电子版实验报告

非线性电路中的混沌现象

学号：37073112 姓名：蔡正阳 日期：2009年3月24日

五：数据处理：

1．计算电感L

本实验采用相位测量。根据RLC谐振规律，当输入激励的频率

f12LC时，RLC串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示

波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。

测量得：f=32.8kHz；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：

L142fC2143.141.0951029(32.810)3221.50mH

估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz 则：

u(L)L4u(f)f22u(C)C227.6103

即 u(L)0.16mH

最终结果：Lu(L)(21.50.2)mH

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2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：

R 71200 21000 12150 8430 6390 5100 4215 3564 3070 2680 2369 2115 2103.1 2096.8 2090.2 2083.4 2076.3 2068.9 2061.2 2053.3 V -12 -11.8 -11.6 -11.4 -11.2 -11 -10.8 -10.6 -10.4 -10.2 -10 -9.8 -9.6 -9.4 -9.2 -9 -8.8 -8.6 -8.4 -8.2 R 2044.9 2036.2 2027.2 2017.8 2007.9 1997.5 1986.7 1975.3 1963.4 1950.9 1937.6 1923.7 1909 1893.4 1876.9 1859.5 1840.9 1821.2 1800.1 1777.6 V -8 -7.8 -7.6 -7.4 -7.2 -7 -6.8 -6.6 -6.4 -6.2 -6 -5.8 -5.6 -5.4 -5.2 -5 -4.8 -4.6 -4.4 -4.2 R 1753.4 1727.5 1699.6 1669.4 1636.7 1601.2 1562.4 1519.7 1472.3 1420 1360.9 1295.1 1281.8 1276.7 1270.1 1261.1 1247.8 1226 1148.9 1075 V -4 -3.8 -3.6 -3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

（2）数据处理：

根据IRUR1 RR可以得出流过电阻箱的

R 电流，由回路KCL方程和KVL方程可知：

IR1IRUR1U

V R

由此可得对应的IR1值。

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对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I，U）实验点均标注在坐标平

面上，可得：

I-V图（实验值）0.005I0.00450.0040.00350.0030.00250.0020.00150.0010.0005V-14-12-10-8-6-4-200

图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。故我们在12U9.8V、9.8U1.8V、

1.8U0V这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U曲

线。

使用Excel的Linest函数可以求出这三段的线性回归方程： 0.002032U-0.024530932 -12U9.78 I-0.00041U0.000651953 -9.78U-1.72

-0.00079U -1.72U0 经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V线性符合得较好。

应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U曲线。

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I-V图（线性回归）I5.00E-034.50E-034.00E-033.50E-033.00E-032.50E-032.00E-031.50E-031.00E-035.00E-04U0.00E+00-14-12-10-8-6-4-20

将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线：

I-V图（线性回归）5.00E-03I/A4.00E-033.00E-032.00E-031.00E-03-15.00-12.50-10.00-7.50-5.000.00E+00-2.500.00-1.00E-03U2.505.007.5010.0012.5015.00-2.00E-03-3.00E-03-4.00E-03-5.00E-03

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3．观察混沌现象： （1）一倍周期：

一倍周期

（2）两倍周期：

两倍周期

（3）四倍周期：

四倍周期

（4）单吸引子：

单吸引子

Vc1-t

Vc1-t

Vc1-t

阵发混沌

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三倍周期

(5)双吸引子：

双吸引子

Vc1-t

Vc1-t

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4．使用计算机数值模拟混沌现象： （1）源程序（Matlab代码）： 算法核心：四阶龙格库塔数值积分法 文件1：chua.m

function [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no) h=0.01; a=h/2; aa=h/6; xx=[];

for j=1:symbol_no;

k0=chua_map(x,time_variable,aaa); x1=x+kO*a;

k1=chua_map(xl,time_variable,aaa); xl=x+k1*a;

k2=chua_map(x1,time_variable,aaa); x1=x+k2*h;

k3=chua_map(x1,time-variable,aaa); x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3); xx=[xx x]; end

文件2：chua_initial.m:

function [x0]=chua_initial(x,aaa) h=0.01;a=h/2;aa=h/6; x=[-0.03 0.6 -0.01]'; k0=chua_map(x,1,aaa); x1=x+k0*a;

k1=chua_map(xl,1,aaa); x1=x+k1*a;

k2=chua_map(x1,1,aaa); x1=x+k2*h;

k3=chua_map(x1,1,aaa); x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3); for k=2:400

kO=chua_map(x,k,aaa); x1=x+k0*a;

k1=chua_map(x1,k,aaa); x1=x+k1*a;

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k2=chua_map(x1,k,aaa); x1=x+k2*h;

k3=chua_map(xl,k,aaa);

x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3); end

x0=x;

文件3：chua_map.m:

function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa) m0=-1/7.0; m1=2/7.0; if xx(1)>=1

hx=m1*xx(1)+m0-m1; elseif abs(xx(1))<=1 hx=m0*xx(1); else

hx=m1*xx(1)-m0+m1; end A=[0 9.0 0 1.0 -1.0 1.0 O aaa 0]; x=A*xx;

x=x+[-9*hx 0 O]'; 文件4：chua_demo.m

x0=0.05*randn(3,1);

[x0]=chua_initial(x0,-100/7); [xx]=chua(x0,1,-100/7,20000); plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end)); xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)'); figure;

plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end)) xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)'); (2)

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对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下：（Matlab代码）

function discrete_chai

dt=0.04; c1=1/9; c2=1; L=1/7; G=0.7; N=10000; a0=0.8;a1=0.1;

MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1];

UVI=zeros(3,N);

UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1]; for k=1:N-1;

Bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0]; UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd; end

plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end)); xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)'); figure;

plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end)) xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)');

经验证：该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。

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（2）数值仿真结果：

改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：

Uc1-Uc2图

使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：

I-Uc1-Uc2图

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同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：

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改变G值，使G=0.35，数值仿真出现单吸引子：

Uc1-Uc2图

使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：

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同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：

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在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。

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六、选做实验：

费根鲍姆常数的测量：

以G作为系统参数，将RV1+RV2由一个较大值逐渐减小，记录出现倍周期分岔时的参数值Gn，得到倍周期分岔之间相继参量间隔之比：

limGnGn1Gn1Gnn

测量时n越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：

(R1R2)R3(R2R3)R1

实验测得：R1=8700；R2=11060；R3=11829。代入上述公式，可得：

4.1728

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七、实验后思考题：

1．什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？

答：将电路方程x=V1(t)和y=V2(t)消去时间变量t而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图。

在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质，它突出了电路系统运动的全局概念。

在本实验中，示波器CH1端接Vc1电压，CH2端接Vc2电压，这样就能获得Vc1-Vc2相图。

2．什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？ 答：系统在改变某些参数后，运动周期变为原先的两倍，即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。这在非线性理论中称为倍周期分岔。 倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆，运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上。

3．什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？

答：混沌大体包含以下一些主要内容： （1） 系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力

学却是决定论的；

（2） 具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可测

性； （3） 这种不可预测性并非由外界噪声引起的；

（4） 系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始

条件无关。 混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的，但这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。因为相点貌似无规律地游荡，不会重复已走过的路，但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走，类似“线圈”的轨道本身是有界的，显然其中有某些规律。 4．什么叫吸引子？什么是非奇异吸引子？什么是奇异吸引子？表现在相图上有什么特点？

答：在系统条件一定下，无论个它什么样的初始条件，最终都将落入周期解的吸引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引

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到各自的终态集上，这些终态集被称为“吸引子”。

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子。

5．什么是费根鲍姆常数？在本实验中如何测量它的近似值？ 答：对于某一系统，改变参量r，当r=r1时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二，继续改变r，当当r=r2时周期二失稳，同时出现周期四，如此继续下去。定义：

limrnrn1rn1rnn

常数被命名为费根鲍姆常数。

测量时n越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：

(R1R2)R3(R2R3)R1

6．非线性电阻R的伏安特性如何测量？如何对实验数据进行分段拟合？实验中使用的是哪一段曲线？ 答：测量非线性电阻R时，把电感从电路中取出，这样可以把有源非线性负阻R与移相器的连线隔开。将电阻箱R0和有源非线性负阻并联，改变电阻箱R0的电阻值，用数字电压表测URO，获得有源非线性负阻在U<0V时的伏安特性。

分段时，先将实验点画在坐标平面上，确定拐点的位置，然后分组进行一元线性回归拟合。 实验中使用的是U<0V时的伏安特性曲线，需要和原点对称，获得U>0V时的伏安特性曲线。

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八、实验感想：

在本次实验中，我初步了解了混沌的一些知识，并对混沌的理论和实际应用产生了兴趣。在实验后，我通过查阅相关资料了解到，20多年来，混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人类对客观世界的认识。

混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。 混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。而在人类的实际生活中，混沌的机理也被广泛地应用在秘密通信、改善和提高激光器的性能等方面。

在实验中我通过观察现象，加深了对RLC电路谐振的理解，并了解到这种原理在测量领域中的应用。同时，在测量非线性电阻R的伏安特性曲线中，通过思考连线方法和测量方法，锻炼了实验的能力。

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参考资料：

[1]杨晓松，李清都．混沌系统与混沌电路．北京：科学出版社，2007 [2]孙志忠．数值分析．第二版．南京：东南大学出版社，2002． [3]冯久超，陈宏滨．蔡氏电路的仿真研究．华北航天工业学院学报

Vol．15 suppl，Jun 2005

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