控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
稳定性描述系统受到外界干扰，平衡工作状态被破坏后，系统偏差调节过程的收敛性。它是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。经典控制理论用代数判据、奈氏判据、对数频率判据、特征根判据来判断线性定常系统的稳定性，用相平面法来判断二阶非线性系统的稳定性，这些稳定性判据无法满足以多变量、非线性、时变为特征的现代控制系统对稳定性分析的要求。1892年，俄国学者李雅普诺夫建立了基于状态空间描述的稳定性理论，提出了依赖于线性系统微分方程的解来判断稳定性的第一方法（称为间接法）和利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数借以判断稳定性的第二方法（称为直接法）。李雅普诺夫提出的这一理论是确定系统稳定性的更一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统，它有效地解决过一些用其他方法未能解决的非线性微分方程的稳定性问题，在现代控制系统的分析与设计中，得到了广泛的应用与发展。
8.3.1 李雅普诺夫稳定性概念
忽略输入后，非线性时变系统的状态方程为
&=f(x,t) （8-70） x
式中 x—n维状态向量；
T—时间变量；
f(x,t) —n维函数，其展开式为
&i=fi(x1,x2,L,xn,t) （i=1,L,n） x
假定方程的解为 x(t;x0,t0)，x0和t0 分别为初始状态向量和初始时刻，x(t0;x0,t0)=x0。
1.平衡状态 如果对于所有t，满足
&e=f(xe,t)=0 （8-71） x
。平衡状态的各分量不再随时间变化。若已知状态的状态xe称为平衡状态（又称为平衡点）
&=0 所求得的解x，便是平衡状态。 方程，令x
&=Ax，其平衡状态满足Axe=0 ，如果矩阵A非奇异，系统只对于线性定常系统x
有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，f(xe,t)=0的解可能有多个，由系统状态方程决定。
控制系统李雅普诺夫稳定性理论所指的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于实际线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。
本节主要研究平衡状态位于状态空间原点（即零状态）的稳定性问题，因为任何非零状
362
态均可以通过坐标变换平移到坐标原点，而坐标变换又不会改变系统的稳定性。
（a）李雅普诺夫意义下的稳定 （b）渐近稳定 （c） 不稳定
图8-18 稳定性的平面几何表示
2．李雅普诺夫稳定性定义
（1）李雅普诺夫稳定性。如果对于任意小的ε > 0，均存在一个δ(ε,t0)>0，当初始状态满足x0−xe≤δ时，系统运动轨迹满足limx(t;x0,t0)−xe≤ε，则称该平衡状态xe
t→∞
是李雅普诺夫意义下稳定的，简称是稳定的。该定义的平面几何表示如图8-18（a）所示，
x0−xe表示状态空间中x0点至xe点之间的距离，其数学表达式为
x0−xe=(x10−x1e)2+L+(xn0−xne)2 （8-72）
设系统初始状态x0位于平衡状态以xe为球心、半径为δ的闭球域S(δ)内，如果系统稳定，则状态方程的解x(t;x0,t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心，半径为ε的闭球域S(ε)内。
（2）一致稳定性。 通常δ与ε、t0 都有关。如果δ与t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的δ与t0 无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。
（3）渐近稳定性。 系统的平衡状态不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有 limx(t;x0,t0)−xe→0 （8-73）
t→∞
称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S(δ) 出发的轨迹不仅不会超出S(ε)，且当t→∞时收敛于xe或其附近，其平面几何表示如图8-18（b）所示。
（4）大范围稳定性。 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞，x→∞。对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。
（5）不稳定性。 不论δ取得多么小，只要在S(δ)内有一条从x0 出发的轨迹跨出
S(ε)，则称此平衡状态是不稳定的。其平面几何表示如图8-18（c）所示。
363
注意，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过S(ε) ，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环，这同经典控制理论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。
（6）BIBS稳定性。 对任意有界的x(0)，若在任意有界的输入u(t)的作用下，x(t)均有界，则称系统BIBS稳定。
（7）BIBO稳定性。 对任意有界的x(0)，若在任意有界的输入u(t)的作用下，y(t)均有界，则称系统BIBO稳定。
8.3.2 李雅普诺夫稳定性间接判别法
李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。
&=Ax渐近稳定的充分必要条件是：线性定常系统的特征值判据 系统x系统矩阵A的
全部特征值位于复平面左半部，即
Re(λi)<0 （i=1,L,n） （8-74）
证明 假定矩阵A有相异特征值λ1,L,λn，根据线性代数理论，存在非奇异线性变换
x=Px（P由特征值λi对应的特征向量构成，为一常数矩阵），可使A对角化，有
A=PAP=diag[λ1,L,λn] 变换后状态方程的解为 x(t)=ex(0)=diag[eλ1tLeλnt]x(0)
−1
由于 x=Px，x(0)=Px(0)
At
-1
−1
故原状态方程的解为 x(t)=PeAtP−1x(0)=eAtx(0) 有 e
At
=PeAtP−1=Pdiag[eλ1tLeλnt]P−1
λ1t
将上式展开，eAt的每一元素都是e e
At
,L,eλnt的线性组合，因而可写成矩阵多项式
=∑Rieλit=R1eλ1t+L+Rneλnt
i=1
n
故x(t)可以显式表出与λi的关系，即
x(t)=eAtx(0)=[R1eλ1t+L+Rneλnt]x(0)
当式（8-74）成立时，对于任意x(0)，均有x(t)
t→∞
→0，系统渐近稳定。只要有一个特
征值的实部大于零，对于x(0)≠0,x(t)便无限增长，系统不稳定。如果只有一个（或一对，且均不能是重根）特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零，x(t)便含有常数项或三角函数项，则系统是李雅普诺夫意义下稳定的。
364
8.3.3 李雅普诺夫稳定性直接判别法
李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无须求出系统状态方程的解。它对各种控制系统均适用。
根据物理学原理，若系统储存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与x1,L,xn及t 有关，是一个标量函数，记以V(x,t)；若不显
&(x,t)表示。含t ，则记以V(x)。考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用V
遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数xTPx作为李雅普诺夫函数。
1．标量函数定号性
（1）正定性。 标量函数V(x)在域S中，对所有非零状态(x≠0)有V(x)>0，且
2
是正定的。 V(0)=0，称V(x)在域S内正定。例如，V(x)=x12+x2
（2） 负定性。 标量函数V(x)在域S中，对所有非零x有V(x)<0，且V(0)=0，
2
称V(x)在域S内负定。例如，V(x)=−(x12+x2)是负定的。如果V(x)是负定的，-V(x)
则一定是正定的。
（3）负（正）半定性。 V(0)=0，且V(x)在域S内某些状态处有V(x)=0，而其他状态处均有V(x)<0（V(x)>0），则称V(x)在域S内负（正）半定。设V(x)为负半定，则-V(x)为正半定。例如，V(x)=−(x1+2x2)2为负半定。
（4）不定性。 V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。例如，V(x)=x1x2是不定的。
关于V(x,t)正定性的提法是：标量函数V(x,t)在域S中，对于t>t0及所有非零状态有V(x,t)>0,且V(0,t)=0，则称V(x,t)在域S内正定。V(x,t)的其他定号性提法类同。
二次型函数是一类重要的标量函数，记 V(x)=xPx=[x1
T
⎡p11Lp1n⎤⎡x1⎤
⎥⎢M⎥ （8-75）
Lxn]⎢MM⎢⎥⎢⎥
⎢⎣pn1Lpnn⎥⎦⎢⎣xn⎥⎦
其中，P为对称矩阵，有pij=pji，显然满足V(x)=0，其定号性由赛尔维斯特准则判定。
当矩阵P的各顺序主子行列式均大于零时，即
p11>0,
p11
p21p12
>0,L,p22
p11LM
pn1L
p1n
M>0 （8-76） pnn
P为正定矩阵，则V(x)正定。当P的各顺序主子行列式负、正相间时，即
365
p11<0,
p11p21
p11L
p12
>0,L,(−1)nMp22
pn1L
p1n
M>0 （8-77） pnn
P为负定矩阵，则V(x)负定。若主子行列式含有等于零的情况，则V(x)为正半定或负半
定。不属以上所有情况的V(x)不定。
下面不打算对李雅普诺夫第二法中诸稳定性定理在数学上作严格证明，而只着重于物理概念的阐述和应用。
2．李雅普诺夫第二法诸稳定性定理
&=f(x,t)，其平衡状态满足f(0,t)=0,不失一般性，把状态空间设系统状态方程为x
原点作为平衡状态，并设系统在原点邻域存在V(x,t)对x的连续的一阶偏导数。
&(x,t)负定；则原点是渐近稳定的。 定理1 若①V(x,t)正定，②V
&(x,t)负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。 V
&(x,t)负半定，且在非零状态不恒为零，则原点是渐近定理2 若①V(x,t)正定，②V
稳定的。
&(x,t)≡0，&(x,t)负半定表示在非零状态存在V但在从初态出发的轨迹x(t;x0,t0)上，V
&(x,t)≡0的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状不存在V
态，而不会维持在该状态。
&(x,t)负半定，且在非零状态恒为零，则原点是李雅普定理3 若①V(x,t)正定，②V
诺夫意义下稳定的。
&(x,t)≡0，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零沿状态轨迹能维持V
状态而不运行至原点。
&(x,t)正定，则原点是不稳定的。 定理4 若①V(x,t)正定，②V
&(x,t)正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原点邻域发散。 V
&(x,t)正半定，且在非零状态不恒为零时，则参考定理2可推论：若V(x,t)正定，当V
原点不稳定。
应注意到，李雅普诺夫函数[正定的V(x,t)]的选取是不唯一的，但只要找到一个
V(x,t)满足定理所述条件，便可对原点的稳定性做出判断，并不因选取的V(x,t)不同而有
所影响。不过至今尚无构造李雅普诺夫函数的通用方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的
&(x,t)不定的结果，这时便做不出确定的判断，主要障碍。如果V(x,t)选取不当，会导致V
需要重新选取V(x,t)。
&(x,t)连续单调衰减的要求来确定系统稳定性，并未考虑实际稳定系统以上定理按照V
可能存在衰减振荡的情况，因此其条件是偏于保守的，故用稳定性定理判断稳定者必稳定，李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。
具体分析时，先构造一个李雅普诺夫函数V(x,t)，通常选二次型函数，求其导数
&(x,t)，再将状态方程代入，最后根据V&(x,t)的定号性判别稳定性。 V
至于如何判断在非零状态下V[x(t;x0,t0),t]是否有恒为零的情况，可按如下方法进行：
366
&(x,t)≡0，将状态方程代入，若能导出非零解，表示对x≠0，V&(x,t)≡0的条件是令V
&(x,t)≡0的条件。 成立的；若导出的是全零解，表示只有原点满足V
例 8-13 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性：
&1=x2−x1(x1+x2) x&2=−x1−x2(x1+x2) x
2222
&1=0及x&2=0，可以解得原点（x2=0，x1=0）是系统的唯一平衡状态。 解 令x
2取李雅普诺夫函数为V(x)=(x12+x2)，则
&(x)=2xx&& V11+2x2x2
将状态方程代入，有
&(x)=−2(x2+x2)2 V12
&(x,t)负定，根据定理1，原点是渐近稳定的。因为只有一个平衡状态，该非线性系显然V
&(x,t)与t 无关，系统大范围一致渐近稳定。 统是大范围渐近稳定的。又因为V
例8-14 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
&2=−x1−x2 &1=x2，x x
2
&1=x&2=0，得知原点是唯一的平衡状态。选V(x)=2x12+x2解 令x，则
&(x)>0；&(x)<0，&(x)&(x)=2x(x−x)，VV当x1>x2>0时，当x2>x1>0时，故VV212
不定，不能对稳定性作出判断，应重选V(x)。
2&(x)=−2x2，对于非零状态（如x=0，选 V(x)=x12+x2，则考虑状态方程后得V22
&(x)负半定。根据定理2，&(x)=0，对于其余非零状态，V&(x)<0，故Vx1≠0）存在V
原点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定的。
例 8-15 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性：
&2=−x1 &1=kx2(k>0) ，x x
2&1=x&2=0，可知原点是唯一平衡状态。选V(x)=x12+kx2解 由x，考虑状态方程
则有
&(x)=2kxx−2kxx=0 V1221
&(x)=0，故系统是李雅普诺夫意义下稳定的。 对所有状态，V
例 8-16 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
&1=x2，x&2=−x1+x2 x
2&(x)与x无关，故存&(x)=2x2，V解 原点是唯一平衡状态。选V(x)=x12+x2，则V12
&(x)>0，故V&(x)正&(x)=0，而对其余任意状态有V在非零状态（如x1≠0,x2=0)，使V
半定。根据定理4的推论，系统不稳定。
例8-17 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
&1=z2−1，z&2=−z1−z2+2 z
解 z1=z1=1是系统的唯一平衡状态，方程中的常数项可以看做是阶跃输入作用的
&1=x2，x&2=−x1−x2。原状态方结果。作坐标变换，使x1=z1−1，x2=z2−1，得到 x
程在Z状态空间点（1，1）处的稳定性判别问题就变成变换后状态方程在X状态空间原点处的稳定性判别问题。
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2&(x)=2x2+x2=−2x2，系统选V(x)=x12+x2 ，对其求导，考虑状态方程，得到V122
原点是大范围一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态点（1，1）处是大范围一致渐近稳定的。
注意：一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性。 例8-18 试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。
&=ax+x2 x
&=0，得知系统有两个平解 这实际上是一个可线性化的非线性系统的典型例子。令x
衡状态，x=0和x=−a。
对位于原点的平衡状态，选V(x)=x,有
2
&(x)=2ax2+2x3=2x2(a+x) V
于是，当a<0时，系统在原点处的平衡状态是局部(x<−a)一致渐近稳定的；根据定
&(x)>0]。原点也是不稳定的[x>0,V理4，当a>0时，原点显然是不稳定的；当a=0时，
上述结论也可以从状态方程直接看出。
对于平衡状态x=−a，作坐标变换，使z=x+a，得到新的状态方程
&=−az+z z
因此，通过与原状态方程对比可以断定：对于原系统在状态空间x=−a处的平衡状态，当a>0时是局部一致渐近稳定的；当a≤0时是不稳定的。
2
8.3.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
1．连续系统渐近稳定的判别
&=Ax，A为非奇异矩阵，故原点是唯一平衡状态。可以取正定设系统状态方程为 x
二次型函数V(x)作为李雅普诺夫函数，即
V(x)=xPx （8-78）
求导并考虑状态方程
T
&(x)=x&Px+xPx&=x(AP+PA)x （8-79） V
T
T
T
T
令 AP+PA=−Q （8-80） 式（8-80）称为连续系统的李雅谱诺夫代数方程。从而可以得到
T
&(x)=−xTQx （8-81） V &(x)负定）根据定理1，只要Q矩阵正定（即V，则系统是大范围一致渐近稳定的。于
是线性定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为：给定一个正定矩阵P，存在满足式（8-81）的正定矩阵Q。
可以先给定一个正定的P矩阵，然后验证Q矩阵是否正定去分析稳定性。但若P选取不当，往往会导致Q矩阵不定，使得判别过程多次重复进行。因此，也可以先指定正定的Q矩阵，然后验证P矩阵是否正定。
&=Ax渐近稳定的充分必要条件为：给定正定实对定理5 （证明从略）线性定常系统x
称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P使式（8-80）成立。
368
xTPx 是系统的一个李雅普诺夫函数，该定理为系统的渐近稳定性判断带来实用上的
极大方便。这时是先给定Q矩阵，采用单位矩阵最为简单，再按式（8-80）计算P矩阵并校验其定号性。当P矩阵正定时，系统渐近稳定；当P矩阵负定时，系统不稳定；当P矩阵不定时，可断定为非渐近稳定。至于具体的稳定性质，尚须结合其他方法去判断，既有可能不稳定，也有可能是李雅普诺夫意义下的稳定。总之，对于系统是否渐近稳定，只须进行一次计算。
&(x)恒为零时，Q矩阵可给定由定理2可以推知，若系统状态轨迹在非零状态不存在V
为正半定的，即允许单位矩阵中主对角线上部分元素为零（取法不是唯一的，只要既简单又能导出确定的平衡状态的解即可），而解得的P矩阵仍应是正定的。
例 8-19 试用李雅普诺夫方程确定，使图8-19所示系统渐近稳定的k值范围。
图8-19 例8-19的系统结构图
解 由图示状态变量列写状态方程为
⎡0
&=⎢0 x⎢⎢⎣−k10⎤⎡0⎤
⎢0⎥u
−21⎥x+⎥⎢⎥
⎢0−1⎥⎦⎣k⎥⎦
因系统的稳定性与输入无关，可令u=0。由于detA=−k≠0，故A非奇异，原点为唯一的平衡状态。取矩阵Q为正半定矩阵，即
⎡000⎤
⎢⎥ Q=000 ⎢⎥⎢⎣001⎥⎦
&(x)负半定。令V&(x)≡0，有x≡0，考虑状态方程中 &(x)=−xTQx=−x2，V则V33&(x)≡0。&1=x2，解得x2≡0，表明唯有原点存在V&3=−kx1−x3，解得x1≡0；考虑到xx
令
AP+PA=−Q
T
⎡00−k⎤⎡p11
⎢1−20⎥⎢p⎢⎥⎢12⎢01−1⎥⎢p13⎣⎦⎣
p12
p22p23
p13⎤⎡p11
⎥+⎢pp23⎥⎢12⎥⎢p33⎦⎣p13
p12
p22p23
p13⎤⎡0⎥⎢0p23⎥⎢p33⎥⎦⎢⎣−k
1
−20
0⎤⎡000⎤⎥=⎢000⎥ 1⎥⎢⎥−1⎥⎦⎢⎣00−1⎥⎦
展开的代数方程为6个，即
−2kp13=0，−kp23+p11−2p12=0，−kp33+p12−p13=0
369
2p12−4p22=0，p13−3p23+p22=0，2p23−2p33=−1
解得
⎡k2+12k⎢12−2k⎢
⎢6k P=⎢12−2k⎢⎢0⎢⎣
6k
12−2k3k12−2kk12−2k
⎤⎥⎥k⎥
⎥12−2k⎥6⎥12−2k⎥⎦0
使P矩阵正定的条件为：12−2k>0及k>0。故0 设系统状态方程为x(k+1)=Φx(k)，原点是平衡状态。取正定二次型函数 V[x(k)]=xT(k)Px(k) （8-82） &(x)，有 以ΔV[x(k)]代替V ΔV[x(k)]=V[x(k+1)]−V[x(k)] （8-83） 考虑状态方程，有 ΔV[x(k)]=xT(k+1)Px(k+1)−xT(k)Px(k) =[Φx(k)]TPΦx(k)−xT(k)Px(k) （8-84） =xT(k)[ΦTPΦ−P]x(k) 令 ΦT PΦ−P=−Q （8-85） T 式（8-85）称为离散系统的李雅普诺夫代数方程。x(k)Px(k)是系统的一个李雅普诺夫函数，于是有 ΔV[x(k)]=−x(k)Qx(k) （8-86） 定理6 系统x(k T +1)=Φx(k)渐近稳定的充分条件是：给定任一正定实对称矩阵Q （常取Q=I），存在正定对称矩阵P，使式（8-85）成立。 8.3.5 李雅普诺夫稳定性、BIBS稳定性、BIBO稳定性之间的关系 线性定常系统的BIBO稳定性判别主要依据传递函数矩阵进行，如果其极点全部位于左 半复平面（不含虚轴），则系统BIBO稳定。 线性定常系统的BIBS稳定性判别主要依据系统矩阵A进行，如果其特征值全部位于左半复平面（不含虚轴），则系统BIBS稳定。 对线性定常系统，如果系统是渐近稳定的，则系统必然是BIBS稳定的和BIBO稳定的。如果系统是BIBS稳定的，则系统必然是BIBO稳定的。即渐近稳定要求的条件严于BIBS稳定，而BIBS稳定要求的条件又严于BIBO稳定。但是，如果系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则系统不一定是BIBS稳定的和BIBO稳定的。 370 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容