高中生对交变电流峰值与有效值数学关系的推导

[摘 要]作者围绕交变电流的峰值(Im或Em)与有效值(I或U)之间的数学关系展开推导。运用中学阶段所学物理.数学知识，通过理论推导，得出：IIm，UEm 。

高中阶段在人教版物理选修3-2中学习了交变电流。书中介绍了交变电流的产生和描述它的物理量，其中就谈及了交变电流峰值与有效值的数学关系。但书中只是直接给出它们之间的数学关系，对于关系的推导只用“通过理论计算得出”而概括。出于好奇心和对知识的渴求，作者运用现阶段所学的物理.数学知识，对交变电流峰值与有效值的数学关系进行详细的推导。

1．推导思路：推导以对交变电流有效值的定义为指导，以交变电流的一个周期为对象。从交变电流的峰值与瞬时值出发，运用中学数学积分知识，推出交变电流在一个周期内所做的总功。再由有效值的定义推导得出交变电流的峰值与有效值之间的数学关系。

2．理论推导：下面作者将运用中学数学积分知识来推导交变电流峰值与有效值之间的数学关系。

交变电流的峰值Im或Em是它能达到的最大值，交变电流的瞬时值e或i是它在某一时刻的数值；已知，交变电流的峰值与瞬时值之间存在如下关系：

eEmsint，iImsint，又根据欧姆定

律

EmImR，则可推导出交变电流的瞬

时功率peiI2mRsin2t。

交变电流在瞬时所做的功wpt。设交变电流的一个周期为T，在一个周期内交变电流做的总功为W，则：

22Ww1w2w3wnn....p1tp2tp3tpnti1....T0I22mRsintdtI22....mRRT2tIm4sin2t0....I2mR2T让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻R，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，而这个恒定电流是I.U叫做这个交变电流的有效值。根据交变电流有效值的定义可得到：

WI2RT。

即：

I2mR2TI2RT

所以：IIm

2又由欧姆定律可知IEmmR，IU

R所以：UEm

2综上所述得交变电流的峰值与有效值的数学关系为：IIm，Em。

2U23．小结：通过证明交变电流的有效值公式，一方面加深了作者对公式的理解，在应用上不至于求交变电流的有效值时乱套公式。另一方面加强了作者运用数学知识处理物理问题的能力训练，这样数理结合，相得益彰，收到了良好的学习效果。

参考文献： [1]人民教育出版社 课程教材研究所 物理课程教材研究开发中心.编著.普通高中课程标准实验教科书 物理 选修3-2.2010年4月第3版：30-37. [2]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 编著.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2.2007年1月第2版：1-34.