2019-2020年高考最后一卷(押题卷)理科数学(第二模拟)含解析

2019-2020年高考最后一卷（押题卷）理科数学（第二模拟）含解析

一、选择题：共10题

1．已知集合A={x|x2-3x<0},B={y|y=},则A∩B=

A.(0,3) B.[1,3) C.(-3,0) D.(-3,-1]

【答案】A

【解析】本题考查一元二次不等式的解法、集合的交运算,考查考生的基本运算能力.依题意得

A=(0,3),B=[0,+∞),所以A∩B=(0,3).

2．已知i是虚数单位,复数z满足=4-3i,则=

A.i B.-i C.1+i D.1-i

【答案】A

【解析】本题考查复数的除法运算、共轭复数的概念,考查考生基本的运算能力.依题意得,z==-i,所以=i.

3．已知命题p:“x<0”是“x+1<0”的充分不必要条件,命题q:若随机变量X~N(1,σ2)(σ>0),且

P(0A.p∨(¬q)

B.p∧q

C.p∨q D.(¬p)∧(¬q)

【答案】C

【解析】本题考查正态曲线的对称性、充要关系的判断、复合命题的真假判断,考查考生的逻辑推理能力和对基础知识的掌握情况.因为“x<0”是“x+1<0”的必要不充分条件,所以p为假命题,因为

P(04．已知圆C过点A(2,4),B(4,2),且圆心C在直线x+y=4上,若直线x+2y-t=0与圆C相切,则t的值为

A.-6±2 B.6±2 C.2±6 D.6±4

【答案】B

【解析】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识,考查考生的数形结合思想.先求出圆心坐标和圆的半径,然后根据直线和圆相切列出等式,即可求得实数t的值.因为圆C过点A(2,4),B(4,2),所以圆心C在线段AB的垂直平分线y=x上,又圆心C在直线x+y=4上,联立,解得x=y=2,即圆心C(2,2),圆C的半径r==2.又直线x+2y-t=0与圆C相切,所以=2,解得t=6±2.

5．(x2-x-2)5的展开式中x3的系数为

A.60 B.240 C.120 D.160

【答案】C

【解析】本题考查二项式定理的应用,考查二项展开式中指定项系数的求解,考查考生的运算求解能力.因为(x2-x-2)5=(x-2)5(x+1)5,所以(x2-x-2)5的展开式中x3的系数为×(-2)2×15+×(-2)3×+×(-2)4×+×(-2)5×=40-400+800-320=120.

6．执行如图所示的程序框图,若输入x的值为-1,则输出的S的值为

A.

B.

C.20

D.

【答案】A

【解析】本题考查程序框图的有关知识,解这类题时,只需根据程序框图一步一步计算即可,当循环次数较多时,需要从循环结果中寻找规律.第一次循环t=,S=,x=0;第二次循环t=1,S=,x=1;第三次循环t=2,S=,x=2;第四次循环t=4,S=,x=3>2;第五次循环t=3,S=,x=4;第六次循环t=4,S=,x=5;第七次循环t=5,S=,x=5>4,终止循环.故输出S的值为.

7．已知x=是函数f(x)=(asinx+cosx)cosx-的图象的一条对称轴,则下列结论中正确的是

A.(,0)是f(x)的图象的一个对称中心

B.f(x)在[-,]上单调递增

C.f(x)是最小正周期为π的奇函数

D.先将函数y=2sin 2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的,然后向左平移个单位长度即可得函数f(x)的图象

【答案】B

【解析】本题考查三角恒等变换,三角函数图象的对称轴、对称中心,三角函数的单调性、最小正周期等基础知识.解题时逐个进行判断即可得到正确答案.易知函数f(x)=asinxcosx+cos2x-=asin 2x+cos 2x, 因为

x=是函数f(x)的图象的一条对称轴,所以f(0)=f(),即sin+cos,所以a=,f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),令

2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),所以函数f(x)的图象的对称中心为(-,0)(k∈Z),故A错误.当-≤x≤时,-≤2x+≤,故B正确.f(x)的最小正周期为π,但f(x)不是奇函数,故C错误.先将函数y=2sin 2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的,得到函数y=sin 2x的图象,再将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象,故D错误.

8．如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,且PD=2,底面是边长为2的菱形,M是CD的中点,平面PMB⊥平面PCD,则该四棱锥的体积为

A.

B.4

C.

D.4

【答案】A

【解析】本题主要考查了空间直线与平面的位置关系、空间几何体的体积.解题的突破口是利用面面垂直的性质定理求解底面积.

过点D在平面PCD内作DN⊥PM于点N,又平面PMB⊥平面PCD,平面PMB∩平面PCD=PM,所以DN⊥平面PMB,所以DN⊥BM.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥BM,又PD与DN是平面PDC内的两条相交直线,

所以BM⊥平面PDC,则BM⊥CD.又点M是CD的中点,BC=CD,所以∠BCD=60°,所以底面菱形ABCD的面积为2×2×sin 60°=2,故该四棱锥的体积为×2×2=.

9．如图,已知点P在以F1,F2为焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)上,过P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形

F1F2PQ为菱形,则该双曲线的离心率为

A.

B.

C.2

D.2-1

【答案】B

【解析】本题主要考查了双曲线的几何性质.解题的突破口是结合菱形的性质建立基本量的关系.由题意知四边形F1F2PQ的边长为2c,连接QF2,由对称性可知,|QF2|=|QF1|=2c,则三角形QPF2为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H,则∠PF2H=60°,因为|PF2|=2c,所以在直角三角形PF2H中,|PH|=c,|HF2|=c,则P(2c,c),连接

PF1,则|PF1|=2c.由双曲线的定义知,2a=|PF1|-|PF2|=2c-2c=2(-1)c,所以双曲线的离心率为.

10．在直角坐标平面内,如果两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于y轴对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一对“偶点”(偶点(P,Q)与(Q,P)看作同一对偶点).已知函数f(x)=有两对“偶点”,则实数k的取值范围是

A.(-∞,-4-4) B.(-4+4,+∞)

C.(-4-4,-4+4) D.(0,-4+4)

【答案】B

【解析】本题考查考生对新定义的理解和运用,考查数形结合、函数与方程思想及分析问题、解决问题的能力.根据题意可知,“偶点”满足条件:都在函数图象上,且关于y轴对称.作出函数y=2x2+4x+3(x<0)关于y轴对称的函数y=2x2-4x+3(x>0)的图象,使它与直线y=kx-1(x≥0)的交点个数为2即满足题意.由

得,2x2-(k+4)x+4=0,Δ>0,∴(k+4)2-32>0,∴k<-4-4或k>-4+4,结合图象可知当k>-4+4时有2个交点,即函数f(x)有两对“偶点”.故选B.

二、填空题：共5题

11．若关于x的不等式|2x+m|≤1的整数解有且仅有一个值为-3,则整数m的值为 .

【答案】6

【解析】本题考查绝对值不等式的求解,考查考生的运算求解能力.因为|2x+m|≤1,所以≤x≤,因为不等式的整数解为-3,所以≤-3≤,解得5≤m≤7,又不等式|2x+m|≤1仅有一个整数解-3,所以m=6.

12．为了引导学生树立正确的消费观,随机抽取了n名小学生每天的零花钱(取整数,单位:元)进行调查,若样本中每天的零花钱在[6,10)元的小学生有320名,则样本中每天的零花钱在[10,18)元的小学生的人数为 .

【答案】480

【解析】本题主要考查频率分布直方图的应用,解题的关键是熟练掌握频率分布直方图中各个小长方形的面积之和为1.根据频率分布直方图可知,每天的零花钱在[6,10)元的频率为0.08×4=0.32,又每天的零花钱在[6,10)元的小学生有320名,所以n==1 000.又(0.02+

0.08+x+0.03+0.03)×4=1,所以x=0.09,所以样本中每天的零花钱在[10,18)元的小学生的人数为(0.09+0.03)×4×1 000=480.

13．已知x,y满足不等式组,若z=x+ay的最小值为4,则实数a的值为 .

【答案】2或4

【解析】本题考查线性规划的有关知识,考查数形结合思想.

不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

假设z=x+ay在点(2,1)处取得最小值,则2+a=4,a=2,此时y=-x+z,其在点(2,1)处取得最小值,符合题意.假设z=x+ay在点(2,5)处取得最小值,则2+5a=4,a=,此时y=-x+z,其在点C处取得最小值,不符合题意.假设

z=x+ay在点(8,-1)处取得最小值,则8-a=4,a=4,此时y=-x+z,其在点A处取得最小值,符合题意.所以a的值

为2或4.

14．对于任意两个非零的平面向量m,n,定义m,n之间的新运算:mn=.已知非零的平面向量a,b满足:ab和ba都在集合{x|x=,k∈Z}中,且|a|≥|b|.若a,b的夹角θ∈(,),则(ab)sinθ= .

【答案】

【解析】本题以新定义为背景考查向量的数量积的应用,根据所给条件求出k1,k2的值是解题的关键.根据题意得ab=,k1∈Z,ba=,k2∈Z,所以(ab)·(ba)=cos2θ=.因为θ∈(,),所以k1k2=2,cos2θ=,sinθ=,因为|a|≥|b|,所以k1=2,k2=1,所以ab=,(ab)sinθ=.

15．已知函数f(x)=min{2,|x-2|},其中min{a,b}=,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,且它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1·x2·x3的最大值是 .

【答案】1

【解析】本题考查函数的图象、函数的新定义、基本不等式等知识,考查等价转化思想.解题时,先作出函数f(x)的大致图象,然后将x1,x2,x3分别用m表示出来,最后用基本不等式求最值即可.

因为函数f(x)=min{2,|x-2|}=,作出其大致图象如图所示,若直线y=m与函数f(x)的图象有三个不同的交点,则0x3=2+m,所以x1·x2·x3=(2-m)(m+2)=≤

()2=1,当且仅当m2=4-m2,即m=时取等号.

三、解答题：共6题

16．已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=1,cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=0.

(1)求角C的大小;

(2)求△ABC面积的最大值.

【答案】(1)由cosBsinC+(a-sinB)cos(A+B)=0,

可得cosBsinC-(a-sinB)cosC=0,

即sin(B+C)=acosC,sinA=acosC,即=cos C.

因为=sinC,所以cosC=sinC,即tanC=1,C=.

(2)由余弦定理得12=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab,

所以a2+b2=1+ab≥2ab,ab≤,当且仅当a=b时取等号,所以S△ABC=absinC≤.所以△ABC面积的最大值为.

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,三角恒等变换,三角形面积的求解等知识,考查考生的基本运算能力、化归与转化能力.

【备注】在运用三角恒等变换进行化简时,要注意从名、角、结构式等方面着手进行差异分析,找出这些差异之间的内在联系,最终合理转化,解题时还要注意对隐含条件的挖掘.

17．微信是腾讯公司推出的一款手机通讯软件,它支持发送语音、视频、图片和文字等,一推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信朋友圈销售商品的人(被称为微商).经调查,年龄在40岁以下(不包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为,年龄在40岁以上(包括40岁)的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为p,将每天使用微信的时间不低于8小时的微信用户称为“微信狂”.若甲(21岁)、乙(36岁)、丙(48岁)三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为.

(1)求甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率;

(2)记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】(1)根据题意知,甲为“微信狂”,乙、丙都不是“微信狂”的概率为×(1-)×(1-p)=(1-p),

乙为“微信狂”,甲、丙都不是“微信狂”的概率为(1-)××(1-p)=(1-p),

丙为“微信狂”,甲、乙都不是“微信狂”的概率为(1-)×(1-)×p=p.

又甲、乙、丙三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为,所以(1-p)+(1-p)+p=,

解得p=.

故甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率为1--(1-)×(1-)×(1-)=.

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,

且P(X=0)=(1-)×(1-)×(1-)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=×(1-)+×(1-)×+(1-)×, P(X=3)=,

所以随机变量X的分布列为

数学期望EX=0×+1×+2×+3×.

【解析】本题主要考查相互事件的概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解,考查考生的阅读理解能力、数据处理能力和基本运算能力.

【备注】概率与统计题通常是以贴近考生实际生活的新材料为背景,通过对基础知识的重新组合、变式和

拓展,将问题加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息的试题.解答概率与统计题的关键是认真阅读题目,弄清楚题设情境,将实际问题转化为数学问题,从而进行求解.

18．在数列{an}中,已知an>1,a1=1+,且an+1-an=,记bn=,n∈N*.

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,证明:≤+++…+.

【答案】(1)因为an+1-an=,所以--2an+1+2an=2,

即-=2.

又bn=,n∈N*,

所以bn+1-bn=2,数列{bn}是以b1==3为首项,2为公差的等差数列,

故bn=2n+1,n∈N*.

(2)由(1)得,Sn==n(n+2),

所以(-),n∈N*,

所以+++…+(1-+-+-+…+-)=(--)=-(+)<.

记Tn=+++…+,因为>0,n∈N*,所以Tn单调递增,故Tn≥T1=.

综上,≤+++…+.

【解析】本题主要考查等差数列的定义与应用、数列求和,考查考生的运算求解能力.(1)对已知递推关系式进行合理变形,利用等差数列的定义求出bn;(2)先求{bn}的前n项和,再利用裂项相消法求和,进而利用数列的单调性证明不等式.

【备注】高考对数列的考查常以等差数列与等比数列的基础知识与基本技能或能转化为等差、等比数列的递推关系式为主,同时侧重对数列求和的考查,如分组求和、裂项相消法求和、错位相减法求和等,因此遇到求和问题时,要有意识地往这几种方法去思考.

19．如图,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥DC,四边形ABEF为正方形.

(1)求证:直线DF,CE为异面直线;

(2)若平面ABCD⊥平面ABEF,AD=2DC=2BC,求二面角A-CF-D的余弦值.

【答案】(1)假设直线DF,CE不是异面直线,即C,D,E,F四点共面,

设C,D,E,F四点确定的平面为α,则EF⊂平面α,且平面α∩平面ABCD=CD.

因为四边形ABEF为正方形,所以EF∥AB.

因为平面ABCD与平面ABEF不重合,所以EF⊄平面ABCD,又AB⊂平面ABCD,

所以EF∥平面ABCD.

因为EF⊂平面α,平面α∩平面ABCD=CD,所以EF∥CD,所以AB∥CD.

又AB,CD为直角梯形ABCD的两腰,不可能平行,故假设不成立,即直线DF,CE为异面直线.

(2)设DC=a,连接BD.

在直角梯形ABCD中,过点B作BG⊥AD于点G,

因为AD=2BC,所以G为AD的中点,所以AB=a,

又BD=a,AD=2a,所以AB2+BD2=AD2,BD⊥AB.

因为四边形ABEF为正方形,所以BE⊥AB,

又平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,所以BE⊥平面ABCD,

所以BE⊥BD.

以点B为坐标原点,射线BA,BD,BE分别为x,y,z轴的非负半轴建立空间直角坐标系,

取a=,则A(2,0,0),D(0,2,0),C(-1,1,0),F(2,0,2),

=(3,-1,2),=(-3,1,0),=(1,1,0).

设平面ACF的法向量为m=(x,y,z),则由可得,

令x=1,得y=3,z=0,即平面ACF的一个法向量为m=(1,3,0).

设平面DCF的法向量为n=(a',b,c),则由可得,

取a'=1,得b=-1,c=-2,即平面DCF的一个法向量为n=(1,-1,-2).

所以cos==-,

由图可知,二面角A-CF-D为锐角,所以二面角A-CF-D的余弦值为.

【解析】本题考查空间中线线位置关系的证明、二面角的求解,考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.(1)先假设直线DF,CE不是异面直线,然后推出矛盾,则假设不成立,即直线DF,CE是异面直线;(2)建立空间直角坐标系,将二面角的余弦值转化为两个平面的法向量所成角的余弦值进行求解.

【备注】高考对立体几何的考查一般设置为两问,第(1)问通常考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直或平行关系的证明,第(2)问通常为二面角、直线与平面所成角的有关计算等.解决这类问题可用传统法,通过“作、证、求”进行求解,也可以建立空间直角坐标系,运用向量法进行求解.用向量法求二面角的关键是确定两个平面的法向量,用向量的夹角公式进行求解,注意二面角的大小等于法向量的夹角或其补角,故应结合图形来判断二面角是钝角还是锐角.

20．已知过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1(1)求抛物线C的方程;

(2)若抛物线C的准线为l,焦点为F,点P为直线m:x+y-2=0上的动点,且点P的横坐标为a,试讨论当a取不同的值时,圆心在抛物线C上,与直线l相切,且过点P的圆的个数.

【答案】(1)直线AB的方程是y=2(x-),代入y2=2px,得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,

由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=,∴p=2,

∴抛物线C的方程是y2=4x.

(2)解法一 由(1)知l:x=-1,F(1,0).

∵所求圆的圆心在抛物线上,且与l相切,则圆过焦点F,又圆过点P,

∴圆心在PF的中垂线上,设P(a,2-a),则PF的中点坐标为(,),

当a≠1,a≠2 时,kPF=,

∴PF的中垂线方程为y=(x-)+,化简得y=x+ ①.

圆的个数即中垂线与抛物线的交点个数,将x=代入①得

y2-y+=0, Δ=1-4··=1+.

∴当a=-1时,交点有1个,圆有1个;

当a<-1时,交点有0个,圆有0个;

当a>-1,且a≠1,a≠2时,交点有2个,圆有2个.

而当a=2时,易验证有2个交点,圆有2个;当a=1时,易知交点有1个,圆有1个.

综上所述,当a<-1时, 圆有0个;

当a=±1时,圆有1个;

当a>-1,且a≠1时,圆有2个.

解法二 设圆心Q(x0,y0)(=4x0),P(a,2-a),由于准线l:x=-1,

故若存在圆Q满足条件,则r=|PQ|=,且r=x0+1,

∴(x0-a)2+(y0+a-2)2=(x0+1)2,

即a2++2(a-2)y0+(a-2)2=(2+2a)x0+1=(2+2a)+1,

整理得(1-a)+(4a-8)y0+4a2-8a+6=0 (*),

当a=1时,(*)式即-4y0+2=0,有1个解.

当a≠1时,(*)式中Δ=(4a-8)2-4(1-a)(4a2-8a+6)=16a3-32a2-8a+40=8(a+1)(2a2-6a+5),

∵2a2-6a+5=2(a-)2+>0,

∴当a>-1且a≠1时,Δ>0,(*)式有2个解;

当a=-1时,Δ=0,(*)式有1个解;

当a<-1时,Δ<0,(*)式无解.

综上,当a<-1时,圆有0个;

当a=±1时,圆有1个;

当a>-1,且a≠1时,圆有2个.

【解析】本题主要考查抛物线的定义、几何性质,直线与抛物线、圆之间的位置关系等知识,考查数形结合、转化与化归等数学思想,意在考查考生的综合解题能力及运算求解能力.解题时,第(1)问通过抛物线的定义直接求解;第(2)问是探索性问题,将圆的个数转化为方程根的个数进行求解.

【备注】近几年的高考题中,解析几何一般作为压轴题出现,重点考查抛物线的方程、几何性质、直线与抛物线的位置关系等.一般地,第(1)问是求抛物线的方程,属于送分题,千万不要失分;第(2)问一般考查数学思想方法,通常在数形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次方程中根与系数的关系是解决问题的常用工具,要熟练掌握.

21．已知函数f(x)=xlnx-k(x-1).

(1)若函数h(x)=,求h(x)的极值;

(2)若f(x)=0有一根为x1(x1>1),f'(x)=0的根为x0,则是否存在实数k,使得x1=kx0?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),

h(x)==lnx-(x>0),则h'(x)=-,

当k≤0时,h'(x)>0对任意的x>0恒成立,所以h(x)是(0,+∞)上的增函数,此时h(x)不存在极值.

当k>0时,若0k,则h'(x)>0.所以h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,+∞)上的增函数,

故h(x)的极小值为h(k)=lnk-k+1,不存在极大值.

综上所述,当k≤0时,h(x)不存在极值;

当k>0时,h(x)极小值=lnk-k+1,不存在极大值.

(2)由(1)知当k≤0或k=1时,f(x)=0,即h(x)=0仅有唯一解x=1,不符合题意.

当01时,有h(x)>h(1)=0,所以f(x)=0没有大于1的根,不符合

题意.

当k>1时,由f'(x)=0,即f'(x)=1+lnx-k=0,解得x0=ek-1,

若x1=kx0=kek-1,又x1lnx1=k(x1-1),

所以kek-1ln(kek-1)=k(kek-1-1),即lnk-1+e1-k=0.

令v(x)=lnx-1+e1-x,则v'(x)=-e1-x=,

令s(x)=ex-ex,s'(x)=ex-e,当x>1时,总有s'(x)>0,

所以s(x)是(1,+∞)上的增函数,即s(x)=ex-ex>s(1)=0,

故当x>1时,v'(x)>0,v(x)是(1,+∞)上的增函数,所以v(x)>v(1)=0,

即lnk-1+e1-k=0在(1,+∞)上无解.

综上可知,不存在满足条件的实数k.

【解析】本题考查导数在解决函数的极值与方程的根等问题中的应用,考查考生综合分析问题、解决问题的能力,等价转化能力及计算能力.

【备注】高考对导数的考查通常以与对数函数、指数函数、分式函数相关的函数为载体,利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及不等式恒成立问题与不等式的证明等,同时达到考查分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程思想的目的,这是考查导数的主要潮流.