云阳县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 2． 设命题p：A．

B．

，则

p为（ ）

C． D．

3． 已知集合A，B，C中，A⊆B，A⊆C，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A的子集最多有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

4． 设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

5． 若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（ ） A．

B．

C．

D．

(2i)26． 复数z（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）

i A．-4+3i B．4+3i C．3+4i D．3-4i

【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 7． 设集合AxR|2x2，Bx|x10，则A【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题. 8． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A．40（8）

B．45（8）

C．50（8）

D．55（8）

9． 设Sn是等比数列{an}的前项和，S45S2，则此数列的公比q（ ）

A．-2或-1 B．1或2 C.1或2 D．2或-1

(ðRB)（ ）

A.x|1x2 B.x|2x1 C. x|2x1 D. x|2x2

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10．已知{an}是等比数列，a22，a5A．1，则公比q（ ） 411 B．-2 C．2 D． 22SS11．已知数列an为等差数列，Sn为前项和，公差为d，若201717100，则d的值为（ ）

20171711A． B． C．10 D．20

201012．已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（ ） A．x3+2x2

B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2

二、填空题

13．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 14．

如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当

2

2

四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．

15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2an+1=an，若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞Sn恒成立，则实数x的取值范围为 ． 16．B，C对应的边分别为a，b，c，b=2， △ABC外接圆半径为，内角A，若A=60°，则c的值为 ．

17．已知函数

，则

__________；

的最小值为__________．

18．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．

三、解答题

19．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位 得到的数据：

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男 女 合计 赞同 50 30 80 反对 150 170 320 合计 200 200 400 （Ⅰ）能否有能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？

（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出3人进行陈述 发言，设发言的女士人数为X，求X的分布列和期望．

n(adbc)2参考公式：K，(nabcd)

(ab)(cd)(ac)(bd)2

3xa20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数fxx1.

3bx（1）当ab1时，求满足fx3的x的取值；

（2）若函数fx是定义在R上的奇函数

①存在tR，不等式ft22tf2t2k有解，求k的取值范围； ②若函数gx满足fxgx2求实数m的最大值.

1x若对任意xR，不等式g2xmgx11恒成立，33x，

3第 3 页，共 17 页

21．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下： A 7 7 7.5 9 9.5 B 6 x 8.5 8.5 y 由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．

22．∠ABC=如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点． （Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．

OA⊥底面ABCD，OA=2，，

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23．已知函数f（x）=sin2x•sinφ+cos2x•cosφ+sin（π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若x0∈（

24．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=（Ⅰ）求sin∠BAD的值； （Ⅱ）求AC边的长．

，cos∠ADC=﹣．

，π），sinx0=，求f（x0）的值．

，．）

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云阳县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 2． 【答案】A

【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，故答案为：A 3． 【答案】B ∴A⊆B∩C={0，2}

∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B．

4． 【答案】C

【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}， P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集， ∴根据题意，M的长度为，N的长度为， 当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端， 故M∩N的长度的最小值是故选：C．

5． 【答案】C

【解析】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1， ∴即

＞k＞1，

＞k＞1，

=

．

p为：

。

【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C；

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当x=即f（故f（所以f（故选：C．

6． 【答案】A

时，f（））＞）＜

）+1＞﹣1=，

，一定出错，

×k=，

(2i)2【解析】根据复数的运算可知zi(2i)23i4，可知z的共轭复数为z=-4+3i，故选A.

i7． 【答案】B

【解析】易知Bx|x10x|x1，所以A8． 【答案】D

5320

【解析】解：∵101101（2）=1×2+0+1×2+1×2+0+1×2=45（10）．

(ðRB)x|2x1，故选B.

再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D．

9． 【答案】D 【解析】

试题分析：当公比q1时，S45S20，成立.当q1时，S4,S2都不等于，所以

S4S2q24, S2q2,故选D.

考点：等比数列的性质. 10．【答案】D 【解析】

试题分析：∵在等比数列{an}中，a22,a5考点：等比数列的性质. 11．【答案】B

a1113,q5,q.

a2824第 7 页，共 17 页

【解析】

试题分析：若an为等差数列，

Snnna1nn1ddS2a1n1，则n为等差数列公差为,

n22nS2017S17d1100,2000100,d,故选B. 201717210考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 12．【答案】A

【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，

323232因为当x＞0时，f（x）=x﹣2x所以f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=﹣x﹣2x，

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），

32

所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x+2x，故选A．

二、填空题

13．【答案】12 【解析】

考

点：球的体积与表面积．

【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键． 14．【答案】

【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9. 圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，

∴四边形PACB的周长为2（PA＋AC） ＝2PC2－AC2＋2AC＝2

PC2－9＋6.

当PC最小时，四边形PACB的周长最小．

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此时PC⊥l.

∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，

由x＋y－5＝0，解得点P的坐标为（4，1）， x－y－3＝0

由于圆C的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA，PB分别与x轴平行和y轴平行， 即∠ACB＝90°，

∴S△ABC＝119

2AC·BC＝2×3×3＝2

. 即△ABC的面积为9

2

. 答案：92 15．【答案】 （﹣∞，]∪[

，+∞） ．

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2an+1=an， ∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，

Sn=

=2﹣（）n﹣1，

对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2

+tx+1＞Sn恒成立， ∴x2

+tx+1≥2，

x2+tx﹣1≥0， 令f（t）=tx+x2

﹣1，

∴，

解得：x≥

或x≤

，

∴实数x的取值范围（﹣∞，]∪[

，+∞）．

16．【答案】 ．

【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°∴由正弦定理可得：

，解得：a=3，

∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2

﹣2c﹣5=0，

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b=2，，

∴解得：c=1+故答案为：基础题．

17．【答案】

，或1﹣．

（舍去）．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于

【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】当当故

时，时，的最小值为

故答案为： 18．【答案】 4+ ．

【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴BC=则∴

∴正四棱柱容器的高的最小值为4+故答案为：4+

．

．

，

，

=

，

，

球O的半径为3，球O1 的半径为1， 在Rt△OMO1中，OO1=4，

【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识，意在考查统计思想和基本运算能力．

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X的分布列为： X P 0 1 2 3 5 2815 2815 561 56

X的数学期望为

5151519EX0123 ………………12

282856568分

20．【答案】（1）x1（2）①1,，②6

【解析】

23x13x，化简得33x23x10 解析：（1）由题意，x1311解得3x1舍或3x，

3所以x1

试题

3xa3xa0 （2）因为fx是奇函数，所以fxfx0，所以x13b3x1b化简并变形得：3ab3x3x2ab60

要使上式对任意的x成立，则3ab0且2ab60

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解得：{a1a1a1或{ ，因为fx的定义域是R，所以{ 舍去 b3b3b33x1所以a1,b3，所以fxx1

333x1121x①fxx1

33331对任意x1,x2R,x1x2有：

23x23x1x33113x21xx因为x1x2，所以32310，所以fx1fx2， 122fx1fx2x1x233131 因此fx在R上递减．

因为ft22tf2t2k，所以t22t2t2k， 即t22tk0在

时有解

所以44t0，解得：t1， 所以的取值范围为1,

1xx3x3x②因为fxgx2333，所以gx3fx2

即gx33

xx所以g2x32x32x3x3x不等式g2xmgx11恒成立， 即3322

xx22m3x3x11，

9恒成立

3x3x9xx令t33,t2，则mt在t2时恒成立

t99令htt，h't12，

ttt2,3时，h't0，所以ht在2,3上单调递减

即：m3x3x所以htminh36，所以m6 所以，实数m的最大值为6

考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题

t3,时，h't0，所以ht在3,上单调递增

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【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。 21．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵=（6+x+8.5+8.5+y）， ∵∵

=∵

22

，得（x﹣8）+（y﹣8）=1，②

（7+7+7.5+9+9.5）=8，

，∴x+y=17，①

，

，

由①②解得或，

∵x＜y，∴x=8，y=9，

记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含共有∴P（C）=

个基本事件，

，

个基本事件，

即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．

（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3， P（X=0）=P（X=1）=

=

， =

，

P（X=2）==，

P（X=3）=EX=

=，

=

．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．

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22．【答案】

【解析】解：方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE ∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角） 作AP⊥CD于P，连接MP ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP ∵，∴

，

∴

所以AB与MD所成角的大小为．

（3）∵AB∥平面OCD，

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q， ∵AP⊥CD，OA⊥CD， ∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离， ∵

，

，

∴

，所以点B到平面OCD的距离为．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），，

O（0，0，2），M（0，0，1），

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，

，

（1）

，

，

设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，

•

=0

即

取，解得 ∵

•

=（

，

，﹣1）•（0，4，

）=0，

∴MN∥平面OCD．

（2）设AB与MD所成的角为θ， ∵∴， ∴，AB与MD所成角的大小为

．

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量

=（0，4，

由

，得d=

=

所以点B到平面OCD的距离为

．

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）上的投影的绝对值，

【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．

23．【答案】

【解析】（本小题满分12分）φ 解：（Ⅰ）f（x）===

+）

）知：

所以：φ=

（k∈Z）

+

﹣

由f（x）图象过点（

所以f（x）=令即：

所以：函数f（x）在[0，π]上的单调区间为：（Ⅱ）因为x0∈（π，2π），则：

2x0∈（π，2π） 则：sin所以

= =

）=

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【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得故BC=15，

… ×

，所以cosB=

﹣（﹣）×，解得BD=

=…

…

…

2

从而在△ADC中，由余弦定理，得AC=9+225﹣2×3×15×（﹣）=

，所以AC=

…

【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．

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