甘肃省天水一中2010届高三上学期第三阶段考试数学试卷(理科)

天水市一中2007级2009-2010学年度第一学期第三阶段考试

数学试题（理）

命题：汪生武 审核：高胜祥 李茂生

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1．设全集U0,1,2,3,4，集合函数A1,2，则CUA等于 A．1,2,

B．{3，4}

C．{0，3，4}

（

）

D．{0，1} 2．已知costan＜0，那么角是 A．第一或第二象限角

C．第三或第四象限角

（ ）

B．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角

3．设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中的真命题是（ ） A．

c//c//bb B． C． D．cb//c c//c//cb//c4．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为

33,

33 （ ）

]

A．[3,3] B．(3,3) C．[D．(33,33)

5．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、

CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是

 A． B．

42

C．arccos105 D．arccos155

6．函数yAsin(x)(0,||

A．y4sin(B．y4sin(82

,xR)的部分图象如图所示，则函数为 ( )

8x4)

x4)

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C．y4sin(D．y4sin(8x44)

8x)

7．已知命题p：关于x的不等式|x1||x2|m的解集为R；命题

q:f(x)logx在(0,)上为减函数，则p是q成立的 （ ）

(52m)

A．必要不充分条件 C．充要条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．函数f(x)axloga(x1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值（ ）

A．4

lg|x|xB．2 的图象大致是

C．

14 D．

12

（ ）

9．函数y

10．设过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦PQ,则以PQ为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A．相切 B相交 C．相离 D．以上答案均有可能 11．已知数列an满足a11,a22，

an1anan12an2an1an1 ,(nN)，则a13等于（ ）

A．26 B．24 C．212!

2D．213!

1312．已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y8x相交A、B两点，F为C的焦点。若FA2FB,则k= ( )

13(A) (B)

23 (C)

23 (D)

223

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知向量a(2,1),ab(1,k),若ab,则实数k等于_____________。

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xy1114．已知x,y满足x则函数zx3y的最大值是 .

22xy415．已知ab0，则a216bab的最小值是

16.空间四边形ABCD中,到A的距离是到B，C，D距离的一半的平面有 个 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本题12分）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

sinA55,sinB1010

（I）求AB的值； （II）若ab21，求a、b、c的值。

18．（本题12分）如图，棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，

PAAD3,AB4，Q为棱PD上一点，且DQ2QP.

P Q

（Ⅰ）求二面角QACD的余弦值； （Ⅱ）求点C到平面PBD的距离.

C 319．（本题10分）盒子里装有大小相同的球8个，其中三个1号球，三个2号球，两个号球。第一次从盒子中先任取一个球，放回后第二次再任取一个球，

（1）求第一次与第二次取到的球上的号码的和是4的概率； （2）记第一次与第二次取到的球上的号码的积小于6的概率。

20．（本题12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为(0,1)，

离心率等于

22A D

.直线l与椭圆Γ交于M,N两点.

（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

（II）若椭圆Γ的右焦点F恰好为BMN的垂心,试求出直线l的方程.

21．（本题12分）

2nn已知：fn(x)a1xa2xanx,fn(1)(1)n,(n1,2,3)

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（1）求a1,a2,a3；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求 证：fn()1.

31

22. （本题12分）设x1,x2(x1x2)是函数f(x)ax3bx2a2x(a0)的两个极值点. （1）若x11,x22,求函数f(x)的解析式； （2）若|x1||x2|22,求b的最大值；

（3）设函数g(x)f(x)a(xx1),x(x1,x2).当x2a时，求证：

|g(x)|112a(3a2).

2

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天水市一中2007级2009-2010学年度第一学期第三阶段考试

数学答案（理）

命题：汪生武 审核：高胜祥 李茂生

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1-5：ＣＣCＡＤ ６－10：ＡＡＤＤA 11-12：ＣＤ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13． _____3________。14． 2 .15． 16 16. 8 个

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本题12分）（I）∵A、B为锐角，sinA55,sinB1010

∴ cosA1sinA2255,cosB1sinB23101055 cos(AB)cosAcosBsinAsinB25531010101022.

∵ 0AB

∴ AB „„„„„„„„„„„„„„„„6分

434（II）由（I）知C 由

asinAbsinB，∴ sinCcsinC22

得

2b,c5b

5a10b2c，即a又∵ ab∴ 2bb∴ a2,c21

21 ∴ b1

5 „„„„„„„„„„„„„„„„12分

18．（本题12分） 解法一：

P Q

（Ⅰ）在棱AD取三等分点M，使DM2MA，则QM//PA，PA⊥平面ABCD， 平面ABCD，过点M作MNAC于N，连结QN， QM⊥

A 则QNAC，QNM为所求二面角QACD的平面角.

P Q C

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D

A M D

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在QMN中，QM2,MNAMCDAC45，

QNQM2MN22295.

，

cosQNMMNQN22929所以，二面角QACD的余弦值为22929.

P （Ⅱ）因为AOOC，所以点C到平面PBD的距离等于 平面ABCD， A到平面PBD的距离，PA⊥

过点A作AGBD于G，连结PG，则PGBD， 平面PAG，过点A作AHPG于H， BD⊥

则AH平面PBD，AH为所求距离，

3125124141.

A

H

D

G O

C

AHPAAGPG3415所以，求点C到平面PBD的距离为解法二：

124141.

z P Q 证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、 B(4，0，0)、C(4，3，0), 有已知得Q(0,1,2)，

得PD(0,3,3),AC(4,3,0).

A D y C x 设平面QAC的法向量为n1(x,y,z)，则n1PD0,n1AC0， 3xy0y2z04即，∴，

4x3y001zy2令y4，得到平面QAC的一个法向量为n1(3,4,2)

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∵PA⊥平面ABCD，∴AP(0,01)为平面ABCD的法向量.

n1AP设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得cosn1AP（Ⅱ）由（Ⅰ）得PB(4,0,3),PD(0,3,3)

22922929.，

设平面PBD的法向量为n2(x,y,z)，则n2PB0,n2PD0，

4x03z0即，∴令x3，得到平面QAC的一个为法向量为n2(3,4,4)

03y3z0 ∵BC(0,3,0)，

nBC121241. ∴C到面PBD的距离为d24141n219．（本题10分）解：（1）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是4”为事件A，则P(A)23828383821 „„„„5分

21. „„„„6分

所以第一次与第二次取到的地球上的号码的和是4的概率

（2）记“第一次与第二次取到的上的号码的积不小于6”为事件B，则

P(B)131611634 „„„„11分

34所以第一次与第二次取到的地球上的号码的积不小于6的概率

20．（本题12分） （Ⅰ）设椭圆C的方程为

xa22 „„„„12分

yb221(ab0)，则由题意知b = 1.

aba22222.即11a222.a22.

∴椭圆C的方程为

x22y21. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

（Ⅱ）易知直线BF的斜率为1，从而直线l的斜率为1.设直线的方程为yxm，

代如椭圆的方程，并整理可得3x4bx2(b1)0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则

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x1x243m，x1x22m232.于是

NFBM(1x2)x1y2(y11)

x1y2x1x2y1y2x1x2mx1x2(x1m)(x2m)2x1x2(1m)(x1x2)mm202m22

223(1m)(4m3)mm解之得m1或m43.

43当m1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意.当m圆相交，符合题意.

所以，当且仅当直线l的方程为yx43时，经检验知l和椭

时, 点F是BMN的垂心. 12分

21．（本题12分）、解：（1）由已知f1(1)a11,所以a11„„„„„„1分

f2(1)a1a22所以a23

f3(1)a1a2a33,所以a35„„„„„„3分

（2）(1)n1an1fn1(1)fn(1)(1)n1(n1)(1)n

nan1(n1)n

即an12n1

所以对任意的n=1,2,3,„„, an2n1„„„„„„„„7分

23n（3）解：fn(x)x3x5x(2n1)x

1112131nfn()3()5()(2n1)()①

33333111213141n1fn()()()5()(2n1)() ② 333333①—②，得

21112131n1n1fn()2()2()2()(2n1)()„„„„„„„„9分 3333333本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！

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1n1[1()]191n13(2n1)()

1331322n2n() 3331n1 fn()1n331又n1,2,3,,故fn()1„„„„„„„„12分

32

22．（本题12分）解：（1）f(x)ax3bx2a2x(a0),

22f(x)3ax2bxa(a0). 1分

f(1)0, 依题意有f(2)023a2ba0(a0).

212a4ba0

a6,解得

b9.f(x)6x9x36x. 4分

32 （2）f(x)3ax22bxa2(a0).

依题意，x1,x2是方程f(x)0的两个根， 且|x1||x2|22,

(2b3a)2(2(x1x2)2x1x22|x1x2|8.

a3|8,

2a3)2|b23a(6a).

2b20,0a6. 6分

22设p(a)3a(6a),则p(a)9a36a. 由p(a)0得0a4；

由p(a)0得a4.

所以函数p(a)在区间(0,4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数. 当a4时,p(a)有极大值为96，

b的最大值为46. 9分

P(a)在(0,6]上的最大值为96.

（III）x1,x2是方程f(x)0的两根，

可设f(x)3a(xx1)(xx2).

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x1x2a3,x2a,x113.

∴g(x)3a(x13)(xa)a(x13)

=a(x13)3(xa)1 11分 13

∵x1＜x＜x2,即|g(x)|a(x13＜x＜a,

)(3x3a1),

即|g(x)|3a(x13)(x3a132)3a(xa2)23a43a213a

3a43aa12213aa(3a2)122.

|g(x)|(3a2)成立 12

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