演绎推理
一、选择题
1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B
[解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是( )
A．大前提错 B．小前提错 C．结论错 D．正确的 [答案] D
[解析] 前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D. 3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理
B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 [答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
1
4．“因对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝log3x1
是对数函数(小前提)，所以y＝log3x是增函数(结论)”．上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A
[解析] 对数函数y＝logax不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A．① B．② C．③ D．①② [答案] B
[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边
形”．故应选B.
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( )
A．① B．② C．①② D．③ [答案] B
[解析] 易知应为②.故应选B.
7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理( )
A．大前提错 B．小前提错 C．推论过程错 D．正确 [答案] C
[解析] 大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C. 8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理( )
A．正确 B．推理形式正确
C．两个自然数概念不一致 D．两个整数概念不一致 [答案] A
[解析] 三段论的推理是正确的．故应选A.
9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为( )
[答案] A
[解析] 如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一
概念S，这时三者的包含可表示为；
如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时
三者的关系应为．故应选A.
10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D．使用了“三段论”，但小前提使用错误 [答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
二、填空题
11．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．
[答案] log2x－2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0. 12．以下推理过程省略的大前提为：________. ∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab. [答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2
＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
113．(2010·重庆理，15)已知函数f(x)满足：f(1)＝4，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2010)＝________.
1[答案] 2 [解析] 令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1) 即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1) ①
令x取x＋1则f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x) ② 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)， 即f(x－1)＝－f(x＋2)
∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6) ∴f(x)＝f(x＋6) 即f(x)周期为6，
∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)
对4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得 4f(1)f(0)＝2f(1)，
11
∴f(0)＝2即f(2010)＝2.
14．四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，四边形ABCD满足条件________时，VP－AOB恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
[答案] 四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等 1
[解析] 设h为P到面ABCD的距离，VP－AOB＝3S△AOB·h，
1
又S△AOB＝2|AB|d(d为O到直线AB的距离)．
因为h、|AB|均为定值，所以VP－AOB恒为定值时，只有d也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD为平行四边形或矩形或正方形等．
三、解答题
15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.
[证明] 如下图延长AB，DC交于点M.
①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD中AD∥BC小前提
MBMC
③BA＝CD结论 ①等量代换大前提 ②AB＝CD小前提 ③MB＝MC结论
在三角形中等边对等角大前提 MB＝MC小前提
∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论 等量代换大前提
∠B＝π－∠1 ∠C＝π－∠2小前提 ∠B＝∠C结论
16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数． [证明] 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数 大前提 ∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提 ∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论
17．用三段论写出求解下题的主要解答过程． 若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值． [解析] 推理的第一个关键环节：
大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，
小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根． ∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立． 推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6， 结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6. 以下可得出结论a＝－4.
18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围． [解析] (1)F∈l⇔|FA|＝|FB|⇔A、B两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意，y1，y2不同时为0.
∴上述条件等价于
2y1＝y2⇔x1＝x22⇔(x1＋x2)(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴上述条件等价于x1＋x2＝0，即当且仅当x1＋x2＝0时，l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y＝2x＋b；过11点A、B的直线方程为y＝－2x＋m，所以x1，x2满足方程2x2＋2x－1
m＝0，得x1＋x2＝－4. 1
A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝4＋1
8m>0，即m>－32.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则
11x0＝2(x1＋x2)＝－8，
y1x1
0＝－20＋m＝16＋m.
由N∈l，得11
16＋m＝－4＋b，于是 b＝55－1916＋m>1632＝32. l在y轴上截距的取值范围是932，＋∞
.即得
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