点差法在解析几何题中的应用

的应用

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x,y、代入圆锥曲线得x,y，

两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程

1122例1 已知椭圆

x22y1，求斜率为22的平行弦

,y2，

中点的轨迹方程.

解 设弦的两个端点分别为Px,y,QxPQ的中点为Mx,y.

112则

x122y112，（1）

x1x2222x222y21222，（2）

12得：

x1x22y1y20，

y1y2x1x2y1y20.

y1y2x1x21

又x

1x22x,y1y22y,2，x4y0.

所求弦中点的弦中点轨迹在已知椭圆内，

轨迹方程为x4y0（在已知椭圆内）.

例2 直线l:axya50（a是参数）与抛物线f:yx1的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是 .

解 设Ax,y、Bx,y，AB中点Mx,y，则xx2x.

2112212l:ax1y50，l过定点N1,5，k2ABkMNy5x1.

又y1x112，（1）y1x2122，（2）

212kAB得：yy1y2x1x2y2x11x21x1x2x1x22，

x1x22.

252x2，即y2x于是yx17.

弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为y2x7（在已知抛物线内）. 2 求曲线方程

例3 已知ABC的三个顶点都在抛物线y32x上，其中A2,8，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.

解 由已知抛物线方程得G8,0.设BC的中点为

MG分AM所Mx,y，则A、G、三点共线，且AG2GM，

2200 2

成比为2，于是解得

122x081282y0012，

x011y04，M11,4.

2212设Bx,y,Cx,y，则yy8. 又y32x，（1）y32x，（2）

122112212BC得：y21y232x1x22，kBCy1y2x1x232y1y23284.

所在直线方程为y44x11，即4xy400. 3 求直线的斜率 4 确定参数的范围

例6 若抛物线C:yx上存在不同的两点关于直线l:ymx3对称，求实数m的取值范围. 解 当m0时，显然满足.

当m0时，设抛物线C上关于直线l:ymx3对称的两点分别为Px,y、Qx,y，且PQ的中点为Mx,y，则yx，（1）yx，（2）

211220022112212得：y121y2x1x22，kPQy1y2x1x21y1y212y0，

又kPQ，ym00m2.

0中点Mx,y在直线l:ymx3上，y0mx03，

于是x

052.

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中点M在抛物线y22x区域内

10m10y0x0，即

5m222，解得. 10,10综上可知，所求实数m的取值范围是5 证明定值问题 例7 已知AB是椭圆ax22.

yb221ab0不垂直于

x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.

证明 设Ax,y,Bx,y且xx，

112212则ax122y1b221，（1）ax1x2a222x222y2b221，（2）

12得：

b2y1y2b222，

y1y2x1x2y1y2x1x2x1x22ay1y2，

ABkAB22x1x22ay1y2b2.

（定值）.

又ky1y2x1x2OP，kba1kOP，k12ABkOPba226 处理存在性问题 例8 已知双曲线

x2y21，过B1,1能否作

直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 解 假设这样的直线存在，设P,Q的坐标分别为

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x1,y1,x2,y2x22，则x1x22，y1y22，又x2112y112，（1）

12y212，（2）

1 12得：x

x2x1x212y1y2y1y20，

2x1x2y1y20

11PQ的斜率 kyxy2x22

又直线l过P,Q,B三点，l的方程为 y12x1，即

y2x1.

但若将y2x1代入x212y21整理得方程2x24x30，

而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在.

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例1 已知椭圆

x22y1，求斜率为22的平行弦

中点的轨迹方程. 例7 已知AB是椭圆ax22yb221ab0不垂直于

x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆

的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.

例8 已知双曲线

x212y21，过B1,1能否作

直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

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