而且在自然科学和其它科学领域的许多学科诸如电路网络，理论物理，计算机，控制论等都具有广泛的应用。因此，学习该课程不仅使

学生掌握基本的基础理论及方法，而且为学生未来发展奠定良好的基础，并能增强学生的抽象思维和逻辑思维能力和分析问题和解决问题的手段和方法。

预备知识或先修课程要求：线性代数、实变函数、拓扑学、抽象代数 教学方式及学时分配：课堂授课44学时，课堂讨论4学时

学时 教学内容 4 10 6 4 6 6 8 4

教学主要内容及对学生的要求：

（1）要求学生掌握运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R中点集、可测集和

可测函数，Lebesgue积分理论，

（2）要求学生掌握拓扑空间，连续映射的基本概念，乘积空间，商空间等重要而常用的概念以及它们的性质。 （3）要求学生掌握线性空间与线性变换的基本概念，掌握几个特殊的线性空间，并掌握响应的矩阵理论。

内容摘要：主要采用极为有力的表述形式和高度抽象的观点、方法，理论阐明空间的集合结构、性质等，具有广泛联系各种实

际事物的可能性。因此，现代工程数学的理论和方法可以广泛地应用到工程技术的各个分支上，而且在自然科学和其它科学领域的许多学科诸如电路网络，理论物理，计算机，控制论等都具有广泛的应用。学习该课程不仅使学生掌握基本的基础理论及方法，而且为学生未来发展奠定良好的基础，并能增强学生的抽象思维和逻辑思维能力和分析问题和解决问题的手段和方法。该课程主要内容包括：集合和Rn中的点集，测度与可测函数，Lebesgue积分，拓扑空间与连续映射，拓扑性质与同胚，线性空间与线性变换，特殊的线性空间和特殊的线性变换等。

考核方式：闭卷，笔试

课程主要教材：点集拓扑讲义. 熊金城等. 高等教育出版社，2001

n

教学方式 授课 授课 授课 授课 授课 课堂讨论 授课 课堂讨论 集合和Rn中的点集 测度与可测函数 Lebesgue积分 拓扑空间与连续映射 拓扑性质与同胚 线性空间与线性变换 特殊的线性空间和特殊的线性变换 专题讨论

主要参考书目：

[1] 实变函数与泛函分析. 曹广福. 高等教育出版社，2004 [2] 线性空间引论. 叶明训. 武汉大学出版社，2002 [3] 矩阵论. 卜长江. 哈尔滨工程大学出版社，2003

课程编号 002205 课程中文名称：偏微分方程数值解

英文译名：Numerical Solution of Differential Equations 适用领域：工科各领域。 开课单位：理学院

任课教师：冯国峰、沈继红

32学时/ 2学分

教学目的：通过本门课程的学习，使得研究生能够针对特殊的数学物理方程定解问题使用离散化方法进行离散近似，形成对应

的数值求解问题，并且能够构造出相应的数值求解格式，并对其进行截断误差、收敛性、稳定性分析，使得研究生掌握丰富的数值计算理论和充足的实践技巧，提高研究生把数值分析理论在计算机上实现、并应用到实际工程问题的能力。

预备知识或先修课程要求：学习本门课程的同学，应该具有一定的数学理论基础，应该学习过高等数学、线性代数、数值分析

等课程，并且对于计算机编程有简单初步的了解。

教学方式及学时分配：课堂授课，32学时 学时 教学内容 8 6 6 6 6 误差估计、一维高次元、二维矩形元、三角形元的选取与构造原则。 椭圆型方程的有限差分法：有限差分法的构造方式，二维椭圆边值问题的差分格式、极授课 值原理、敛速估计、有限体积法。 抛物型方程的有限差分法：抛物型方程的最简差分格式、稳定性与收敛性、Fourier方授课 法、判别差分格式稳定性的代数准则、有限体积法。 双曲型方程的有限差分法：波动方程的差分逼近、一阶双曲型方程组、双曲方程差分格授课 式的构造、有限体积法 离散化方程的解法：离散方程组的基本迭代法、交替方向迭代法、预处理共轭梯度法、授课 多重网格方法。 教学方式 求解微分方程的有限元法：Sobolov空间、极小位能原理与虚功原理；有限元法的构造、授课 教学主要内容以及对学生的要求：

一、掌握数值求解微分方程的有限元法与有限差分法的构造。

二、并对数值求解方法进行简单的误差估计、收敛性、稳定性分析。 三、能够使用计算机编程来实现理论方法，提高研究生的实践能力。

内容摘要：科学计算在各门自然科学和科学技术与工程科学中起着越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可或缺的工具。

而科学与工程计算中最重要的内容就是求解在科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。数值求解偏微分方程通常需要对偏微分方程的定义域进行区域剖分，对偏微分方程进行离散、研究离散系统的形态（包括解的适定性与收敛性、收敛速度）、最后对离散系统计算求解。因此，本课程主要介绍了数值求解偏微分方程经常使用的数值计算方法，包括：变分形式和有限元法、针对三类偏微分方程（椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程）建立的有限差分法和有限体积法、离散化方程的解法。

考核方式：闭卷，笔试。

课程主要教材：偏微分方程数值解法．李荣华．高等教育出版社，2005 主要参考书目：

［1］数值计算引论．白峰杉．高等教育出版社，2004

［2］微分方程数值方法．胡健伟，汤怀民．科学出版社，2007 ［3］偏微分方程数值解法．陆金甫，关治．清华大学出版社，2004