库仑散射公式的推导及其数值模拟

杨博;刘艳鑫

【摘 要】基于经典力学原理,推导了库仑散射公式,并应用能量守恒定律估计了原子核半径的大小.采用Math-ematica软件给出库仑散射公式的数值模拟结果,讨论了入射粒子速度对散射角的影响,加深对库仑散射公式更为形象直观的理解. 【期刊名称】《湖州师范学院学报》 【年(卷),期】2019(041)004 【总页数】5页(P23-27)

【关键词】库仑散射;原子核半径;力学原理;数值模拟 【作 者】杨博;刘艳鑫

【作者单位】湖州师范学院理学院,浙江湖州313000;湖州师范学院理学院,浙江湖州313000 【正文语种】中 文 【中图分类】O562 0 引 言

电子发现后，人们对正负电荷在原子内如何分布提出了各自的见解.汤姆孙提出“枣糕式”模型，认为正电荷是均匀分布在原子中，电子是镶嵌在其中的.卢瑟福提出“原子核式模型”(又称卢瑟福原子模型)，认为正电荷集中在原子大小的万分之一范围内，叫原子核，且原子的质量几乎都集中在原子核上，电子绕原子核运动.

1909年的α粒子散射实验，用α粒子去轰击金箔，发现大部分α粒子几乎没有偏转穿过金箔，约有1/8 000的粒子的偏转角大于90°，极少数发生180°的偏转.实验结论是：正电荷集中在原子核中心；大部分α粒子穿过金箔的原因是原子内有较大空间，正电荷集中在原子中心，并且电子的质量很小；一部分α粒子改变路径的原因是正电荷集中的区域很小；极少数α粒子反弹的原因是原子中的微粒体积小，但质量很大.α粒子散射实验没有验证汤姆孙模型的正确性，而是为建立现代原子核理论打下了基础[1].在文献[2]中，基于实验上最新的实验数据对原子核电荷半径的唯像公式进行了详细的研究.在文献[3]中，尹建武基于力学原理、量子力学原理、量子场论原理推导了卢瑟福散射公式，并将三种方法进行了对比. 卢瑟福为解释α粒子散射实验中α粒子的偏转现象提出了卢瑟福散射公式.在推导卢瑟福散射公式时只考虑库仑力.事实上，每个原子核都有一定的大小.在卢瑟福公式成立的情况下，入射粒子与原子核有一个最小接近距离，这个最小接近距离就是原子核的大小.我们可以利用能量守恒定律估计原子核大小.

基于以上理论方面的进展和讨论，本文基于经典力学原理推导了库仑散射公式，并应用能量守恒定律估计了原子核半径的大小.采用Mathematica软件给出库仑散射公式的数值模拟结果，对入射粒子速度对散射角的影响进行讨论. 1 库仑散射公式推导

库仑散射描述的是带电粒子入射到物质中受物质原子核库仑电场作用产生偏转而散开的现象,见图1.

Z1e是入射带电粒子，Z2e是靶核粒子，E是入射粒子能量.

图1描述的是入射带电粒子以能量E入射与靶核粒子发生散射的情况.下面先来推导物理学中一个重要公式——库仑散射公式：

(1)

b为瞄准距离，又称碰撞参数，即入射粒子与固定散射体在无相互作用的情况下的最小直线距离；θ是散射角(入射方向与出射方向的夹角)，当θ=90°时，库仑散射因子a等于瞄准距离b的两倍.其中库仑散射因子为： (2)

卢瑟福对散射过程作了一些假设：①只发生单次散射；②只有库仑相互作用；③核外电子的相互作用可以忽略；④靶核粒子静止. 从牛顿第二定律出发，在直角坐标系中推导公式(1)： (3)

由库仑定律可知： (4)

其中，表示方向上的单位矢量.代入(3)式可得： (5)

因为库仑力是中心力，中心力满足角动量守恒，所以有[4,5]： (6) 因为

L=mrvsinθ=mvb， 所以 L=mvb.

(7) 又因为 (8)

结合(5)、(6)式和(8)式，可以将时间因子消去，所以 (9)

从(9)式可知，速度的方向与的方向有关，且当入射粒子运动到无穷远时，速度的方向与φ的方向相同，即在无穷远时 vy=vsinθ， (10) vx=vcosθ. (11)

首先在y方向， dvy=vcosθdθ， (12) (13) (14) (15)

因为无穷远处势能近似零，即 mv2=2E.

(16)

结合(2)、(15)和(16)式，所以

得证公式(1).

同理，再考虑在x方向上， dvx=vsinθdθ， (17) (18) (19) 因为 (20) 所以 得证公式(1).

上面的讨论基于牛顿第二定律，将速度进行分解得到了库仑散射公式.

从以上的公式推导可以看出，我们考虑了由两个粒子组成的系统，推导了两个粒子的库仑散射公式.用经典力学的方法推导库仑散射公式非常简单，也容易理解.这里是关于一个粒子的散射公式,大量粒子的散射问题—卢瑟福散射公式就可用大量粒子叠加的方法推出.而库仑散射公式的推导方法也有很多种，在不同书籍中也不同[3-6]. 2 原子核半径

在推导卢瑟福散射公式时，我们将原子核看成一个点，并且当a粒子接近原子核时，只考虑库仑力.我们知道原子核有一定的大小，当a粒子和原子核接近到一定

程度时，库仑定律将不再成立，两者之间的作用力不仅仅是纯库仑力，那会使卢瑟福公式与实验结果不符合.

入射粒子与原子核接近到什么程度，库仑定律是否仍然有效，我们作为估计，在卢瑟福公式成立的前提下估计原子核的大小.

设原子核的半径为rm，入射粒子与原子核的距离为r，当入射粒子Z1e从无穷远来，以能量E接近原子核时，所受到的库仑势为那么，入射粒子到原子核附近时，由于两者之间的排斥力，入射粒子入射动能全部转换为库仑势能，即此时的动能为0.由能量守恒得： (21) 所以 (22) (23)

所以最小接近距离为：rm=a.

可见，入射粒子的能量E越大，得到的rm就越小.换句话说，原子核的实际大小总是小于rm.

卢瑟福等观察了镭的a粒子在金箔上的散射，速度是1.92×108m/s.将数值代入，算得金原子核的半径为3.02×10-14 m[6]. 3 库仑散射公式的Mathematica数值模拟

选用a粒子作为入射粒子，金作为靶核粒子，入射粒子的速度范围确定为0.15～0.9 c之间，由(1)、(2)、(16)式得到散射角与入射粒子速度之间的关系为：

(24)

瞄准距离取比氢原子第一轨道半径小的值(5.3×10-15 m)，绘出入射粒子速度与散射角之间的关系图(图2).

由图2可以看到，入射粒子速度越大，散射角越小；入射粒子速度越小，散射角越大.我们再将入射粒子的速度缩小到0.1～0.25 c，散射角与入射粒子速度的关系见图3.

图3中库仑散射速度与散射角关系为：速度范围为0.1～0.25 c.

由图3可以看到，曲线与纵轴的交点对应的横坐标是0.3×108 m/s，对应的纵坐标是99.95°，即入射粒子速度是光速的1/10时，散射角大于90°. 如果再减小入射粒子的速度，速度范围为0.01～0.1 c，散射角见图4.

毫无疑问，散射角都大于90°，入射粒子不会穿过薄箔，而是反弹回去，并且入射粒子的速度越小，它越少受到靶核粒子对它偏转方向产生的影响，即散射角越接近180°. 4 结 论

库仑定律是推导卢瑟福散射公式的基础和关键.本文从经典力学角度出发，推导了库仑散射公式，利用能量守恒定律估计了原子核的大小.从计算过程可以看出，本文采用的方法简单易懂.同时采用Mathematica软件模拟了两个粒子的库仑散射过程，讨论了入射速度和散射角之间的关系，当瞄准距离固定时，通过图像可以看到，入射粒子速度越大，散射角越小，反之，散射角越大，并且入射粒子的速度小于特定值时，粒子才会出现反弹，即 粒子不会穿过薄箔.

参考文献：

【相关文献】

[1]杨福家.原子物理学(第3版)[M].北京：高等教育出版社，2000:14-18.

[2]黄益帆，董国香，王小保，等.原子核电荷半径经验公式的探究[J].湖州师范学院学报，2016，38(8)：49-53.

[3]尹建武.卢瑟福散射公式的几种推导方法[J].黄冈师范学院学报,2003,23(3):31-34. [4]金尚年.经典力学[M].上海：复旦大学出版社,1987:4.

[5]周衍柏.理论力学教程[M].北京：人民教育出版社，1979:83-87.

[6]HAKEN H,WOLF H C.卢瑟福散射公式的简明推导[J].大学物理,1984(9):27-28.