第２１卷第３期 ２ ０ ０ ８年９月 青岛大学学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩＮＧＤＡＯ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．２１ Ｎｏ．３ Ｓｅｐ．２ ０ ０ ８ 文章编号：１００６—１０３７（２００８）０３～００１２—０３ 有限群的ＰＣＳＭ一子群 李 华 ，钱国华。 （１．江苏大学理学院，江苏镇江２１２０１３；２．常熟理工学院数学系，江苏常熟２１５５００） 摘要：设Ｇ是一个有限群，Ｈ为Ｇ的子群，如果对于Ｇ的任意Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群Ｍ， 至少存在Ｍ的一个共轭子群Ｍ ，ｚ Ｅ Ｇ，使得ＨＭｘ—Ｍ Ｈ，则称子群Ｈ为Ｇ的ＰＣＳＭ一 子群。考察了某些子群是ＰＣＳＭ一子群时的有限群结构，特别地获得了超可解群的一些充 分条件。 关键词：ＰＣＳＭ一子群；极大子群；超可解 中图分类号：Ｏ１５２．１ 主题分类号：２０Ｄ１０；２０Ｄ２５ 文献标识码：Ａ １ 问题 本文所说的群均为有限群。钱国华在文［１］中提出了ＰＣ一子群（也称弱拟正规子群）的概念，即称子群 Ｈ为Ｇ的ＰＣ一子群，是指任取Ｋ≤Ｇ，至少存在Ｋ的一个共轭子群Ｋ ，ｚＥＧ，使得ＨＫ 一Ｋ Ｈ。本文将在 此研究的基础上，进一步减弱ＰＣ一子群的条件，引入下述新概念： 定义１．１设Ｈ为群Ｇ的子群，若对于Ｇ的任意Ｓｙｌｏｗ子群的极大子群，至少存在Ｍ的一个共轭子群 ， Ｅ Ｇ，使得ＨＭ 一Ｍ Ｈ，则称子群Ｈ为Ｇ的ＰＣＳＭ一子群（或Ｈ在Ｇ中ＰＣＳＭ）。 本文考察了某些子群（如极大子群、２一极大子群）是ＰＣＳＭ一子群时的有限群结构，特别地获得了超可解 群的一些充分条件。本文所用的符号及概念都是标准的，可参照文献Ｅ２］。 ２ 主要结论 引理２．１ 设Ｎ是有限群Ｇ的正规子群，若Ｈ为Ｇ的ＰＣＳＭ一子群，则ＨＮ／Ｎ为Ｇ／Ｎ的ＰＣＳＭ一子群。 证明 对于任意的ＰＥ ７ｃ（Ｇ／Ｎ），任取Ｇ／Ｎ的Ｓｙｌｏｗ ｐ－子群ＰＮ／Ｎ，其中ＰＥ Ｓｙｌ （Ｇ）。对于ＰＮ／Ｎ的 任意极大子群Ｍ／Ｎ，Ｍ为ＰＮ的极大子群。又Ｍ—Ｍｎ ＰＮ＝（ＭＮ Ｐ）Ｎ，且 ｌ ＰＮＩ— Ｉ ＰＮＩ —Ｉ Ｐ ｌ ｌＮＩ．１ＭＮ Ｐ ｎ ＮＩ— Ｉ Ｐ ＩｌＭｌ ｌ（ＭＮＰ）Ｎｌ ｌＰｎＮｌ ＩＭＮＰ ｌ ｌＮｌ ｌＭｎＰｌ 即对于ＰＮ的任意极大子群Ｍ，存在Ｐ的极大子群Ｐ ＝ＭＮ Ｐ，使得Ｍ—Ｐ Ｎ。由Ｈ为Ｇ的ＰＣＳＭ一子群， 存在３２ＥＧ，使得Ｈ ≤Ｇ，从而 （ＨＮ／Ｎ）（Ｍ／Ｎ） 一（ＨＮ／Ｎ）（Ｐ１ＮｆＮ） 一（ＨＮ／Ｎ （Ｐ ＮｆＮ）一ＨＰ ＮｆＮ≤ＧｆＮ， 即ＨＮ／Ｎ为Ｇ／Ｎ的ＰＣＳＭ一子群。 引理２．２ｌ＿２ 设Ｎ为群Ｇ的正规交换子群，且Ｎｎ （Ｇ）一１，则Ｎ在Ｇ中有补。 引理２．３＿１ 设Ｍ，Ｎ为Ｇ的子群，且Ｇ—ＭＮ，则对于任意的ｚ，Ｙ∈Ｇ，Ｇ＝Ｍ￣Ｎｙ。 引理２．４＿３ 设Ｇ是可解的外超可解群，则有Ｇ—Ｆｉｔ（Ｇ）Ｍ，且Ｆｉｔ（Ｇ）为Ｇ的唯一极小正规子群，Ｆｉｔ （Ｇ）一Ｐ ，ｒ＞１，Ｍ为Ｇ的超可解的极大子群，Ｆｉｔ（Ｇ）ｎ Ｍ＝＝＝１，且Ｆｉｔ（Ｇ）在Ｇ中的补都是Ｍ的共轭子群。 ＊收稿日期：２００８—０５—２５ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０５７１１２８） 通讯作者：钱国华（１９６５一），男，江苏张家港人，教授，主要从事抽象群论及特征标理论的研究。Ｅ—ｍａｉｌ：ｇｈｑｉａｎ２０００＠ｙａｈｏｏ．ＣＯＮ．ｃｎ 第３期 李华，等：有限群的ＰＣＳＭ一子群 １３ 定理２．５设Ｇ是一个可解群，则Ｇ超可解当且仅当Ｇ的所有极大子群均为ＰＣｓＭ一子群。 证明 必要性。对于任意的 Ｅ （Ｇ），ＰＥ Ｓｙｌ （Ｇ），任取Ｐ的极大子群Ｐ ，Ｇ的极大子群Ｍ。由Ｇ超 可解，可令ｆ Ｇ：Ｍｆ—ｑ，ｑＥ ７ｃ（Ｇ）。若 ≠ｑ，则存在ｘＥ Ｇ，使得 ≤Ｍ，从而ＭＰｆ—Ｍ。故可令ｐ—ｑ。若存 在ｘＥＧ，使得Ｐ ≤Ｍ，则ＭＰ 显然成群。若对于任意的ｘＥＧ，Ｐ ≤Ｍ，由 ｌＭ 一 从而有ＭＰ —Ｇ，即Ｍ为Ｇ的ＰＣＳＭ一子群。 ＊≥ｐｌＭＩ 充分性。对于任意的Ｎ Ｇ，考虑Ｇ／Ｎ。任取Ｇ／Ｎ的一个极大子群Ｍ／Ｎ，则Ｍ是Ｇ的极大子群，且由 引理２．１知Ｍ／Ｎ为Ｇ／Ｎ的ＰＣＳＭ一子群，即条件对商群保持，因此由归纳得Ｇ／Ｎ超可解。若 （Ｇ）＞１，则 由归纳得Ｇ／ （Ｇ）超可解，从而Ｇ超可解，因此我们可设 （Ｇ）一１。若Ｇ有不同的极小正规子群Ｎ ，Ｎｚ，则 由归纳知Ｇ／Ｎ ，Ｇ／Ｎ 超可解，从而Ｇ＝Ｇ／（Ｎ ｎ Ｎ。）≤Ｇ／Ｎ ｘＧ／Ｎ 超可解，因此我们可设Ｇ有唯一极小 正规子群，记为Ｎ。因Ｇ可解，所以Ｎ为初等交换 一群。又由引理２．２，Ｎ在Ｇ中有补Ｍ，即Ｇ＝ＭＮ，其中 Ｍ为Ｇ的极大子群，ＭＮ Ｎ一１。任取ＰＥ Ｓｙｌ （Ｇ），显然存在Ｍ ∈Ｓｙｌ （Ｍ），使得Ｐ—ＮＭ 且Ｎ ｎ 一１。 取Ｐ 为Ｐ的极大子群且Ｍ ≤Ｐ ，则存在 ＥＧ，使得Ｍ ≤Ｇ。 若Ｐ Ｍ，则ＭＰ —Ｇ。由引理２．３，亦有Ｇ＝ＭＰ ，于是 ＧＩ＝ＩＭＰ１ 一 一 一 一 矛盾。故我们可令 ≤Ｍ，则存在 ∈Ｍ，使得Ｐ ≤Ｍ ，因此Ｊ Ｐ ！一Ｊ Ｐ ｊ整除Ｊ 一 ｆ Ｐ：Ｐ ｆ一 ｌ １ ｌ 一Ｊ。又因为 ， 所以ｌ Ｐ ｌ—Ｉ Ｍ Ｉ，此时ｌ Ｎｌ— 。再者由归纳知Ｇ／Ｎ超可解，故Ｇ超可解。 定理２．６设Ｇ是一个可解群，如果Ｇ的所有Ｓｙｌｏｗ子群均为ＰＣＳＭ一子群，则Ｇ超可解。 证明 对于任意的Ｎ Ｇ，考虑Ｇ／Ｎ。任取ＰＮ／Ｎ∈Ｓｙｌ （Ｇ／Ｎ），其中ＰＥＳｙｌ （Ｇ）。由引理２．１，ＰＮ／ Ｎ为ＧＩＮ的ＰＣＳＭ一子群，即条件对商群保持。假设结论不真，可令Ｇ为极小反例，则Ｇ为可解的外超可解 群。由引理２．４，Ｇ—ＮＭ，其中Ｎ为Ｇ的唯一极小正规子群，Ｍ为Ｇ的超可解的极大子群，Ｎｎ Ｍ一１，Ｊ Ｎｌ —Ｐ ，ｒ＞１，设Ｍｐ∈Ｓｙｌｐ（Ｍ），则 Ｎ＝＝＝Ｇ ∈Ｓｙｌｐ（Ｇ）。取Ｇ０为Ｇ 的极大子群且Ｍ ≤Ｇ０。令Ｎ 一Ｎ ｎ Ｇ０，于是ｌ Ｎ：Ｎ Ｉ—ｌ Ｎ：Ｎｎ Ｇ。Ｉ—ｌ ＮＧ０： ｌ—ｌ Ｇ ：Ｇ。１一Ｐ，即Ｎ 为Ｎ的极大子群。由条件，对于任 意的ｑ≠Ｐ，存在ＱＥＳｙｌ。（Ｇ），使得Ｑ ≤Ｇ。由Ｎ 一ＮｎＧ。≤ＮｎＧ。Ｑ≤Ｎ，且Ｎ 为Ｎ的极大子群，知Ｎ ｎ Ｇ０Ｑ—Ｎ或Ｎ 。 若ＮｎＧ。Ｑ—Ｎ，则Ｎ Ｇ。Ｑ，从而Ｇ ：Ｍ Ｎ Ｇ。Ｑ，矛盾。 若Ｎｎ Ｑ：＝：Ｎ ，则Ｎ 一Ｎｎ ＧｏＱ Ｇ。Ｑ，有Ｇ０∈ＮＧ（Ｎ ），又Ｎ∈ＮＧ（Ｎ ），则ＧｏＮ—Ｇ Ｅ Ｎｏ（Ｎ１）。 由ＱＥ ＮＧ（Ｎ ）及ｑ的任意性，存在ＨＥ Ｈａｌｌ （Ｇ），使得ＨＥ （Ｎ ），因而有ＨＧ ＝ＧＥ ＮＧ（Ｎ１），即Ｎ ｑ Ｇ。但Ｎ是Ｇ的唯一极小正规子群，故Ｎ 一１，从而ｌ Ｎ｝一Ｐ，矛盾。 定理２．７设Ｇ是一个可解群，如果Ｇ的所有２一极大子群均为ＰＣＳＭ一子群，则Ｇ／Ｆｉｔ（Ｇ）交换。 证明 对于任意的Ｎｑ Ｇ，考虑Ｇ／Ｎ。任取Ｇ／Ｎ的一个２一极大子群Ｍ／Ｎ，则Ｍ是Ｇ的２一极大子群， 且由引理２．１知Ｍ／Ｎ为Ｇ／Ｎ的ＰＣＳＭ一子群，因此条件对商群保持，从而由归纳得（Ｇ／Ｎ）／Ｆ ￡（Ｇ／Ｎ）交换。 若 （Ｇ）＞１，由归纳Ｇ／Ｆｉｔ（Ｇ） （Ｇ／Ｏ（Ｇ））／（Ｆｉｔ（Ｇ／￣（Ｇ）））交换，结论成立。故我们可设 （Ｇ）一１。 假设Ｎ ，Ｎ 为Ｇ的两个不同的极小正规子群。令Ａ ／Ｎ 一Ｆｉｔ（Ｇ／Ｎ ），Ａ ／Ｎ。：Ｆｉｔ（Ｇ／Ｎｚ），由归纳 Ｇ／Ａ 丝（Ｇ／Ｎ１）／（Ａ ／Ｎ ）交换，Ｇ／Ａ （Ｇ／Ｎ。）／（Ａ ／ｍ２）交换，从而Ｇ／（Ａ ｎＡ ）≤Ｇ／Ａ ×Ｇ／Ａ２交换。又 易见，Ｎ Ｎ ≤Ａ１ ｎＡ。，（Ａ ｎ Ａ：）／Ｎ ≤Ａ ／Ｎ 幂零，（Ａ ｎ Ａ ）／Ｎ２≤Ａ。／Ⅳ２也幂零，则Ａ ｎ Ａｚ一（Ａ ｎ Ａ。）八Ｎ ｎＮ２）≤（Ａ ｎＡ。）／Ｎ ｘ（Ａ ｎＡ。）／Ｎ。幂零，又显然有Ａ ｎＡ。 Ｇ，从而Ａ ｎＡｚ≤Ｆｉｔ（Ｇ）。由Ｇ／ Ｆ缸（Ｇ） （Ｇ／（Ａ ｎＡ。））／（Ｆｉｔ（Ｇ）／（Ａ ｎＡ。）），即得Ｇ／Ｒ （Ｇ）交换。故可令Ｇ有唯一极小正规子群，设为Ｎ。 由引理２．２，Ｎ在Ｇ中有补，即Ｇ—ＨＮ，其中Ｈ为Ｇ的极大子群，Ｎｑ Ｇ，Ｈ ｎ Ｎ：１，且Ｎ—Ｆｉｔ（Ｇ）为 １４ 青岛大学学报（自然科学版） 第２１卷 Ｐ 阶初等交换 群。若ｒ一１，则Ｇ／Ｎ＝ＮＧ（Ｎ）／ＧＧ（Ｎ）￣Ａｕｔ（Ｎ）一 一 交换，结论成立。故我们可设ｒ＞１。 假设Ｊ＼， Ｓｙｌ （Ｇ）。此时Ｈ有极大子群Ｈ 使得ＩＨ：Ｈ Ｊ一户“，口≥１。则存在Ｐ∈Ｓｙｌ （Ｈ）使得Ｈ— Ｈ Ｐ，且ＰＮ∈Ｓｙｌ。（Ｇ）。取Ｕ为ＰＮ的极大子群且Ｐ≤己，，于是Ｕ＝ＵＮ ＰＮ＝Ｐ（ＵＮ Ｎ），显然ｌ Ｎ：ＵＮ Ｎｌ 一 。由条件知Ｈ 作为Ｇ的２一极大子群，它与Ｕ的某个 共轭 乘法交换，即Ｈ ≤Ｇ。注意到Ｈ 包 ｌ整除Ｐ。若Ｈ Ｕ 一Ｇ，则Ｇ—Ｈ Ｕ， 的Ｓｙｌｏｗ Ｐ一子群，因此（ＨｌＵ ） ｌ一声，此时 是Ｈ 含了Ｇ的一个 ，＿Ｈａｌｌ子群，且Ｐ ｌ—Ｐ Ｉｌ己，ｌ—Ｉ Ｇｌ ，易见Ｉ Ｇ：Ｈ 此时ｕ是Ｈ Ｕ的Ｓｙｌｏｗｐ－子群，矛盾。若Ｉ Ｇ：Ｈ Ｎ Ｎ—Ｕ Ｎ Ｎ＝Ｕｙ Ｎ Ｎ，这里ｔ∈Ｈ Ｕ ， ＝＝＝ｘｔ，从而（Ｈ Ｕ ）Ｎ Ｎ＝Ｕｙ Ｎ Ｎ一（Ｕｎ Ｎ）ｙ。注意到｝Ｎ：ＵＮ Ｎ ｌ 一声且ｌＮｌ≥ ，我们推出ＮｎＨ Ｕ ＞１且Ｎ《Ｈ Ｕ ，这与Ｈ ｕ 的极大性及Ｎ的极小正规性矛盾。故我 们可设Ｎ∈Ｓｙｌ （Ｇ）。 假设Ｈ Ｇ／Ｎ不循环。可取Ｈ ，Ｈ。为Ｈ的两个不同的极大子群，且Ｈ Ｈ，显然Ｈ Ｈ。一Ｈ。由条 件存在Ｎ的极大子群Ｅ，使得Ｈ Ｅ＜Ｇ。且存在ｚ—ｎｈ∈Ｇ，Ｙ／∈Ｎ，ｈ∈Ｈ，使得Ｈ。Ｅ 一Ｈ２Ｅ 一Ｈ。Ｅ ＜Ｇ， 即有Ｈ Ｅ一（Ｈ。Ｅｈ） ＜Ｇ。又Ｈ ＥＮ Ｎ—Ｅ（Ｈ１ Ｎ Ｎ）一Ｅ，Ｈ ＥＮ Ｎ Ｈ Ｅ，有Ｈ１≤ＮＧ（Ｅ），同理Ｈ２≤ＮＧ （Ｅ），则Ｈ—Ｈ Ｈ。≤Ｎ。（￡）。又Ｎ≤￣Ｇ（Ｅ），所以Ｇ—ＨＮ≤ＮＧ（Ｅ），即Ｅ Ｇ，与Ｎ的极小正规性矛盾。 从而Ｇ／Ｆ （Ｇ）一Ｇ／Ｎ循环。定理成立。 推论２．８设Ｇ是一个可解群，如果Ｇ的所有２一极大子群均为ＰＣＳＭ一子群，则Ｇ的幂零长ｎｌ（Ｇ）≤２。 参考文献： －Ｉ１］钱国华，朱平天．超可解群的一些充分条件［Ｊ］．南京师范大学学报，１９９８，２１（１）：１５—２１． ［２］Ｈｕｐｐｅｒｔ Ｂ．，Ｅｎｄｌｉｃｈ ｇｒｕｐｐｅｎ Ｉ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉａｎ Ｈｅｉｄｅｌｂｅｒｇ Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：ｓｐｒｉｎｇｅ卜Ｖｅｒｌａｇ，１９７９ ［３］ 陈重穆．内外∑一子群与极小非∑一群［Ｍ］．重庆西南师范大学出版社，１９８８． Ｐｃｓｍ—Ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ Ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｏｕｐｓ ＬＩ Ｈｕａ ．ＱＩＡＮ Ｇｕｏ—ｈｕａ。 （１．Ｆａｃｕｌｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ．，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎ ｊｉａｎｇ ２１２０１３，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｕ，Ｃｈａｎｇｓｈｕ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈｕ ２１５５００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｈ ｏｆ ａ ｇｒｏｕｐ Ｇ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ＰＣＳＭ－ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｉｎ Ｇ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ Ｇ－ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｏｆ ｅａｃｈ ｍａｘｉｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐ Ｍ ｏｆ ａｎｙ Ｓｙｌｏｗ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ＨＭ＝＝ＭＸＨ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ∈Ｇ．Ｔｈｅ ａｉｍ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ａｒｅ ＰＣＳＭ—ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ ｓｏｍｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｕｐｅｒｓｏ１ｖａｂｉ１ｉｔｙ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄＫｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＰＣＳＭ—ｓｕｂｇｒｏｕｐ；Ｍａｘｉｍａｌ ｓｕｂｇｒｏｕｐ；Ｓｕｐｅｒｓｏｌｖａｂｌｅ ｇｒｏｕｐ ．
