完整六年级数学难题解析

一、基本概念：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。解决行程问题关键在于确定行程过程中的位置。

二、基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间 三、行程问题的分类及公式

1、相遇问题：相向（离）运动的物体，当各自位移大小之和等于开始时两物体的距离，即相遇（离）问题。 （速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程； 相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间； 相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。

练习1、甲、乙两列火车同时从A、B两城相对开出，行了3.2小时后，两列还相距全程的5/8,两车还需要几小时才能相遇？

练习2、快车从甲站到达乙站需要8小时，慢车从乙站到达甲站需要12小时，如果快、慢两车同时从甲、乙两站相对开出，相遇时快车比慢车多行180千米，甲、乙两站相遇多少千米？

课外作业：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，当甲车行到全程的7/11时与乙车相遇，乙车继续以每小时40千米的速度前进，又行驶了1千米到达A地。甲车出发到相遇用了多少小时？

2、同向行程问题（追击）问题：追及问题是两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一个的时间叫“追及时间”。 （速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。 追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间； 追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；

练习3、A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？

分析：如图

练习4、两辆汽车都从甲地开往乙地，第一辆车以每小时30千米的速度从甲地开出，第二辆车晚开12分钟，以每小时40千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达乙地。求甲乙两地的路程？

课外作业：甲乙二人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？

：、火车过桥问题（错车问题的特例）4．

=桥、车长度之和；速度×过桥时间 =过桥时间；（桥长+列车长）÷速度 =速度。（桥长+列车长）÷过桥时间

从车头上桥到车尾米的大桥.400米的速度通过一座长9007、一列火车长700米,以每分钟练习 离要多少分钟？

分钟的时间跑到6米的速度行进.队伍前面的联络员用,、一支队伍1200米长以每分钟80练习8 问联络员每分钟行多少米？队伍末尾传达命令.

客,在身旁通过的时间是15秒钟1：某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,课外作业? 求步行人每小时行多少千米28.8千米.车长105米,每小时速度为两).:千米,它们之间的路程如图所示(单位E ,B,C,D,5个车站A课外作业2：一条单线铁路上有千站开出的每小时行50千米,从E,A,E两站相对开出从A站开出的每小时行60列火车同时从才必须在车站停车,由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,米.先到这一站的那一列火才能使停车等候的时间最短.,应安排哪个站相遇,能让开行车轨道.因此? 车至少需要停车多少分钟

千米千米 1525 千米千米 230225

B C A D

E

第四讲：应用题复习专题二（工程问题）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容一、基本概念： 已不仅仅是工程方面的问题，也包括行路、水管注水等许多内容。也可以是部分工程量，常用1表示，工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数11 。分数表示。如：工程的一半表示成，工程的三分之一表示为

32根据题目单位时间的选取，工作效率指的是干

工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。 需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。时”等。但在不引起/天”，或“工作量/注：工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量 误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 二、基本公式： 工作量÷工作时间。=工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率 三、解题方法与指导： 两个人的工程问题：1、1612天就可以完成。现在由甲单独做某项工程，甲单独做需要例1：20天，如果与乙合作， 天，然后由乙继续做完，还需要几天时间？

次运完。为了尽快运完，大卡车和小卡车20次运完，小卡车要15运一批水泥，大卡车要：2例 同时运，多少次可以运完？

例3：一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5小时可将空池灌满，单开排水管7小时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1小时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？

例4：甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行。经过4小时相遇后，甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行24千米。全长多少千米?

练习：有一批资料要复印，甲机单独复印需要11小时，乙机单独复印需要13小时，当甲、乙两台复印机同时复印时，由于相互干扰，每小时两台共少印28张。现在两台机同时复印了6小时15分才印完，那么这批资料共有多少张？

2、多人的工程问题：

111后，再由乙做小时完成全部工作的小时完成余下工作的，最例5：一件工作，甲做1.5 3421小时完成。如果三人合作，需要多少时间？后剩下的工作由丙用 1 2

11，乙、丙合修两天完成余下的天完成，例6：甲、乙、丙三人合修一围墙，甲、乙合修5 43然后

甲、丙两人合修了5天才完工。整个工程的劳动报酬是600元。问乙应分得多少元？

13，丙一天完成的工作量是乙一天的。现例7：一项工程，乙一天完成的工作量是甲一天的

每天都两人合作结果甲共做了4天，乙共做了3天，丙共做了3天，终于完成这项工程。问： （1）甲、乙合作了多少天？

（2）甲一人独做完成这项工程需要多少天？

43在，

例8：甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做1天；若按丙、甲、完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用单独做完这件工作需要9天，那么甲、乙、丙乙的顺序轮流去做，则比计划多用要用多少天才能完成？

21天。已知甲

3三人一起做这件工作，

1。甲、乙、工程的工作量多B工程的工作量比A甲、乙、丙三队要完成练习：A，B两项工程， 4丙三

队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，那么，丙队与乙队合作了多少天？

3、巧用单位“1”： 在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。

111，第二天看了余下的，第三天看了再余下的例9：一本文艺书，小明第一天看了全书的， 532

页。这本书共有多少页？还剩下80

11还少5页，第二天看了全书的还多例10：小明看故事书，第一天看了全书的3页，还剩 1215 206页。这本故事书共有多少页？

14，后来从甲组调9甲组人数比乙组人数多个人到乙组，此时乙组人数比甲组人数多。11例： 35

那甲、乙组各有多少人？

例12：修一条公路，甲队独做要40天，乙对独做要24天，现在两队同时从两端开工，结果在距中点400米处相遇。甲、乙两队每天能修多少米？

练习：公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？

4、巧用工程问题求具体数量：

5，已知乙每小时加工：甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部两件的例13 8 12小时，这批零件有多少个？24个零件，甲单独加工完成这批零件要 1，再由甲单独做6天完成。如果甲比乙每天多做这批零件的天后，：例14一批零件，甲乙合做4 80 个，这批零件的总数是多少个？而甲每天可完成零件60

2，练习：快车从甲站开往乙站，慢车从乙站开往甲站，两车同时出发，快车每小时行全程的 151到达中点，慢车每小时行56甲、乙两站相距多少千米？慢车再行全程的两车相遇后，千米。 30

第五讲：应用题复习专题三（分数、百分数问题）分数应用题是小学数学的重要内容，较复杂的分数应用题也是小学数学竞赛中经常出现的一

因此学好这部分知类问题，同时在我们的现实生活及生产实际中经常会遇到与分数有关的问题， 识很重要。怎样提高解答这类题的能力呢？ 1. 要正确理解掌握分数乘、除法的意义。22?32是多少，这是乘法 如的不再表示求几个相同加数和的简便运算了，而表示求32些特殊的思考问题的方法。2.

“图解法”等。“逆推法”， 如“对应法”，“转化法”，“假设法”， 这些方法的掌握有利于提高解答分数应用题能力。

要学会用线段图表示题中数量关系。3.

第一讲重点研究使隐蔽条件，抽象问题明朗化，从而找出解题途径。这部分内容安排两讲。 如何运用“对应法”和“转化法”解决分数应用题。 . 思路指导：一1，若这个学校再某区举行小学生春季运动会，其中某校参加的人数占运动员总人数的例1. 个学校名运动员，则该校人数占运动员总人数的去10

33 意义的扩展，比较抽象。 要学会一

152，这次运动会共有运动员多少人？这

23 原来有多少人参加运动会？，根据不变量写

出等量关系，列方程解。或抓分析与解：本题的解题思路是找出“不变量”

1”使问题得以解决。住不变量用转化法统一单位“ 1：用方程解 方法 人，可得x 解：设这次运动会有运动员21)?10)?(1)?(x(x?1??

23152101421?x?x

2315232101421?x?x

2315231

30

2315?7210??x 450x?

7?232315 1 1

1?30(人)450? 15 方法2：用算术方法解 12现有总人数?(1()?原有总人数?1?)?因为 1523

142146??原来总人数现在总人数?? 所以

452315．

抓住不变量，根据除法意义统一单位“1”。 46，于是找到10人对应率。1”，现在是原来的 这样可以看出原来运动员人数为“ 45 综合式：12)?(1?[(1?)?1]10? 152346?1?[]?10 45

1?10? 45?450(人)1?30(人)450? 15 答：原有运动员450人，学校有运动员30人。

3相甲、乙、丙三人合作生产一批机器零件，甲生产的零件数量的一半与乙生产的零件的例2. 5等，

又等于丙生产零件数量的四分之三，已知乙比丙多生产50个零件，求这批零件共有多少个。 分析与解：

方法1：用图示法分析解题（以甲为“1”）

甲

乙 丙

，丙相当甲的。 从直观图可以明显看出乙相当甲的 66?)?300(50?(个)————甲

665300??250(个)——————乙 300??200(个)——————丙

6300?250?200?750(个)

方法2：用转化法统一单位“1”。

根据已知条件和分数乘、除法的意义可得。

31与乙生产零件数的相等 因为甲生产零件数的

13???乙甲 52．

5231??甲?乙 所以 52

55?甲?(表示乙是甲的)乙 6631 又因为甲生产零件数的又等于丙生产零件数的

4231?甲?丙? 所以

根据“量率”对应关系列式为

42

13?丙?甲? 42 4?甲丙? 6

?)?300(个)50?( 甲 665)(个300??250 乙 )个?300?200( 丙 6300?250?200?750(个)

答：这批零件共有750个。

例3. 某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？

分析与解：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系。

可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚(1?20%)

是6020%就是说原价的元，求原价，用除法。 了60?(1?20%)?50(元)

(1?20%)是60元，求原价，用除法。 同理亏本20%就是说原价的60?(1?20%)?75(元)

所以这个题综合列式为

[60?(1?20%)?60?(1?20%)]?60?2?[50?75]?120 120125??)(元?5 元。答：这两件商品亏了52233与乙的体重的有甲、乙二人，已知甲的体重的例4. 相等，甲的体重的比乙的体重的 4375 千克，求甲乙二人体重。少1.522与乙的体重的 分析与解：相等，单位“1”不同，已知甲的体重的首先是统一单位“1”， 35．

然后根据题意找出对应关系，即可解决问题。 列式：

223315.?[???] 534793.?[?]?15 207?70(千克)22??42(千克70?) 53 答：甲体重70千克，乙体重42千克。 二. 巩固发展，完成： 21与运来香蕉的同样多，这个水果店果品店运来的苹果比香蕉多1. 500千克，运来的苹果的 25 运

来苹果和香蕉各多少千克？

5123等于梨的重量的，苹果重量的比梨重量的多果品店运来两种水果，2. 已知苹果重量的 23 750千克，运来苹果和梨各多少千克？

2，如果从乙车间调3. 8某工厂甲车间的人数是乙车间的人到甲车间，则甲车间人数是乙车间 34，乙车间原有多少人？的 5

，第三车三个车间共同生产一批零件，第一车间生产4. 600个，第二车间生产的是余下的20% 间正好是这批零件的一半，第二、三车间共生产多少个？

五年级三个班的人数相等，一班男生人数和二班女生人数相等，三班男生人数是全部男生人5.

2，全部女生人数占全年级人数的几分之几？数的 5