(一轮)导数及其应用第2节第2课时导数与函数的极值最值学案含解析新人教A版

一、教材概念·结论·性质重现 1．函数的极值与导数 条件 x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0 f ′(x0)＝0 x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0 图象 形如山峰 极值 极值点 (1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定． (2)对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．函数的最值与导数 (1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值． (2)若函数f (x)在区间[a，b]内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． f (x0)为极大值 x0为极大值点 形如山谷 f (x0)为极小值 x0为极小值点 (3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系． 二、基本技能·思想·活动体验 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)函数的极大值不一定比极小值大．

(2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (3)函数的极大值一定是函数的最大值． (4)开区间上的单调连续函数无最值．

2．f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为( )

(√) (×) (×) (√)

A．1 B．2 C．3 D．4

A 解析：由题意知在x＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x＝－1左减右增．故选A．

3．函数f (x)＝2x－xln x的极大值是( ) 12

A． B． C．e D．e2

ee

C 解析：f ′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f ′(x)＝0，得x＝e.当00；当x>e时，f ′(xx＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e.

4．若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( ) A．4 B．2或6 C．2 D．6

C 解析：函数f (x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝3x2－4cx＋c2.

由题意知，f (x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6.

又函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正．当c＝2时，f (x)＝x(x－2)2的导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，即在x＝2处有极小值．而当c＝6时，f (x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值．故c＝2.

5．函数f (x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________． 8 解析：f ′(x)＝6x2－4x＝2x(3x－2)． 2由f ′(x)＝0，得x＝0或x＝.

3

28

因为f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ＝－，f (2)＝8，所以最大值为8. 327

考点1 利用导数求函数的极值——综合性

考向1 根据函数的图象判断函数的极值

(多选题)已知函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图

象如图所示，则( )

A．函数f (x)有极大值f (2) B．函数f (x)有极大值f (－2) C．函数f (x)有极小值f (－2) D．函数f (x)有极小值f (2)

BD 解析：由题图可知，当x<－2时，f ′(x)>0；当－22时，f ′(xf (x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

根据函数的图象判断极值的方法 根据已知条件，分情况确定导数为0的点，及导数为0点处左右两侧导数的正负，从而确定极值类型． 考向2 已知函数解析式求极值 已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．

1

(1)当a＝时，求f (x)的极值；

2

(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．

11112－x

解：(1)当a＝时，f (x)＝ln x－x，定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝－＝.

22x22x令f ′(x)＝0，解得x＝2.

于是当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表.

x f ′(x) f (x) (0，2) ＋ ↗ 2 0 ln 2－1 (2，＋∞) － ↘ 故f (x)在定义域上的极大值为f (2)＝ln 2－1，无极小值． 1－ax1

(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－a＝.

xx当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，

即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x)在定义域上无极值点； 1

0，时，f ′(x)>0， 当a>0，x∈a1x∈a，＋∞时，f ′(x)<0， 1

故函数f (x)在x＝处有极大值．

a

综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值点； 1

当a>0时，函数f (x)有一个极大值点，且为x＝.

a

求函数极值的一般步骤 (1)先求函数f (x)的定义域，再求函数f (x)的导函数； (2)求f ′(x)＝0的根； (3)判断在f ′(x)＝0的根的左、右两侧f ′(x)的符号，确定极值点； (4)求出函数f (x)的极值． 考向3 已知函数的极值求参数 设函数f (x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.

(1)若曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行，求a； (2)若f (x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围． 解：(1)因为f (x)＝[ax2－(4a＋1)·x＋4a＋3]ex， 所以f ′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex， f ′(1)＝(1－a)e.

由题设知f ′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.

所以a的值为1.

(2)由(1)得f ′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex. 11

若a>，则当x∈a，2时，f ′(x)<0； 2当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0. 所以f (x)在x＝2处取得极小值．

11

若a≤，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，所以f ′(x)>0.

22所以2不是f (x)的极小值点． 1综上可知，a的取值范围是2，＋∞.

已知函数极值点或极值求参数的两个关键 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证该点左右两侧的正负．

1

－，4上的函数f (x)的导函数f ′(x)图象如图所示，则下列结论1．(多选题)定义在区间2正确的是( )

A．函数f (x)在区间(0,4)单调递增 1

－，0单调递减 B．函数f (x)在区间2C．函数f (x)在x＝1处取得极大值 D．函数f (x)在x＝0处取得极小值

1

－，0上，f ′(x)<0，f (x)单调递减，在ABD 解析：根据导函数图象可知，f (x)在区间2

区间(0,4)上，f ′(x)＞0，f (x)单调递增．所以f (x)在x＝0处取得极小值，没有极大值．所以A，B，D选项正确，C选项错误．故选ABD．

x3－9，x≥0，

2．(2020·青岛一模)已知函数f (x)＝x…为自然对数的底数)．若f (x)的零

xe，x<0

点为α，极值点为β，则α＋β＝( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

C 解析：当x≥0时，f (x)＝3x－9为增函数，无极值．令f (x)＝0，即3x－9＝0，解得x＝2，即函数f (x)的一个零点为2；当x<0时，f (x)＝xex<0，无零点，f ′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，则当－12x＋1

3．函数f (x)＝2的极小值为________．

x＋2

2x2＋2－2x2x＋1－2x＋2x－11

－ 解析：f ′(x)＝＝. 2x2＋22x2＋22令f ′(x)<0，得x<－2或x>1； 令f ′(x)>0，得－2所以f (x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2，1)上单调递增， 1所以f (x)极小值＝f (－2)＝－.

2

4．设函数f (x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)．

(1)当a＝1，且函数图象过点(0,1)时，求函数f (x)的极小值； (2)若f (x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围． 解：f ′(x)＝3ax2－4x＋1.

(1)函数f (x)的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c＝1.

1

当a＝1时，f ′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．令f ′(x)>0，解得x<或x>1；令f ′(x)<0，

3111

－∞，和(1，＋∞)上单调递增；在，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－解得(2)若f (x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x)≥0

或f ′(x)≤0恒成立．

①当a＝0时，f ′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；

②当a>0时，f ′(x)≥0或f ′(x)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即1

－12a≤0，解得a≥.

3

4

，＋∞. 综上，a的取值范围为3

考点2 利用导数求函数的最值——应用性

(2020·北京卷)已知函数f (x)＝12－x2.

(1)求曲线y＝f (x)的斜率等于－2的切线方程；

(2)设曲线y＝f (x)在点(t，f (t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．

解：(1)因为f (x)＝12－x2， 所以f ′(x)＝－2x.

设切点为(x0,12－x20)，则－2x0＝－2，即x0＝1，所以切点为(1,11)． 由点斜式可得切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0. (2)显然t≠0，

因为y＝f (x)在点(t,12－t2)处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)， 即y＝－2tx＋t2＋12. 令x＝0，得

y＝t2＋12；令

t2＋12y＝0，得x＝.

2t

t2＋12t2＋1221

所以S(t)＝×(t2＋12)·＝，t≠0，显然为偶函数．

22|t|4|t|只需考察t＞0即可(t<0时，结果一样)， t4＋24t2＋1441144

t3＋24t＋， 则S(t)＝＝t4t414412

3t＋24－2 S′(t)＝t4

3t4＋8t2－48＝

4t23t2－4t2＋12＝

4t23t－2t＋2t2＋12＝.

4t2

由S′(t)>0，得t>2；由S′(t)<0，得0所以S(t)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以t＝2时，S(t)取得极小值，也是最小值为S(2)＝综上所述，当t＝±2时，S(t)min＝32.

求函数f (x)在区间[a，b]上的最大值与 最小值的步骤 (1)求函数在区间(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点处的函数值f (a)，f (b)； (3)将函数f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

1x2已知k∈2，1，函数f (x)＝(x－1)e－kx. (1)求函数f (x)的单调区间； (2)求函数f (x)在[0，k]上的最大值．

解：(1)由题意得f ′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)． 1因为k∈2，1，所以1＜2k≤2.

16×16

＝32. 8

x＞0，x＜0，

令f ′(x)＞0，所以或解得x＞ln 2k或x＜0.

xxe－2k＞0e－2k＜0，

所以函数f (x)的单调递增区间为(ln 2k，＋∞)，(－∞，0)．

x＞0，x＜0，

令f ′(x)＜0，所以或解得0＜x＜ln 2k.

xxe－2k＜0e－2k＞0，

所以函数f (x)的单调递减区间为(0，ln 2k)．

所以函数f (x)的单调递增区间为(ln 2k，＋∞)，(－∞，0)，单调递减区间为(0，ln 2k)． 11k－1(2)令φ(k)＝k－ln (2k)，k∈2，1，φ′(k)＝1－＝≤0.

kk1

所以φ(k)在2，1上是减函数． 1所以φ(1)≤φ(k)＜φ2.

1

所以1－ln 2≤φ(k)＜＜k，即0＜ln (2k)＜k.

2所以f ′(x)，f (x)随x的变化情况如下表：

x f ′(x) f (x) f (0)＝－1， f (k)－f (0)＝(k－1)ek－k3－f (0) ＝(k－1)ek－k3＋1 ＝(k－1)ek－(k3－1)

＝(k－1)ek－(k－1)(k2＋k＋1) ＝(k－1)[ek－(k2＋k＋1)]． 1

因为k∈2，1，所以k－1≥0.

1k2对任意的k∈2，1，y＝e的图象恒在直线y＝k＋k＋1的下方， 所以ek－(k2＋k＋1)≤0.所以f (k)－f (0)≥0，即f (k)≥f (0)． 所以函数f (x)在[0，k]上的最大值f (k)＝(k－1)ek－k3.

考点3 极值与最值的综合应用——综合性

(2020·山东师范大学附中高三质评)已知函数f (x)＝x2·eax1－bln x－ax(a，b∈R)．

＋

(0，ln (2k)) － ↘ ln (2k) 0 极小值 (ln (2k)，k) ＋ ↗ (1)若b＝0，曲线f (x)在点(1，f (1))处的切线与直线y＝2x平行，求a的值； (2)若b＝2，且函数f (x)的值域为[2，＋∞)，求a的最小值． 解：(1)当b＝0时，f (x)＝x2eax＋1－ax，x>0， f ′(x)＝xeax＋1(2＋ax)－a. 由f ′(1)＝ea＋1(2＋a)－a＝2，

得ea＋1(2＋a)－(a＋2)＝0，即(ea＋1－1)(2＋a)＝0，解得a＝－1或a＝－2. 当a＝－1时，f (1)＝e0＋1＝2，此时直线y＝2x恰为切线，舍去．所以a＝－2. (2)当b＝2时，f (x)＝x2eax＋1－2ln x－ax，x>0. 设t＝x2eax＋1(t>0)，则ln t＝2ln x＋ax＋1， 故函数f (x)可化为g(t)＝t－ln t＋1(t>0)．

1t－1

由g′(t)＝1－＝，可得g(t)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)，

tt所以g(t)的最小值为g(1)＝1－ln 1＋1＝2. 此时，t＝1，函数f (x)的值域为[2，＋∞)． 问题转化为：当t＝1时，ln t＝2ln x＋ax＋1有解， 1＋2ln x

即ln 1＝2ln x＋ax＋1＝0，得a＝－.

x1＋2ln x2ln x－1

设h(x)＝－，x>0，则h′(x)＝，

xx2

故h(x)的单调递减区间为(0，e)，单调递增区间为(e，＋∞)， 所以h(x)的最小值为h(e)＝－故a的最小值为－

求解函数极值与最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，函数的解析式含参数时，要讨论参数的大小． (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值． 2

. e

2， e

1．(2021·福建三校联考)若方程8x＝x2＋6ln x＋m仅有一个解，则实数m的取值范围为( )

A．(－∞，7) B．(15－6ln 3，＋∞) C．(12－61n 3，＋∞)

D．(－∞，7)∪(15－6ln 3，＋∞)

D 解析：方程8x＝x2＋6ln x＋m仅有一个解等价于函数m(x)＝x2－8x＋6ln x＋m(x>0)的

2

62x－8x＋6

图象与x轴有且只有一个交点．对函数m(x)求导得m′(x)＝2x－8＋＝＝

xx

2x－1x－3

.

x

当x∈(0,1)时，m′(x)>0，m(x)单调递增； 当x∈(1,3)时，m′(x)<0，m(x)单调递减； 当x∈(3，＋∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增，

所以m(x)极大值＝m(1)＝m－7，m(x)极小值＝m(3)＝m＋6ln 3－15.

所以当x趋近于0时，m(x)趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，m(x)趋近于正无穷， 所以要使m(x)的图象与x轴有一个交点，必须有m(x)极大值＝m－7<0或m(x)极小值＝m＋6ln 3－15>0，即m<7或m>15－6ln 3.故选D．

32－x＋xx<1，2．已知函数f (x)＝

aln xx≥1.

(1)求f (x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．

2

解：(1)当x<1时，f ′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当x变

3化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：

x f ′(x) f (x) (－∞，0) － ↘ 0 0 极小值 0，2 3＋ ↗ 2 30 极大值 2，1 3－ ↘ 2

故当x＝0时，函数f (x)取得极小值为f (0)＝0，函数f (x)的极大值点为x＝.

3

22

，1上单调递减，在0，上单调(2)①当－1≤x<1时，由(1)知，函数f (x)在[－1,0]和33递增．

24

因为f (－1)＝2，f 3＝27，f (0)＝0， 所以f (x)在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x≤e时，f (x)＝aln x， 当a≤0时，f (x)≤0；

当a>0时，f (x)在[1，e]上单调递增， 则f (x)在 [1，e]上的最大值为f (e)＝a. 故当a≥2时，f (x)在[－1，e]上的最大值为a； 当a<2时，f (x)在[－1，e]上的最大值为2.