线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直及面面垂直

基础要点

线面垂直

线线垂直 面面垂直 、若直线a及平面,所成的角相等，则平面及的位置关系是（ B ） A、// B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上结论都不正确

、在斜三棱柱ABCA1B1C1,BAC90,又BC1AC,过C1作C1H⊥底面，垂足为H ，则H一定在（ B ） A、直线上

B、直线上

C、直线上

D、△的内部

、如图示，平面⊥平面，A,B,AB及两平面,所成的角分别为

和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为46A,B，则AB:AB（ A ）

A A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3

B`BA`1 / 11

、如图示，直三棱柱ABB1DCC1中，ABB190,AB4, BC2,CC11上有一动点P，则△APC1周长的最小值是 DC1B1 BC1C5.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB2,

D1A若棱上存在点P，使得D1PPC,则棱长

A1B1的取值范围是 。

DC

题型一：直线、平面垂直的应用

AB1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥中，D，E，F分别为棱，，的中点. 已知PAAC,PA6，BC8，DF5. 求证：(1) PA平面DEF；(2) 平面BDE平面ABC . 证明： (1) 因为D，E分别为棱，的中点， 所以∥. 又因为 ⊄ 平面， 所以直线∥平面.

(2) 因为D，E，F分别为棱，，的中点，＝6，＝8，所以∥，＝1＝3，＝

212平面，

＝4.

又因 ＝5，故2＝2＋2， 所以∠＝90°，即丄. 又⊥，∥，所以⊥. 因为∩＝E，

平面，

平面，所以⊥平面.

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又平面，所以平面⊥平面.

2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，E、F分别为

A1C1、BC的中点.

（1）求证：平面ABE平面B1BCC1；（2）求证：C1F//平面ABE.

证明：（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，

BB1底面ABC,BB1AB,ABBC,AB平面B1BCC1,

AB平面ABE,平面ABE平面B1BCC1.

(2)取的中点G，连接，

E、F分别为A1C1、BC的中点, FGAC,FG1AC, 2ACACFGEC1，FGEC1,则四边形FGEC1为平行四边11，ACAC11，形，

C1FEG,EG平面ABE,C1F平面ABE,C1F平面ABE.

3．如图，且PA平面ABC，平面PACP是ABC所在平面外的一点，平面PBC．求证BCAC．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线及该平面垂直，即从线

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面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面PAC内作ADPC，交PC于D．因为平面PAC平面

PBC于PC，AD平面PAC，且ADPC，所以AD平面PBC．又因为

于是有ADBC①．另外PA平面ABC，BC平面PBC，BC平面ABC，所以PABC．由①②及ADPAA，可知BC平面PAC．因为AC平面PAC，所以BCAC．

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

4. 过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图，BSC90，

ASCASB60，若截取SASBSCa

(1)求证：平面ABC平面BSC； (2)求S到平面ABC的距离．

分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条及另一个平面垂直的直线． (1)证明：∵SASBSCa， 又ASCASB60，

∴ASB和ASC都是等边三角形， ∴ABACa，

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取BC的中点H，连结AH，∴AHBC．

在RtBSC中，BSCSa，∴SHBC，BC2a，

22a2∴AHACCHa(a)，∴．

222222在SHA中，∴，，SA2a2，

∴SA2SH2HA2，∴AHSH，∴AH平面SBC． ∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC．

或：∵SAACAB，∴顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心， 又BSC为Rt，∴H在斜边BC上，

又BSC为等腰直角三角形，∴H为BC的中点，

∴AH平面BSC．∵AH平面ABC，∴平面ABC平面BSC． (2)解：由前所证：SHAH，SHBC，∴SH平面ABC， ∴SH的长即为点S到平面ABC的距离，， ∴点S到平面ABC的距离为．

、如图示，为长方形，垂直于所在平面，过A且垂直于

S的平面分别交、、于E、F、G，求证：⊥⊥

GDFECB

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A

6.在四棱锥中，侧面是正三角形，且及底面垂直，已知底面是面积为23的菱形，ADC60，M是中点。 (1)求证： (2)求证：平面平面

PM

7.在多面体中，1，2，AE面，。 (1)求证：平面； (2)求证：平面平面

ADCBAED

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BC

题型二、空间角的问题

ADCBF1.如图示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

AB1,BB131，E为BB1上使B1E1的点，平面

AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求：

EA1B1C1D1G（1）异面直线及C1G所成的角的大小 （2）二面角AC1GA1的正弦值

2.如图，点A在锐二面角MN的棱MN上，在面内引射线AP，使

AP及MN所成的角PAM为45，及面所成的角大小为30，求二面角

MN的大小．

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分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．

解：在射线AP上取一点B，作BH于H，连结AH，则BAH为射线AP及平面所成的角，BAH30．再作BQMN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，

HQMN，BQH为二面角MN的平面角．

设BQa，在RtBAQ中，BQA90,BAM45,AB2a,在Rt△

BHQ中，

2aBH222BHQ90,BQa,BHa,sinBQH,

2BQa2BQH是锐角，BQH45,即二面角MN等于45．

说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线及平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线． 3. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点．求二面角

ABD1P的大小．

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分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因及其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1，BD1在平面AD1上的射影就是AD1．再过P作AD1的垂线PF，则

PF面ABD1，过F作D1B的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了．

解：过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F，连结EF． ∵AB面AD1，PF面AD1，

∴ABPF，又PFAD1，∴PF面ABD1．

又∵PEBD1，∴EFBD1，∴PEF为所求二面角的平面角． ∵RtAD1D∽PFA，∴． 而，DD11，AD12，∴． 在PBD1中，．∵PEBD1，∴． 在RtPEB中，PEPB2BE2∴PEF30．

4垂直于矩形所在平面，M、E、N分别是、和的中点，

P2，在RtPEF中，， 2（１）求证：∥平面

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ADECMB（２）若二面角P－－A为

，求证:平面⊥平面 45.已知正方体中ABCDA1B1C1D1，E为棱CC1上的动点，

（1）求证：A1E⊥ (2) 当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD

（3）在棱CC1上是否存在一个点E，可以使二面角A1BDE的大小为

45？如果存在，试确定E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由。

题型三、探索性、开放型问题 1.如图，已知正方形的边长为2，中心为

PO。设PA平面，,且2。问当为多少时，平面。

E

DABOC

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2.已知△中，BCD90,BCCD1⊥平面，ADB60、F分别是、上的动点，且

AEACAFAD(01) （1）求证：不论为何值，总有平面⊥平面（2）当为何值时，平面⊥平面?

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